圓柱齒輪齒廓偏差有效長(zhǎng)度L_AE的幾何解析及計(jì)算公式推導(dǎo)

尹甜甜

（唐山開元自動(dòng)焊接裝備有限公司，河北 唐山 063000）

新的圓柱齒輪精度國家標(biāo)準(zhǔn)（GB10095.1-2008、GB10095.2-2008，以下簡(jiǎn)稱新標(biāo)準(zhǔn)）已發(fā)布多年，與老標(biāo)準(zhǔn)（GB10095.1-1988，以下簡(jiǎn)稱老標(biāo)準(zhǔn)）相比，變化是很大的。新標(biāo)準(zhǔn)并不是對(duì)老標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)單修訂，而是更新?lián)Q代。

在老標(biāo)準(zhǔn)中，代號(hào)為ff的齒形誤差，在新標(biāo)準(zhǔn)中稱為齒廓（總）偏差，代號(hào)為 Fα，與 ff不同，F(xiàn)α包括了齒廓形狀偏差和齒廓斜率偏差，并定義為“在計(jì)值范圍內(nèi)，包容實(shí)際齒廓跡線的兩條設(shè)計(jì)齒廓跡線間的距離”，并規(guī)定了計(jì)值范圍Lα。

1 新標(biāo)準(zhǔn)中的齒廓偏差圖

新標(biāo)準(zhǔn)對(duì)齒廓偏差計(jì)值范圍Lα作了詳細(xì)說明，這部分內(nèi)容集中體現(xiàn)在第一部分，第3.2節(jié)“齒廓偏差”中：

1.1 可用長(zhǎng)度LAF

LAF等于“兩條端面基圓切線長(zhǎng)度之差。其中一條是從基圓延伸到可用齒廓的外界限點(diǎn)，另一條是從基圓到可用齒廓的內(nèi)界限點(diǎn)”。“依據(jù)設(shè)計(jì)，可用長(zhǎng)度被齒頂、齒頂?shù)估饣螨X頂?shù)箞A的起始點(diǎn)（A點(diǎn)）限定，對(duì)于齒根，可用長(zhǎng)度被齒根圓角或挖根的起始點(diǎn)（F點(diǎn)）所限定”。

1.2 有效長(zhǎng)度LAE

LAE是“可用長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于有效齒廓的那部分”。對(duì)于齒頂，其界限點(diǎn)與LAF的界限點(diǎn)相同，都是A點(diǎn)，“對(duì)于齒根，有效長(zhǎng)度延伸到與之配對(duì)齒輪有效嚙合的終點(diǎn)E(即有效齒廓的起始點(diǎn))”。

對(duì)于LAF和LAE，新標(biāo)準(zhǔn)以圖文方式進(jìn)行了詮釋，其中圖形如圖1所示。筆者認(rèn)為，如果用工程圖的形式進(jìn)行說明，則更加形象、直觀，文章嘗試用這種方式予以表達(dá)。

圖1 新標(biāo)準(zhǔn)中的齒廓偏差圖

2 以工程圖方式表達(dá)漸開線圓柱齒輪齒廓

圖2為以工程圖方式表達(dá)的漸開線圓柱齒輪齒廓圖（注①）。

漸開線圓柱齒輪的齒廓取決于基圓、根圓、節(jié)圓、頂圓的尺寸。為敘述方便，文章假定，齒頂未經(jīng)倒棱或倒圓加工；齒根未經(jīng)挖根加工。則A點(diǎn)即為頂圓與齒廓漸開線的交點(diǎn)，并作為可用齒廓的外界限點(diǎn)。

根據(jù)漸開線的形成原理，基圓上沒有漸開線，為增加輪齒的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度，根圓與齒廓漸開線的交點(diǎn)處有圓弧過度。國家標(biāo)準(zhǔn)《通用機(jī)械和重型機(jī)械用齒輪標(biāo)準(zhǔn)基本齒條齒廓》（GB/1356-2001）規(guī)定，根據(jù)不同適用場(chǎng)合，基本齒條齒廓有A、B、C、D四種類別，其齒根圓弧半徑各不相同。如果選用C類齒廓，齒根圓角半徑等于0.25m。圖二齒廓即選用了C類齒廓。齒根圓角與齒廓漸開線的交點(diǎn)，即為“可用齒廓的內(nèi)界限點(diǎn)”，即F點(diǎn)。

