基于二級杠桿機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺設(shè)計與分析

李 玄，周雙武，路 松，丁冰曉

（1.吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南吉首416000；2.澳門大學(xué)科技學(xué)院，澳門999078）

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，針對微機(jī)電技術(shù)、微加工與制造技術(shù)、微操作技術(shù)和微裝配技術(shù)等的研究不斷深入，現(xiàn)已進(jìn)入微米級、量子級時代［1］。在光纖對接、激光加工以及微電機(jī)系統(tǒng)開發(fā)等領(lǐng)域均需要使用高精度微定位平臺［2-5］。微定位平臺是微定位系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，主要由驅(qū)動部分和機(jī)械傳動部分組成，其定位精度直接決定了微定位系統(tǒng)的精度［6］。目前，微定位系統(tǒng)主要有壓電工作臺型、電熱微驅(qū)動工作臺型以及電磁驅(qū)動工作臺型等。其中，壓電陶瓷驅(qū)動器因具有分辨率高、驅(qū)動力大和動態(tài)特性好等優(yōu)點(diǎn)，成為了微定位領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的驅(qū)動元件［7］。但是，壓電陶瓷驅(qū)動器的行程較小且往往伴隨多余的寄生運(yùn)動，導(dǎo)致其驅(qū)動的微定位平臺在工程上的應(yīng)用受限。

為了解決這一問題，需借助放大機(jī)構(gòu)來補(bǔ)償壓電陶瓷驅(qū)動器的輸出位移［8］，以擴(kuò)大微定位平臺的工作空間。常采用的放大機(jī)構(gòu)有橋式放大機(jī)構(gòu)、Scoot-Russel機(jī)構(gòu)和杠桿機(jī)構(gòu)［9］。圍繞基于柔性結(jié)構(gòu)的放大機(jī)構(gòu)在微定位平臺中的應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者做了很多研究［10-11］。例如：天津大學(xué)的李政設(shè)計了一種用音圈電機(jī)驅(qū)動的二自由度微定位平臺，其具有行程大、承載能力強(qiáng)、完全解耦等優(yōu)點(diǎn)［12］；西安電子科技大學(xué)的王子毅設(shè)計了一種柔順精密二自由度定位平臺，并通過有限元仿真分析得到了該平臺的固有頻率以及對應(yīng)振型［13］；Huang等設(shè)計了一種新型二自由度精密微定位平臺，其運(yùn)動行程可達(dá)19.2 μm×18.8 μm，定位誤差小于5%［14］；Lee等設(shè)計了一種基于橋式放大機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺，并通過仿真與實驗分析驗證了該平臺具有較大的行程以及較高的定位精度和分辨率［15］。上述二自由度微定位平臺雖各具優(yōu)點(diǎn)，但多數(shù)存在輸出位移范圍較小、整體剛度較小及結(jié)構(gòu)復(fù)雜等問題。鑒于目前精密微定位平臺的應(yīng)用前景十分廣闊，設(shè)計性能優(yōu)異的微定位平臺具有重要意義。

基于此，筆者擬基于杠桿原理和柔性結(jié)構(gòu)，設(shè)計一種基于二級杠桿機(jī)構(gòu)的由壓電陶瓷驅(qū)動器驅(qū)動的二自由度微定位平臺。首先，為提升微定位平臺的動態(tài)特性，對杠桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化；然后，為了解微定位平臺的性能，對其輸出位移放大倍數(shù)、剛度特征及固有頻率進(jìn)行理論分析；最后，為驗證理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，對微定位平臺的輸出位移、靜剛度與模態(tài)特性進(jìn)行仿真分析。

