變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)型線參數(shù)的優(yōu)化選取

彭 斌，蔣 龍，王永強(qiáng)

（蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州730050）

自1984年Morishita首次建立圓漸開線渦旋型線的分析模型后，各國(guó)學(xué)者開始對(duì)渦旋機(jī)械進(jìn)行深入研究。如：Matsuba等人對(duì)渦旋壓縮機(jī)的發(fā)展進(jìn)行了總結(jié)和展望［1］；Lindsay等人研究了制造功能性渦旋壓縮機(jī)時(shí)圓漸開線渦旋型線所需具備的幾何特性［2］；Chen等人建立了渦旋壓縮機(jī)的工作模型，并對(duì)其工作時(shí)的受力、熱傳遞和泄漏情況進(jìn)行了分析［3］；王向紅對(duì)渦旋膨脹機(jī)的泄漏損失進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和分析［4］；Wang等人對(duì)渦旋壓縮機(jī)渦旋型線的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了推導(dǎo)［5］。

雖然圓漸開線渦旋型線的數(shù)學(xué)模型較為成熟，且由其展成的渦旋機(jī)械較容易加工，但該渦旋型線展成時(shí)的可變參數(shù)較少，很難通過改變參數(shù)來提升渦旋機(jī)械的性能，因此學(xué)者們開始尋求可提升渦旋機(jī)械性能的新型線。Qing等人提出了一種膨脹腔腔體不對(duì)稱的渦旋壓縮機(jī)，并對(duì)其性能進(jìn)行了研究［6］；Hwang等人提出了以橢圓為基準(zhǔn)所展成的渦旋型線［7］；王吉岱等人對(duì)采用變基圓半徑漸開線型線的渦旋膨脹機(jī)進(jìn)行了研究，并推導(dǎo)了其工作腔容積的計(jì)算公式［8］；Wang等人研究了多種漸開線的性能特點(diǎn)，提出了渦旋型線嚙合的計(jì)算方法［9］；Shaffer等人建立了多種由齒頭修正后的幾何模型，并基于預(yù)設(shè)的幾何參數(shù)對(duì)修正后渦旋型線展成的膨脹機(jī)的吸氣腔容積進(jìn)行了計(jì)算［10］。

變基圓半徑渦旋型線是指其基圓半徑隨著展開角增大而連續(xù)變化的漸開線，由其展成的渦旋齒壁厚會(huì)隨著展角逐漸變大或變小，從而實(shí)現(xiàn)性能的改變。同時(shí)，由于它與圓漸開線渦旋型線極其相似，由其展成的渦旋機(jī)械的加工難度較低。丁佳男等人對(duì)變基圓半徑渦旋型線的方程進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，并對(duì)該型線的端部進(jìn)行了雙圓弧修正［11］；唐景春等人對(duì)比了在氣體溫度和壓力耦合的工況下圓漸開線渦旋型線和變基圓半徑渦旋型線的應(yīng)力、應(yīng)變，并對(duì)后者進(jìn)行了齒頭修正［12-13］。

隨著學(xué)科的交叉發(fā)展，智能算法開始廣泛應(yīng)用于渦旋型線的優(yōu)化。陳進(jìn)等人利用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)組合型線進(jìn)行了優(yōu)化分析，得到了具有較高效率、較高體積利用率的組合型線，但該類組合型線的中間段為非漸開線，導(dǎo)致加工難度較大，而且在對(duì)多個(gè)參數(shù)同時(shí)優(yōu)化時(shí)容易出現(xiàn)解為負(fù)值的情況，既降低了算法的準(zhǔn)確率又增加了迭代次數(shù)［14］；王立存等人采用小生境遺傳算法對(duì)通用渦旋型線進(jìn)行優(yōu)化研究后發(fā)現(xiàn)，由于通用型線可變參數(shù)的局限性，其性能提升效果并不明顯［15］；劉濤等人利用MATLAB遺傳算法工具箱提供的多目標(biāo)遺傳算法對(duì)三段基圓漸開線渦旋型線進(jìn)行了優(yōu)化，然而，由于遺傳算法工具箱的輸入形式固定，必須將所有公式合并后才能進(jìn)行輸入和計(jì)算，這增加了優(yōu)化前的工作量［16］。