圖2漸開線圓柱齒輪齒廓簡(jiǎn)圖

圖2 直觀地說明了可用長(zhǎng)度LAF的幾何意義。其中AD、FC分別為齒廓漸開線上F點(diǎn)和A點(diǎn)這兩點(diǎn)的漸開線發(fā)生線，根據(jù)新標(biāo)準(zhǔn)的定義，LAF=AN-。

3 齒廓上E點(diǎn)的確定

在標(biāo)準(zhǔn)中，有效長(zhǎng)度LAE被定義為“可用長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于有效齒廓的那部分”，“……對(duì)于齒根，有效長(zhǎng)度延伸到與之配對(duì)齒輪有效嚙合的終點(diǎn)E(即有效齒廓的起始點(diǎn))。

根據(jù)齒輪嚙合圖，可以清晰地確定E點(diǎn)。圖3為漸開線標(biāo)準(zhǔn)齒輪嚙合圖，其中圖3（2）為輪齒嚙合局部詳圖。

圖3 （1）嚙合圖

圖3 （2）輪齒嚙合局部詳圖——起點(diǎn)E1及終點(diǎn)E2

假設(shè)現(xiàn)有齒輪副O(jiān)1、O2，其中O1為主動(dòng)輪，O2為被動(dòng)輪。兩輪相切于中心線上C點(diǎn)即分別為兩輪節(jié)圓半徑 R1、R2，O1C+O2C=a(兩輪中心距)。由齒輪嚙合原理知，線段為嚙合線，分別與兩輪基圓相切于 N1、N2點(diǎn)，Rb1(O1N1)、Rb2(O2N2)分別為兩輪基圓直徑；Ra1(O1A1)、Ra2(O2E1)分別為兩輪齒頂圓直徑。當(dāng)其中某一對(duì)嚙合輪齒，在由粗線位置轉(zhuǎn)到細(xì)線位置時(shí)，在O2輪上與O1輪上A1點(diǎn)接觸的點(diǎn)即為E2點(diǎn)（有效齒廓的終點(diǎn)），這對(duì)輪齒的嚙合即將終止。

兩齒輪嚙合自E1(A2)點(diǎn)起始（粗實(shí)線輪齒），至E2（A1）點(diǎn)結(jié)束（細(xì)實(shí)線輪齒）。齒廓A1E1、A2E2分別為齒輪O1、O2的有效齒廓。

4 有效長(zhǎng)度LAE計(jì)算式的推導(dǎo)

在新標(biāo)準(zhǔn)中，雖然對(duì)LAE作了詳細(xì)介紹，但并未提及計(jì)算公式；而有的《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》（如化工出版社，第5版）中，雖對(duì)LAE的計(jì)算公式有所提及，但只是應(yīng)用而并未介紹推導(dǎo)過程。以下擬對(duì)LAE的計(jì)算公式試作推導(dǎo)。

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)給出的定義，O2輪輪齒齒廓偏差有效長(zhǎng)度即A2、E2兩點(diǎn)漸開線發(fā)生線的長(zhǎng)度之差。見圖3（2），由幾何關(guān)系：

（1）在△O2N2E1中

在△O2N2C 中

結(jié)合△O1N1E2和

（3）將式（1）、式（2）代入 LAE=N2E1-N2E2，得：

推導(dǎo)結(jié)束。式（3）即為有效長(zhǎng)度LAE的計(jì)算公式。

5 齒廓計(jì)值范圍Lα

新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，除另有規(guī)定外，Lα的長(zhǎng)度等于“從E點(diǎn)開始的有效長(zhǎng)度LAE的92%”。這余下的8%，是“靠近齒頂處LAE與Lα之差這一區(qū)段”。

在齒輪副的設(shè)計(jì)階段，通過式（3）計(jì)算齒廓的有效長(zhǎng)度LAE，再乘以92%，其數(shù)值即為齒廓計(jì)值范圍Lα，設(shè)計(jì)者將其標(biāo)注在齒輪工程圖中的參數(shù)欄中即可。

筆者認(rèn)為，作為工程技術(shù)人員，對(duì)公式來源應(yīng)有所了解，這有助于加深對(duì)齒輪傳動(dòng)，以及計(jì)值規(guī)定的理解，方能在設(shè)計(jì)實(shí)踐中靈活運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)，從而使設(shè)計(jì)結(jié)果更趨于完善、合理。