1 二自由度微定位平臺設(shè)計

1.1 柔性鉸鏈選擇

柔性鉸鏈?zhǔn)侨嵝越Y(jié)構(gòu)的最小單元，主要利用材料在結(jié)構(gòu)薄弱部位的可塑性變形來傳遞力和運(yùn)動，其具有體積小、無機(jī)械摩擦、無間隙和靈敏度高［16］等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于微精密機(jī)械、光學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。按缺口形式分類，柔性鉸鏈主要可分為直梁型柔性鉸鏈、橢圓型柔性鉸鏈和正圓型柔性鉸鏈，如圖1所示。不同缺口型柔性鉸鏈的剛度、轉(zhuǎn)動范圍和轉(zhuǎn)動精度均不同，具體如表1所示。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，橢圓型柔性鉸鏈的性能介于直梁型柔性鉸鏈與正圓型柔性鉸鏈之間。為提升放大機(jī)構(gòu)的性能，采用正圓型柔性鉸鏈和直梁型柔性鉸鏈作為放大機(jī)構(gòu)的柔性結(jié)構(gòu)，其中：正圓型柔性鉸鏈主要用于杠桿機(jī)構(gòu)，可提高轉(zhuǎn)動精度；直梁型柔性鉸鏈具有轉(zhuǎn)動范圍大、剛度小等特點(diǎn)，可用于位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)。

圖1 典型缺口型柔性鉸鏈?zhǔn)疽鈭DFig.1 Diagram of typical notched flexible hinges

表1 不同柔性鉸鏈的性能對比Table 1 Comparison of performance of different flexure hinges

1.2 杠桿機(jī)構(gòu)設(shè)計

杠桿機(jī)構(gòu)是較常用的放大機(jī)構(gòu)，相比于其他放大機(jī)構(gòu)，其具有結(jié)構(gòu)簡單、制造方便和放大倍數(shù)易分析等優(yōu)點(diǎn)，但其結(jié)構(gòu)不緊湊，尤其是為了得到大放大比，需要增大機(jī)構(gòu)的整體尺寸。為有效平衡杠桿機(jī)構(gòu)尺寸和微定位平臺輸出位移之間的關(guān)系，需選擇具有合適放大級數(shù)的杠桿機(jī)構(gòu)。一級杠桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，但難以得到足夠大的輸出位移；三級或多級杠桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)不夠緊湊，易產(chǎn)生寄生運(yùn)動。鑒于此，選擇二級杠桿機(jī)構(gòu)作為微定位平臺的放大機(jī)構(gòu)。同時，為了提高微定位平臺的響應(yīng)速度，對傳統(tǒng)杠桿機(jī)構(gòu)的幾何形狀進(jìn)行優(yōu)化。圖2所示為3種不同類型的杠桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)及其力驅(qū)動形式，其中圖2（a）、（b）為新型杠桿機(jī)構(gòu)，圖2（c）為傳統(tǒng)杠桿機(jī)構(gòu)。圖2中：小黑點(diǎn)表示杠桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)心，m表示杠桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)量，r1、r2和r3分別表示3種不同類型杠桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)心與轉(zhuǎn)動軸之間的距離，F(xiàn)表示驅(qū)動力。

圖2 不同類型杠桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)與力驅(qū)動形式對比Fig.2 Comparison of structure and force driving form of different types of lever mechanisms

杠桿機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量J為：

則圖2所示的3種杠桿機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量分別為：

由r1＜r3＜r2可得：

在相同的驅(qū)動力F和力矩τ的作用下，不同杠桿機(jī)構(gòu)的終端加速度ai（i=1，2，3）為：

根據(jù)式（3）可知a1＞a3＞a2，由此說明相比于圖2（c）所示傳統(tǒng)杠桿機(jī)構(gòu)和圖2（b）所示的新型杠桿機(jī)構(gòu)，圖2（a）所示的新型杠桿機(jī)構(gòu)可更有效縮短反應(yīng)時間。因此，采用圖2（a）所示的新型杠桿機(jī)構(gòu)有利于提高微定位平臺的響應(yīng)速度，進(jìn)而提升微定位平臺的整體性能。

