滲透思想 激活思維
——以“解析幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題”為例

劉紅艷

(江蘇省常州市第三中學(xué)，213000)

高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié).應(yīng)注重把相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化,通過知識(shí)、技能、思想等層面對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一次系統(tǒng)、全面的回顧與梳理,以促進(jìn)學(xué)生解題思想方法的形成,提升學(xué)生的綜合解題能力.本文以“解析幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題”復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)為例,對(duì)如何實(shí)現(xiàn)高效的專題復(fù)習(xí)談?wù)勛约旱南敕?

一、教學(xué)過程

1.激活思維

激活思維1已知?ABC中,B(-3,0),C(3,0),AB,BC,AC成等差數(shù)列,求點(diǎn)A的軌跡方程.

通過課前自主研究學(xué)習(xí),學(xué)生主要呈現(xiàn)兩種解法：一是直接法，即設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)進(jìn)行化簡;二是定義法，利用橢圓的定義得出點(diǎn)A的軌跡是橢圓.顯然，定義法比直接法更加簡便、快捷.同時(shí)在該題的交流過程中，大部分學(xué)生對(duì)曲線方程的完備性，即求出軌跡方程務(wù)必要檢驗(yàn)完備性有所遺忘.

激活思維2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y=2x2+1上移動(dòng),點(diǎn)P與點(diǎn)Q(0,-1)連線的中點(diǎn)為M,求M點(diǎn)的軌跡方程.

在對(duì)該題的交流過程中，大部分學(xué)生都知道用相關(guān)點(diǎn)法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,此時(shí)教師總結(jié)相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的過程，即與動(dòng)點(diǎn)M(x,y)相關(guān)的點(diǎn)P(x0,y0)在已知曲線上運(yùn)動(dòng),將x,y表示x0,y0的式子代入點(diǎn)P的方程,整理關(guān)于x,y的關(guān)系式得點(diǎn)M的軌跡方程.

激活思維3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)P為圓C:(x-1)2+y2=4上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q(2a,a-3),則線段PQ長度的最小值為______.

對(duì)于這一問題，大部分學(xué)生都運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)Q到圓心距離的最小值，再減去半徑,只有少部分學(xué)生利用消參法，求出點(diǎn)Q的軌跡方程為直線方程，這樣最小值就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.

設(shè)計(jì)意圖激活思維1的設(shè)置意在由學(xué)生通過自主學(xué)習(xí),理解并熟悉運(yùn)用定義法與直接法求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.很明顯，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程能用定義法來求時(shí)，肯定比直接法來得便捷,因此要求學(xué)生務(wù)必熟悉高中數(shù)學(xué)中曲線的定義，如圓的定義,橢圓的定義,雙曲線的定義,拋物線的定義，等等.同時(shí)該題設(shè)置提醒學(xué)生求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程務(wù)必檢驗(yàn)完備性.激活思維2的設(shè)置是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用相關(guān)點(diǎn)法來求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)，學(xué)生務(wù)必搞清楚設(shè)哪個(gè)點(diǎn)為(x,y),設(shè)哪個(gè)點(diǎn)為(x0,y0),同時(shí)要注意x,y與x0,y0之間如何進(jìn)行表示.激活思維3的設(shè)置是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用消參法來求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.從學(xué)生的課前自主學(xué)習(xí)反饋來看，學(xué)生求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的意識(shí)不強(qiáng),因此務(wù)必加強(qiáng)軌跡思想的滲透.激活思維設(shè)置的目的是希望學(xué)生通過預(yù)習(xí)，對(duì)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程方法的基本經(jīng)驗(yàn)有所積累,預(yù)設(shè)課堂教學(xué)用10分鐘左右的時(shí)間讓學(xué)生講概念,講方法,教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行適時(shí)點(diǎn)撥,以達(dá)到真正理解和掌握知識(shí)的目的.

2.課堂導(dǎo)學(xué)

例1如果圓(x-2a)2+(y-a-3)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

設(shè)計(jì)意圖本題是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用定義法將求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程這樣問題就轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系,本題解法可以加深學(xué)生運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)的軌跡思想解決解析幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題意識(shí),從學(xué)生的課堂的板演形式來看,學(xué)生可以較好地解決該題.