在運(yùn)算時(shí)，粒子群算法的運(yùn)算效率高于遺傳算法，且變基圓半徑渦旋型線較組合型線有較好的連續(xù)性，更容易加工，所以本文采用粒子群算法對(duì)變基圓半徑渦旋型線的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析，為變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)的型線設(shè)計(jì)提供參考。

1 變基圓半徑渦旋型線的數(shù)學(xué)模型

1.1 變基圓半徑渦旋型線的公轉(zhuǎn)半徑和膨脹起始角

變基圓半徑渦旋型線靜盤型線求解為［17］：

式中：a為初始基圓半徑；k為基圓變化系數(shù)；φ為漸開線展成角；α為漸開線發(fā)生角。

由式（1）可知：當(dāng)k＜0時(shí)，基圓半徑隨漸開線的不斷展開而變小，壁厚也隨之減??；當(dāng)k=0時(shí)，基圓半徑保持不變，壁厚不發(fā)生變化；當(dāng)k＞0時(shí)，基圓半徑隨漸開線的不斷展開而變大，壁厚也隨之增大。圖1所示為不同k對(duì)應(yīng)的變基圓半徑渦旋型線。

圖1 不同k對(duì)應(yīng)的變基圓半徑渦旋型線Fig.1 Variable base circle radius vortex profiles corresponding to different k

變基圓半徑渦旋型線的公轉(zhuǎn)半徑和膨脹起始角分別為：

式中：φ0為渦旋型線嚙合點(diǎn)處內(nèi)側(cè)型線的展角，可根據(jù)φ0+2φ0sin(φ0-α)+2cos(φ0-α)=(π-α)2-2求解。

1.2 動(dòng)靜渦旋盤的嚙合盤徑

動(dòng)靜渦旋盤是渦旋膨脹機(jī)的核心部件，其嚙合盤徑的大小直接影響渦旋膨脹機(jī)整體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，進(jìn)而決定了渦旋膨脹機(jī)的質(zhì)量大小。動(dòng)靜渦旋盤嚙合盤徑作為渦旋膨脹機(jī)的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)，在不影響其性能的前提下越小越好。

變基圓半徑渦旋型線動(dòng)靜渦旋盤的嚙合盤徑為：

式中：φe為漸開線最終展開角。

1.3 變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)的膨脹比

渦旋膨脹機(jī)的膨脹比是最后一個(gè)膨脹腔的容積與吸氣腔容積的比值，用來表征渦旋膨脹機(jī)的膨脹性能。在一定尺寸下，膨脹比越大，渦旋膨脹機(jī)的性能越好?？赏ㄟ^增大漸開線最終展開角（即增加渦旋型線的展開圈數(shù)）或改變渦旋型線類型來增大膨脹比，但最終展開角的增大會(huì)使動(dòng)靜渦旋盤的嚙合盤徑增大，從而導(dǎo)致膨脹機(jī)的體積和質(zhì)量增大。

膨脹比的計(jì)算公式如下：

式中：V為變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)最后一個(gè)膨脹腔的容積；V吸為變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)吸氣腔的容積。

第i個(gè)膨脹腔的容積求解如下：

式中：h為渦旋齒齒高；A為變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)的腔體面積［18］。

2 基圓變化系數(shù)對(duì)變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)性能優(yōu)化的影響

2.1 優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化參數(shù)的確定

由式（4）和式（5）可以看出，與嚙合盤徑D和膨脹比σ取值有關(guān)的參數(shù)為初始基圓半徑a、漸開線最終展開角φe、漸開線發(fā)生角α、基圓變化系數(shù)k和公轉(zhuǎn)半徑Rob，其中：Rob可由a、α、k三個(gè)參數(shù)求解得到；α是與漸開線開始展開時(shí)的起始位置有關(guān)的參數(shù)，與D和σ皆成正比，鑒于其影響有限，在優(yōu)化時(shí)選取α=2π/9；φe是控制渦旋型線最終展成位置的參數(shù)，即控制渦旋型線的展開圈數(shù)以及工作腔個(gè)數(shù)，該參數(shù)對(duì)除排氣腔外的其余工作腔無影響，且對(duì)膨脹比的影響較小，故在優(yōu)化時(shí)選定φe=20.41。