1.3 微定位平臺設(shè)計

基于新型二級杠桿機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺的結(jié)構(gòu)如圖3所示，整個微定位平臺的外形尺寸為235mm×235mm×10mm，其內(nèi)部含有36個柔性鉸鏈，由壓電陶瓷驅(qū)動。二自由度微定位平臺采用并聯(lián)形式，由4個支鏈（2個二級杠桿機(jī)構(gòu)和2個位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)）連接末端工作平臺和基座，具有剛度大、承載能力強(qiáng)、無積累誤差和響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)。二自由度微定位平臺利用二級杠桿機(jī)構(gòu)放大輸入位移，在每個二級杠桿機(jī)構(gòu)的第1級杠桿的柔性鉸鏈支點(diǎn)附近添加1對固定孔，以有效防止在杠桿機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時柔性鉸鏈因受到較大的拉伸而導(dǎo)致微定位平臺整體發(fā)生大的形變，從而影響該方向輸出位移的放大；同時，固定孔中心應(yīng)適當(dāng)偏離柔性鉸鏈中心，以防止柔性鉸鏈因拉伸過大而發(fā)生斷裂。在二自由度微定位平臺的x、y方向上，壓電陶瓷驅(qū)動器輸入的位移經(jīng)二級杠桿機(jī)構(gòu)放大后傳至末端工作平臺，再通過位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的定向傳導(dǎo)，消除多余的耦合寄生運(yùn)動后輸出。

2 二自由度微定位平臺性能理論分析

為進(jìn)一步了解二自由度微定位平臺的各項性能，對該微定位平臺的位移放大倍數(shù)、靜力學(xué)特性（剛度特征）以及動力學(xué)特性（固有頻率）進(jìn)行理論分析。

2.1 位移放大倍數(shù)分析

圖3 基于二級杠桿機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺整體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Overall structure diagram of two-DOF micro-positioning platform based on two-level lever mechanism

二級杠桿機(jī)構(gòu)作為微定位平臺的位移放大、傳遞機(jī)構(gòu)，采用完全對稱結(jié)構(gòu)，以避免應(yīng)力集中和確保機(jī)構(gòu)不受切向破壞力的影響，同時使非驅(qū)動位移方向上的受力抵消，不產(chǎn)生附加位移，以提高運(yùn)動精度。二自由度微定位平臺中二級杠桿機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)如圖4所示。圖4中：l1為位移輸入點(diǎn)S到柔性鉸鏈A的水平距離；l2為柔性鉸鏈A到柔性鉸鏈B的水平距離；l3為柔性鉸鏈C到柔性鉸鏈D的水平距離；l4為柔性鉸鏈D到柔性鉸鏈G的水平距離；l5為連接工作平臺的每根桿的長度；l6為位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)中直梁型柔性鉸鏈的缺口長度。為了方便計算，取二級杠桿機(jī)構(gòu)的一側(cè)進(jìn)行分析，其放大原理如圖5所示：輸入位移Δd經(jīng)由柔性鉸鏈A、B組成的第1級杠桿和由柔性鉸鏈C、D、G組成的第2級杠桿進(jìn)行放大處理，最終在柔性鉸鏈H處輸出位移Δy。圖5中：Δa表示輸入位移經(jīng)第1級杠桿放大后的輸出位移，同時也是第2級杠桿的輸入位移；θ1表示第1級杠桿的轉(zhuǎn)角；θ2表示第2級杠桿的轉(zhuǎn)角。

圖4 二自由度微定位平臺中二級杠桿機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)Fig.4 Dimension parameters of two-level lever mechanism in the two-DOF micro-positioning platform

圖5 二級杠桿機(jī)構(gòu)的放大原理Fig.5 Amplification principle of two-level lever mechanism

