變徑基圓漸開線渦旋膨脹機幾何及泄漏模型的研究

彭 斌，蔣 龍

（蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

1 引言

對渦旋機械的研究可追溯至19世紀末，時至今日依然在不斷地進行著優(yōu)化改進。其中，渦旋膨脹機作為渦旋機械的一個分支，以其優(yōu)良的特性被廣泛的應(yīng)用于回收余熱裝置中。對于渦旋膨脹機的優(yōu)化主要集中于：幾何模型、數(shù)學(xué)模型的研究和以渦旋膨脹機為核心的低溫余熱系統(tǒng)的研究。

幾何模型研究方面：文獻[1-2]對等截面渦旋膨脹機的幾何模型、數(shù)學(xué)模型進行了分析研究；文獻[3]對型線結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了優(yōu)化研究，得到比較適合樣機的結(jié)構(gòu)參數(shù)；文獻[4]對渦旋膨脹機的性能、文獻[5]對渦旋膨脹機的泄漏損失分別作了數(shù)值計算和分析；文獻[6-7]對渦旋膨脹機的性能進行了研究。低溫余熱系統(tǒng)方面：文獻[8]從等截面和變截面的渦旋膨脹機的幾何模型出發(fā)，研究了渦旋膨脹機的工作腔內(nèi)工質(zhì)壓力、溫度和質(zhì)量隨主軸轉(zhuǎn)角的實際變化規(guī)律；文獻[9]研究了除Hcfc-123以外的流體工質(zhì)對小型有機朗肯循環(huán)渦旋膨脹機性能的影響；文獻[10-11]對以R245fa為工質(zhì)的有機朗肯循環(huán)系統(tǒng)集成開式渦旋膨脹機進行了試驗研究；文獻[12]對一種用于小型發(fā)電系統(tǒng)的渦旋膨脹機的詳細通用動態(tài)建模和仿真方法進行了研究，提出了渦旋膨脹機和發(fā)電機的整體動摩擦系數(shù)，并通過實驗得出總動摩擦系數(shù)在10-3Nms；文獻[13]運用逆向工程和計算流體動力學(xué)（RE/CFD）的方法，對用于微型的ORC系統(tǒng)中的膨脹機進行了適應(yīng)性研究；文獻[14]搭建了有機朗肯循環(huán)渦旋膨脹實驗系統(tǒng)，對渦旋膨脹機變負載工況的輸出性能進行實驗研究；通過討論不同基圓變化下的變徑基圓渦旋膨脹機的容積、泄漏線的變化規(guī)律，得到適用于渦旋膨脹機的基圓變化規(guī)律，為變徑基圓渦旋膨脹機的設(shè)計提供參考。

2 變徑基圓渦旋型線方程

變徑基圓渦旋型線，即以半徑不斷發(fā)生變化的圓為基圓所展開的型線，其基圓變化控制系數(shù)為k。變徑基圓渦旋型線的公式與圓漸開線渦旋型線的公式相似，事實上，圓漸開線渦旋型線為變徑基圓渦旋型線k=0時的特例。

變徑基圓渦旋型線的靜盤靜盤公式如下[15]：

靜盤外側(cè)漸開線公式：

靜盤內(nèi)側(cè)漸開線公式：

式中：ɑ—初始基圓半徑；k—控制基圓變化系數(shù)；φ—漸開線展角；α—漸開線發(fā)生角。

動靜盤嚙合后所需最小盤徑：

式中：φe—漸開線最終展角。

膨脹起始角為：

其中，φ0可由式φ0+2φ0sin(φ0-α)+2cos(φ0-α)=(π-α)2-2求解。

當k=0時，基圓不發(fā)生變化，渦旋型線為等壁厚的圓漸開線；當k＜0時，基圓不斷變小，渦旋型線為壁厚逐漸減小的漸開線；當k＞0時，基圓不斷變大，渦旋型線為壁厚逐漸增大的漸開線，如圖1所示。分別為k=-0.06、k=0、k=0.06時所展成的漸開線。

圖1 變徑基圓渦旋型線Fig.1 Reducing Base Circular Vortex Line

3 容積計算

根據(jù)控制基圓變化系數(shù)k的選取的不同，漸開線的壁厚也發(fā)生變化，其容積也有所不同，與傳統(tǒng)等壁厚圓漸開線的容積求解相比，要相對復(fù)雜一些。變徑基圓渦旋膨脹機的面積求解公式如下[16]：

各工作腔的劃分，以三個腔為例，分為：第一膨脹腔、第二膨脹腔、第三膨脹腔，如圖2所示。

圖2 腔體劃分Fig.2 Cavity Partition

不考慮齒頭修正對容積的影響，得各工作腔容積為：

式中：h—齒高；i—工作腔號；θ*—膨脹起始角，其計算式為（5）。

4 泄漏

泄漏主要分為外泄漏和內(nèi)泄漏，內(nèi)泄漏主要是高壓腔向低壓腔進行泄漏，渦旋膨脹機的內(nèi)泄漏主要分為：由軸向間隙產(chǎn)生的徑向泄漏和由徑向間隙產(chǎn)生的切向泄漏兩種泄漏，如圖3所示。對于變徑基圓渦旋膨脹機來說，這兩種泄漏都會由于k的選取不同而有所變化。