綜上，選取渦旋膨脹機(jī)的基本尺寸參數(shù)D和基本性能參數(shù)σ為優(yōu)化目標(biāo)，以初始基圓半徑a和基圓變化系數(shù)k為優(yōu)化參數(shù)，對(duì)變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)的渦旋型線進(jìn)行優(yōu)化，以尋求優(yōu)化參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，單個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)解和2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的非劣解集。

由公式（1）可以看出，當(dāng)基圓變化系數(shù)k不變，僅考慮初始基圓半徑a的影響時(shí)，其對(duì)變基圓半徑渦旋型線的影響與對(duì)傳統(tǒng)圓漸開線的影響相同，故下面只針對(duì)基圓變化系數(shù)k的影響進(jìn)行分析。

2.2 基圓變化系數(shù)k對(duì)嚙合盤徑D的影響

選取a=3.2mm，α=2π/9，φe=20.41，根據(jù)式（4）得到基圓變化系數(shù)k與嚙合盤徑D的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 基圓變化系數(shù)k與嚙合盤徑D的關(guān)系曲線Fig.2 Relationship curve between base circle variation coefficient k and mesh disc diameter D

根據(jù)圖2可知，在其他參數(shù)一定的情況下，嚙合盤徑D隨著基圓變化系數(shù)k的增大而增大，且兩者呈線性正比關(guān)系，故基圓變化系數(shù)k的選取對(duì)嚙合盤徑D有重要影響。

2.3 基圓變化系數(shù)k對(duì)各膨脹腔容積Vi的影響

選取a=3.2mm，α=2π/9，φe=20.41，根據(jù)式（6）和式（7）得到基圓變化系數(shù)k與各膨脹腔容積Vi的關(guān)系曲線，如圖3所示。

圖3 基圓變化系數(shù)k與各膨脹腔容積Vi的關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curve between base circle variation coefficient k and volume of each expansion cavity Vi

由圖3可知：在嚙合盤徑D一定、相同的基圓變化系數(shù)k下，渦旋膨脹機(jī)各腔容積由內(nèi)向外依次變大，這是渦旋膨脹機(jī)能夠?qū)崿F(xiàn)膨脹功能的原因；k越小，各膨脹腔的容積越大。這就說明，在相同嚙合盤徑D下，選取較小的基圓變化系數(shù)k可以增加有效容積，從而優(yōu)化膨脹機(jī)的性能。

3 基于粒子群算法的變基圓半徑渦旋型線參數(shù)的優(yōu)化

3.1 粒子群算法

粒子群算法是一種群體智能優(yōu)化算法，算法中的每個(gè)粒子都代表一個(gè)潛在解，每個(gè)粒子均有3個(gè)屬性參數(shù)，分別為位置、適應(yīng)度值和速度。其中：粒子的位置表示該粒子此時(shí)的取值與群體最優(yōu)解的距離；粒子的適應(yīng)度值表示優(yōu)化目標(biāo)的解；粒子的速度決定了粒子的移動(dòng)方向和大小，用于實(shí)現(xiàn)位置的更新。粒子群算法的流程如圖4所示。圖中，實(shí)線箭頭指引的流程為單目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法流程，而多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法流程要附加虛線所指引的非劣解判斷流程，這是多目標(biāo)優(yōu)化與單目標(biāo)優(yōu)化的主要區(qū)別。

3.2 單目標(biāo)多參數(shù)優(yōu)化

分別以嚙合盤徑D和膨脹比σ為優(yōu)化目標(biāo)，以初始基圓半徑a和基圓變化系數(shù)k為共同優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如圖5所示。其中：選取Rob=5.6155mm，α=2π/9，φe=20.41。

由圖5可知，基于粒子群算法的單目標(biāo)優(yōu)化效率非常高，僅通過2或3次迭代就可以完成尋優(yōu)。在以a和k為共同優(yōu)化參數(shù)對(duì)單個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，嚙合盤徑D取得最小值93.374 5 mm時(shí)，膨脹比σ=4.306 0；膨脹比σ取得最大值6.253 9時(shí)，嚙合盤徑D=182.435 1 mm。由此可知，嚙合盤徑D和膨脹比σ可分別取得各自的最優(yōu)值，但對(duì)應(yīng)的σ和D并非最優(yōu)。故對(duì)單個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，只能實(shí)現(xiàn)局部目標(biāo)的最優(yōu)。