根據(jù)圖5所示的二級杠桿機(jī)構(gòu)放大原理和相似三角形理論，可得第1級杠桿的位移放大倍數(shù)為［17］：

同理可得第2級杠桿的位移放大倍數(shù)為：

綜上可得二級杠桿機(jī)構(gòu)的位移放大倍數(shù)為：

2.2 靜力學(xué)分析

為得到二自由度微定位平臺輸出位移與驅(qū)動力的關(guān)系，對其進(jìn)行靜力學(xué)分析。驅(qū)動力主要用于驅(qū)使柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動，因此需要先計算柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度。如圖6所示，以柔性鉸鏈連接桿截面中心為原心，中性軸方向為y軸方向，柔性鉸鏈兩端連接方向為x軸方向，與柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動平面相互垂直的方向為z軸方向，建立直角坐標(biāo)系，其中：t、h、b分別為柔性鉸鏈的最小厚度、高度和寬度，R為正圓型柔性鉸鏈的圓弧半徑，2w為直梁型柔性鉸鏈中間梁桿的長度，Mz為柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動時受到的力矩。

圖6 柔性鉸鏈幾何模型Fig.6 Geometric model of flexure hinges

由圖6可知，正圓型柔性鉸鏈和直梁型柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)角剛度k1、k2分別為［18］：

式中：E表示材料的彈性模量；I為直梁型柔性鉸鏈中間梁桿截面上y方向的慣性矩。

對二自由度微定位平臺y方向的剛度進(jìn)行分析，為方便計算，取微定位平臺的左側(cè)進(jìn)行分析，具體參數(shù)如圖7所示。

圖7 二自由度微定位平臺靜力學(xué)分析參數(shù)Fig.7 Static analysis parameters of two-DOF micro-positioning platform

微定位平臺在驅(qū)動力作用下運(yùn)轉(zhuǎn)做功時會產(chǎn)生相應(yīng)的動能與勢能，分別可表示為：

式中：T、U分別為微定位平臺的動能和勢能；m1為連接二級杠桿機(jī)構(gòu)與工作平臺的每根桿的質(zhì)量；J4、J5、J6分別為第1級杠桿、第2級杠桿和x方向上與工作平臺相連的每根桿的轉(zhuǎn)動慣量；θ3為x方向上與工作平臺相連的每根桿的轉(zhuǎn)動角度。

同時，依據(jù)微定位平臺的輸出位移Δy，可得：

由于微定位平臺的輸出位移Δy很小，可得：

將式（15）至式（17）代入式（10）和（11）可得：

式中：M表示二自由度微定位平臺的質(zhì)量；K表示二自由度微定位平臺y方向的剛度。

綜上，二自由度微定位平臺y方向的剛度K可表示為：

二自由度微定位平臺的結(jié)構(gòu)對稱，其x方向的剛度與y方向的剛度相同，不再重復(fù)推導(dǎo)。

2.3 動力學(xué)分析

對二自由度微定位平臺進(jìn)行動力學(xué)分析，以得到其固有頻率。由靜力學(xué)分析可知，該微定位平臺的質(zhì)量M可表示為：

基于拉格朗日公式，得到該微定位平臺的動力學(xué)方程：

式中：qj為廣義坐標(biāo)；Fj為非有勢力；n為微定位平臺的自由度數(shù)。

由此可得二自由度微定位平臺在位移輸出方向上的動力學(xué)方程為：

3 二自由度微定位平臺性能仿真分析

為了驗證理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，利用有限元分析軟件Workbench對二自由度微定位平臺的位移放大倍數(shù)、靜力學(xué)特性和動力學(xué)特性進(jìn)行仿真驗證。二自由度微定位平臺的材料為鋁合金7075-T6（SN），其彈性模量E=72 GPa，泊松比μ=0.33，屈服強(qiáng)度σ=505 MPa。二自由度微定位平臺的尺寸參數(shù)如表2所示。

表2 二自由度微定位平臺的尺寸參數(shù)Table 2 Dimension parameters of two-DOF micro-positioning platform