圖3 兩種泄漏的示意圖Fig.3 Schematic Diagram of Two Leaks

4.1 切向泄漏

由于徑向間隙產(chǎn)生的切向泄漏，其泄漏線長即渦旋齒的齒高，所以切向泄漏的泄漏線長度的計算公式為：

4.2 徑向泄漏

由于軸向間隙產(chǎn)生的徑向泄漏，其泄漏線長與渦旋型線長和主軸的轉(zhuǎn)角有關(guān)系，徑向泄漏的泄漏線長度計算公式為：

式中：φi、φi+1—嚙合型線的起始終止角。

5 計算與分析

根據(jù)上述各公式的推導(dǎo)，可以看出，對變徑基圓渦旋膨脹機的型線研究，主要涉及以下參數(shù)：初始基圓半徑ɑ、控制基圓變化系數(shù)k、漸開線展角φ、漸開線發(fā)生角α、漸開線最終展角φe、齒高h。下面在一些參數(shù)確定的條件下，研究其余參數(shù)的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 盤徑隨k的變化Fig.4 Disk Diameter Changes with k

5.1 k對盤徑的影響

選取ɑ=3.2mm、α=2π/9、φe=20.41，研究不同k的取值對盤徑的影響。

如圖4可以看出，k的取值由（-0.06）增加至0.06，隨著k的增加，在其他參數(shù)一定的情況下，動靜渦旋盤嚙合盤徑呈近似線性增加。這表明，k的選取對盤徑有著正比的影響，合理的減小k的選取可以控制渦旋膨脹機的尺寸和重量。

5.2 最終展角φe與盤徑D的關(guān)系

選取ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究最終展角φe、k、與盤徑D之間的關(guān)系，如圖5所示。由圖5可以看出，隨著盤徑D的增加，各取值的k所對應(yīng)的最終展角φe都在增加，其中k的取值越小，φe的增加率越大；相同盤徑時，隨著k的取值增加，最終展角φe逐漸減小，可見在盤徑一定時，k與φe成反比。

圖5 φe-D-k關(guān)系圖Fig.5 Diagram ofφe-D-k

5.3 盤徑D一定時，k與容積vi的關(guān)系

選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究在不同k的取值下，各腔容積的變化，如圖6所示。

圖6 各腔容積vi隨k的變化Fig.6 The Volume vi of Each Cavity Varies with k

由圖6可以看出，隨著k的取值不斷增加，各腔容積都有不同程度的減少，其中第三腔容積減小的幅度最大，這是由于壁厚的增加導(dǎo)致的。根據(jù)渦旋膨脹機的工作特點，應(yīng)選取k＜0的變徑基圓渦旋型線，從而在保證強度的同時可以有較大的膨脹腔。

5.4 盤徑D一定時，k的選取對切向泄漏線的影響

切向泄漏線長即渦旋膨脹機的齒高h，選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究盤徑一定時，k對h的影響，如圖7所示。

圖7 h隨k的變化Fig.7 The Change of h with k

由圖7可知，在盤徑一定的情況下，隨著k的增加，渦旋齒高不斷增大，即切向泄漏線不斷的增加，泄漏量也就隨著增加。故可以通過合理減小k的取值來減小切向泄漏。

5.5 盤徑D一定時，k的選取對徑向泄漏線的影響

徑向泄漏即渦旋型線嚙合點間的型線長，選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究盤徑一定時，k對渦旋膨脹機徑向泄漏的影響，如圖8所示。

圖8 k=-0.06各腔泄漏線長隨主軸轉(zhuǎn)角的變化Fig.8 The Change of the Leak Line Length of Each Cavity with the Spindle Rotation Angle at k=-0.06

由圖8可以看出，當k=-0.06時，各腔徑向泄漏線隨著主軸轉(zhuǎn)角的變化而增加，但其增加率不再像圓漸開線渦旋膨脹機的泄漏線那樣呈線性增長，這是由于變徑基圓渦旋膨脹機渦旋型線隨著轉(zhuǎn)角不斷發(fā)生變化，導(dǎo)致徑向泄漏線與主軸轉(zhuǎn)角不再呈線性增長。

隨著主軸轉(zhuǎn)角的變化，如圖9所示。徑向泄漏線總長的變化趨勢是增長的，其中，k=0.06時增長的最快，其各角度時的徑向泄漏線也是最長的；k=-0.06時增長的最慢，其各角度時的徑向泄漏線也是最小的；k=0時介于前兩者之間?？梢姰攌＜0時，可以減小渦旋膨脹機的徑向泄漏。

圖9 徑向泄漏線總長隨主軸轉(zhuǎn)角的變化Fig.9 Change of Radial Leakage Line Total Length with Spindle Angle

6 結(jié)論

（1）根據(jù)渦旋型線的嚙合原理，對變徑基圓渦旋膨脹機的型線公式進行了推導(dǎo)計算，討論了k的取值對盤徑D的影響和最終展角φe與盤徑D、k的關(guān)系，得到了盤徑D的變化與k的取值成正比，最終展角φe的增長率與k的取值成反比。

（2）以三個腔體為例，對變徑基圓渦旋膨脹機的腔體進行了劃分，并推導(dǎo)了各腔容積的計算公式，探討了在盤徑D一定的情況下，不同k的取值對各腔容積vi的影響，得出了隨著k的增加，各腔容積減少。進而得到了渦旋膨脹機應(yīng)選取k＜0。

（3）對工作腔的切向、徑向泄漏進行了探討，探討了在盤徑D一定的情況下，切向泄漏線和徑向泄漏線隨k的變化規(guī)律，得出切向泄漏線長h與k的選取成正比，徑向泄漏線長Lr與k的選取成反比，同時也得到各腔徑向泄漏隨主軸轉(zhuǎn)角的變化由于基圓的改變不再呈線性變化。進而得出，渦旋膨脹機可以通過適當?shù)倪x取k＜0的值，來減小泄漏。