3.3 多目標(biāo)單參數(shù)優(yōu)化

以1/D和σ為共同優(yōu)化目標(biāo)，分別以a和k為優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如圖6所示。其中：圖6（a），選取Rob=5.6155mm，α=2π/9，φe=20.41，a=3.2mm；圖6（b），選取Rob=5.6155mm，α=2π/9，φe=20.41，k=-0.02。選擇對(duì)1/D而不是對(duì)D進(jìn)行優(yōu)化的原因在于：在多目標(biāo)粒子群優(yōu)化過程中，粒子只能向著同一種變化趨勢(shì)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，即粒子的速度只能是朝著正向或者負(fù)向進(jìn)行更新，當(dāng)選擇D為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，粒子需要朝負(fù)向運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)選擇σ為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，粒子需要朝正向運(yùn)動(dòng)，為保證粒子的運(yùn)動(dòng)方向一致，選用作為優(yōu)化目標(biāo)。

在圖6中，黑點(diǎn)代表該次優(yōu)化結(jié)束時(shí)所有粒子的適應(yīng)度值，空心圓代表所有粒子在經(jīng)過非劣解選擇后所保留的非劣解。

圖6 參數(shù)a和k單獨(dú)優(yōu)化時(shí)多目標(biāo)和σ的優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimization results of multi-objective and σ with parameter a and k optimized separately

為了更直觀地分析，分別從各優(yōu)化目標(biāo)的非劣解集中挑選3組非劣解進(jìn)行分析，結(jié)果如表1所示。由圖6和表1可以看出，在其他條件不變的情況下，膨脹比σ增大時(shí)，嚙合盤徑D均會(huì)有所增大，即無法實(shí)現(xiàn)在膨脹比取得極大值的同時(shí)嚙合盤徑取得極小值。因此，在對(duì)變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)進(jìn)行型線設(shè)計(jì)時(shí)，可根據(jù)性能或尺寸優(yōu)化的要求，來選擇相應(yīng)的參數(shù)。

3.4 多目標(biāo)多參數(shù)優(yōu)化

以1/D和σ為共同優(yōu)化目標(biāo)，以a和k為共同優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如圖7所示。其中：選取Rob=5.6155mm，α=2π/9，φe=20.41。為了更直觀地分析，從優(yōu)化目標(biāo)的非劣解集中挑選2組非劣解進(jìn)行分析，結(jié)果如表2所示。

圖7 參數(shù)a和k同時(shí)優(yōu)化時(shí)多目標(biāo)和σ的優(yōu)化結(jié)果Fig.7 Optimization result of multi-objective and σ with parameter a and k optimized simultaneously

表2 參數(shù)a和k同時(shí)優(yōu)化時(shí)D和σ的非劣解Table 2 Non-inferior solutions of D and σ with parameter a and k optimized simultaneously

對(duì)比圖7和圖5可以看出，當(dāng)以a和k為共同優(yōu)化參數(shù)時(shí)，單目標(biāo)優(yōu)化時(shí)可得到一個(gè)最優(yōu)解，而多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)能得到一組非劣解。因此，可根據(jù)設(shè)計(jì)要求的側(cè)重點(diǎn)不同，選擇相對(duì)滿足要求的一組優(yōu)化參數(shù)組合。

對(duì)比圖7與圖6可以看出，當(dāng)以1/D和σ為共同優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，單參數(shù)優(yōu)化所得的優(yōu)化目標(biāo)取值范圍較小。這說明多優(yōu)化目標(biāo)、多優(yōu)化參數(shù)的粒子群優(yōu)化算法可以更加全面地對(duì)變基圓半徑渦旋型線進(jìn)行優(yōu)化。

4 結(jié) 論

當(dāng)分別以D和σ為單獨(dú)優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，可在a和k的取值范圍內(nèi)分別得到D和σ的極值；若該極值不滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)，可以參照a和k對(duì)D和σ的影響來調(diào)整其取值范圍，這可為初始參數(shù)的選取提供參考。

當(dāng)以D和σ為共同優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，可在a和k的取值范圍內(nèi)得到一組非劣解，此時(shí)D和σ值是兼顧結(jié)構(gòu)和性能要求的一組較均衡的解。

綜上，當(dāng)對(duì)變基圓半徑渦旋膨脹機(jī)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)時(shí)，可根據(jù)其結(jié)構(gòu)和性能的要求，選取滿足條件的初始基圓半徑a和控制基圓變化系數(shù)k。