3.1 位移仿真分析

利用有限元分析軟件Workbench對二自由度微定位平臺進(jìn)行位移仿真分析。將二自由度微定位平臺的三維模型（Solidworks中建立）導(dǎo)入Workbench后建立有限元模型，并在所有定位孔的內(nèi)圓柱面施加固定約束，在加載節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行位移加載。二自由度微定位平臺的位移云圖及應(yīng)變云圖如圖8所示。

為驗證二自由度微定位平臺的穩(wěn)定性，對其y方向的輸入位移和輸出位移進(jìn)行分析，結(jié)果如表3所示。由表3可知，該二自由度微定位平臺在y方向上輸出位移時，會在x方向上產(chǎn)生一定的耦合位移xc，但相比于實際需要的輸出位移yout，xc非常微小，可以忽略不計，這表明該微定位平臺具有較高的穩(wěn)定性。

3.2 靜力學(xué)仿真分析

為了驗證二自由度微定平臺理論剛度模型的準(zhǔn)確性，對其進(jìn)行靜力學(xué)仿真分析。不同驅(qū)動力下二自由度微定位平臺輸出位移的理論值與仿真值對比如圖9所示。

由圖9可知：二自由度微定位平臺的輸出位移與驅(qū)動力呈線性相關(guān)關(guān)系，輸出位移隨驅(qū)動力的增大而增大，其仿真剛度為7.57 N/μm。根據(jù)式（20）計算得到該微定位平臺的理論剛度為6.86 N/μm，仿真剛度與理論剛度比較接近，其相對誤差為9%；隨著驅(qū)動力的增大，理論剛度與仿真剛度的差異逐漸增大，這是因為微變形和微運(yùn)動對輸出位移的影響會隨驅(qū)動力的增大而增大，而理論分析時忽略了微變形、微運(yùn)動的影響，從而導(dǎo)致差異變大。但總體而言，理論分析結(jié)果具有較高的可靠性，可為微定位平臺剛度分析提供理論指導(dǎo)。

3.3 動力學(xué)仿真分析

圖8 二自由度微定位平臺的位移云圖及應(yīng)變云圖Fig.8 Displacement nephogram and strain nephogram of two-DOF micro-positioning platform

表3 二自由度微定位平臺y方向輸出位移仿真結(jié)果Table 3 Simulation results of y-direction output displacement of two-DOF micro-positioning platform

為驗證二自由度微定位平臺動力學(xué)特性理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，對該微定位平臺進(jìn)行動力學(xué)仿真分析，主要通過模態(tài)和固有頻率來表征其動力學(xué)性能，仿真結(jié)果如圖10所示。由圖10可以看出，二自由度微定位平臺的第1階共振頻率為638.21 Hz，在該頻率下，工作平臺沿z方向發(fā)生了偏移；在第2、第3階頻率下，工作平臺沿x、y方向產(chǎn)生平移；在第4、第5、第6階頻率下，工作平臺沿z方向產(chǎn)生平移。在工作平臺沿x、y方向作平移運(yùn)動的情況下，微定位平臺的固有頻率比較接近，表明在第2、第3階頻率下，該微定位平臺具有相似的動力學(xué)特性。

圖9 不同驅(qū)動力下二自由度微定位平臺輸出位移的理論值與仿真值對比Fig.9 Comparison of theoretical and simulated output displacements of two-DOF micro-positioning platform under different driving forces

4 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種基于二級杠桿機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺。通過對該微定位平臺的位移放大倍數(shù)、剛度及固有頻率進(jìn)行理論分析和仿真分析發(fā)現(xiàn)，該微定位平臺具有穩(wěn)定性好、剛度大和動力學(xué)性能良好等優(yōu)點(diǎn)。本文采用的微定位平臺結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析方法具有一定的實用價值。

圖10 二自由度微定位平臺動力學(xué)仿真結(jié)果Fig.10 Dynamics simulation results of two-DOF micro-positioning platform