設(shè)計(jì)意圖本題學(xué)生通常的解法有如上2種,解法2比解法1更直接，計(jì)算過程也更簡單.從課堂討論交流來看，大部分學(xué)生采取解法2來解決該題,說明學(xué)生運(yùn)用軌跡思想解決解析幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題有所提升.教師啟發(fā)學(xué)生改編的背景是阿波羅尼斯圓,從本題的處理過程來看，改編題可以培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力,這一能力可以使學(xué)生在創(chuàng)造性思維活動(dòng)中,尋找知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別,把握知識(shí)的本質(zhì)屬性,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并靈活轉(zhuǎn)換問題.

3.滲透思想

設(shè)計(jì)意圖本題學(xué)生呈現(xiàn)了兩種解法,雖然設(shè)點(diǎn)的方法不同,但解題思路是一致的,都是通過相關(guān)點(diǎn)法找出所設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這就是求曲線軌跡方程問題的本質(zhì).本教學(xué)片斷通過“一題多解”的方式，抽象出具有共性的的思想方法,加深了學(xué)生對(duì)相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的理解.

4.自我小結(jié)

思考這節(jié)課你學(xué)到了什么?請(qǐng)談?wù)勀愕氖斋@.

設(shè)計(jì)意圖利用開放性的小結(jié),可以使不同層次的學(xué)生參與進(jìn)來.有的學(xué)生對(duì)求曲線方程的概念加以理性總結(jié)，抓住了核心概念;有的學(xué)生總結(jié)了求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法;有的學(xué)生談到了整堂課滲透的數(shù)學(xué)思想方法，等等,學(xué)生之間互相補(bǔ)充，相得益彰,形成了比較完整的總結(jié).

5.課后作業(yè)(略)

設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)一組高考模擬試題,供學(xué)生課后研究,以達(dá)到實(shí)戰(zhàn)的要求,讓學(xué)生將本節(jié)課所學(xué)會(huì)的知識(shí)與方法得以鞏固和發(fā)展.

二、對(duì)高三專題復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)思考

(1)專題復(fù)習(xí)的設(shè)定需要科學(xué)合理.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師需要根據(jù)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容、高考考綱、高考考試說明以及高考頻點(diǎn)等，將大專題科學(xué)合理地分為若干個(gè)小專題.如本節(jié)課就是直線與圓錐曲線這一大專題下的一個(gè)小專題——解析幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題,這樣的復(fù)習(xí)比較有針對(duì)性.專題的設(shè)定需要打破知識(shí)之間的界限,加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系.

(2)專題復(fù)習(xí)需要精心挑選例題與習(xí)題.每一個(gè)專題的構(gòu)成元素基本是例題與習(xí)題,因此精心挑選例題與習(xí)題尤為重要.一定要明白選此題的目的是為了解決本專題的重點(diǎn)或難點(diǎn)內(nèi)容,題目的創(chuàng)新點(diǎn)在哪里等等,從而更好地發(fā)揮題目的示范作用和潛在功能.題目并不在于多難,關(guān)鍵在于典型,通過解剖一個(gè)“麻雀”,積累經(jīng)驗(yàn),從而實(shí)現(xiàn)一類問題的解法.

(3)專題復(fù)習(xí)需要注重思想方法的滲透.本節(jié)課舉的例題都可以轉(zhuǎn)化為軌跡問題來處理,但題目中又沒有明顯指向求軌跡方程，可謂“明修棧道,暗度陳倉”.學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往忽視遇到解析幾何中動(dòng)點(diǎn)時(shí)考慮求動(dòng)點(diǎn)的軌跡這一思想方法.因此教師在進(jìn)行專題復(fù)習(xí)時(shí)滲透思想方法很重要.如果教師能夠引領(lǐng)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行主動(dòng)探究,挖掘和揭示掩藏在其中的思想方法，就能實(shí)現(xiàn)舉一反三,觸類旁通,讓學(xué)生跳出題海,提高復(fù)習(xí)的有效性.

(4)專題復(fù)習(xí)需要循序漸進(jìn)地教.本節(jié)課通過激活思維，給學(xué)生一些臺(tái)階作為鋪墊，讓學(xué)生進(jìn)行思維的預(yù)熱,然后再進(jìn)入相對(duì)復(fù)雜的例題.這樣學(xué)生就不會(huì)感到突兀,感到思維混亂,而且因?yàn)榍懊娴乃季S鋪墊,對(duì)后續(xù)的問題也有了一定的信心.因此教師在專題復(fù)習(xí)時(shí)要由易到難、由簡到繁，進(jìn)行拓展與延伸.同時(shí)每道綜合題都有它的根源,在講授這類題時(shí)要找到它的根源,從簡單入手,抓住問題的本質(zhì).