運(yùn)中有智慧 算中有妙法

錢利平

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的培養(yǎng)

學(xué)生核心素養(yǎng)的培育應(yīng)緊緊把握核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，著眼于學(xué)生適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力的提升。近一年來(lái)，嘉興市小學(xué)數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)以分工合作的方式深入開展了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的研究。在初步厘清學(xué)科關(guān)鍵能力內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，八個(gè)縣（市、區(qū)）組建了三個(gè)研究小組，分別聚焦運(yùn)算能力、空間想象能力和推理能力的實(shí)踐研究。2019年12月，本刊聯(lián)合嘉興教育學(xué)院，組織舉辦了“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力培養(yǎng)”專題研討活動(dòng)，圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)“運(yùn)算能力”“空間想象能力”“推理能力”三個(gè)方面的主題展開研討。通過(guò)課堂觀摩、觀點(diǎn)報(bào)告、交互研討等形式，展示嘉興小學(xué)數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)一年多來(lái)的初步研究成果，也為廣大一線教師搭建了一個(gè)交流與對(duì)話的平臺(tái)。本專輯呈現(xiàn)了部分研究課例和研究論文，以期引發(fā)廣大數(shù)學(xué)教師的關(guān)注和深入研討。

【摘 ? 要】小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將“運(yùn)算能力”作為十大核心概念提出，充分體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的重要性。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，不僅要培養(yǎng)學(xué)生“算”的能力，更要培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)”的能力。具體可圍繞“運(yùn)意識(shí)之道、運(yùn)規(guī)則之道、運(yùn)策略之道”三個(gè)步驟展開，力圖在教學(xué)中體現(xiàn)先“運(yùn)”后“算”，邊“運(yùn)”邊“算”，“算”后再“運(yùn)”這樣的計(jì)算教學(xué)特色，讓“運(yùn)”貫穿于“算”的全過(guò)程，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算能力;意識(shí)之道;規(guī)則之道;策略之道

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題”。這兩句話實(shí)際上刻畫了運(yùn)算能力的三個(gè)主要表現(xiàn)特征：正確運(yùn)算、理解算理、方法合理。那么，新課標(biāo)提出8年了，對(duì)運(yùn)算能力而言，現(xiàn)狀又是怎樣的呢？

為了對(duì)學(xué)生情況有比較準(zhǔn)確的了解，我們對(duì)某校83名學(xué)生進(jìn)行了一個(gè)小樣本調(diào)查。

調(diào)查材料：請(qǐng)你用自己喜歡的方法算：36×0.25（其中一道前測(cè)題）。結(jié)果如圖1所示。

從前測(cè)情況看出：學(xué)生的筆算意識(shí)相當(dāng)強(qiáng)，但對(duì)運(yùn)算意義的理解不深刻。正是基于這樣的教學(xué)現(xiàn)狀，我們思考：運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的關(guān)鍵能力，能否將它拆分為“運(yùn)”的能力與“算”的能力？“運(yùn)”是意識(shí)、思想、策略，是一種思維活動(dòng);“算”是技能、實(shí)踐、演練，是一種操作活動(dòng)。要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，不僅要培養(yǎng)學(xué)生“算”的能力，更要培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)”的能力。因此，教學(xué)中要體現(xiàn)先“運(yùn)”后“算”，邊“運(yùn)”邊“算”，“算”后再“運(yùn)”這樣的計(jì)算教學(xué)特色，讓“運(yùn)”貫穿于“算”的全過(guò)程。一個(gè)學(xué)生如果頭腦里“運(yùn)”清楚，“運(yùn)”明白了，“算”就是水到渠成的一件事。

一、運(yùn)意識(shí)之道，求算法之簡(jiǎn)

“意識(shí)”是指人的頭腦對(duì)客觀物質(zhì)世界的反映，也是感覺、思維等各種心理過(guò)程的總和。遇到36×0.25，為什么會(huì)有36%的學(xué)生選擇列豎式筆算？說(shuō)明學(xué)生沒有求簡(jiǎn)意識(shí)。那么教師該如何運(yùn)意識(shí)之道呢？第一，學(xué)生在運(yùn)算前要有簡(jiǎn)算的意識(shí)，想一想“能簡(jiǎn)算嗎”;第二，學(xué)生在運(yùn)算時(shí)要有質(zhì)疑辨析的意識(shí)，思考“我這樣算有根據(jù)嗎”;第三，學(xué)生在運(yùn)算后要有反思檢查的意識(shí)，自查“算得對(duì)嗎？算得巧嗎”。

（一）能簡(jiǎn)算嗎？——喚醒“簡(jiǎn)算意識(shí)”

在計(jì)算教學(xué)中，教師往往重視讓學(xué)生低頭算，卻忽視了讓學(xué)生抬頭想。因此，在36×0.25的教學(xué)中，筆者提問：“不列豎式計(jì)算，你還有別的方法嗎？”通過(guò)呈現(xiàn)學(xué)生的四種不同算法，引發(fā)學(xué)生的思維碰撞（如圖2）。

這四種算法的呈現(xiàn)是有視覺沖擊的，它明確地告訴學(xué)生，一道計(jì)算題，可以有不同的簡(jiǎn)便算法，每種算法只要有根據(jù)，就是合理的。因此學(xué)生在計(jì)算時(shí)，潛意識(shí)里要有高效運(yùn)算的“簡(jiǎn)算意識(shí)”。

（二）有根據(jù)嗎？——發(fā)展“依據(jù)意識(shí)”

合理的算法，需要知道合的是什么理，根據(jù)什么樣的運(yùn)算律，運(yùn)算律又是根據(jù)什么樣的運(yùn)算義。對(duì)于圖2中的四種算法，筆者引發(fā)學(xué)生思考：“這些算法都有根據(jù)嗎？”通過(guò)對(duì)比辨析，學(xué)生既感受到算法的多樣化，又對(duì)算法合理性的本質(zhì)再次內(nèi)化，“依據(jù)意識(shí)”深入人心。

我們來(lái)看，生1和生2運(yùn)用了乘法分配律，生3運(yùn)用了積的變化規(guī)律，生4運(yùn)用了乘法結(jié)合律。學(xué)生從“不同的運(yùn)算定律”中感悟到“運(yùn)算意義的相同”，即都是36個(gè)0.25相加，這是算法背后的“依據(jù)”，也是算法的“根”。一旦算理扎根，學(xué)生在運(yùn)算時(shí)，只需要對(duì)與之相關(guān)的運(yùn)算順序、運(yùn)算法則和運(yùn)算定律進(jìn)行靈活運(yùn)用，就能做到有律可依，達(dá)到計(jì)算過(guò)程的“簡(jiǎn)化”。

（三）算得對(duì)嗎？算得巧嗎？——深化“反思意識(shí)”

學(xué)生在交流、辨析和比較中，會(huì)找到適合自己的最優(yōu)算法。如在對(duì)36×0.25的幾種算法的反饋過(guò)程中，通過(guò)對(duì)比筆算方法和學(xué)生常見的錯(cuò)誤：（4×9）×0.25=9×0.25+4×0.25，引發(fā)學(xué)生自查：“表示的是36個(gè)0.25嗎？你喜歡哪種算法？”同時(shí)，在對(duì)“算得對(duì)嗎”“算得巧嗎”這兩個(gè)問題的反思覺察中，通過(guò)對(duì)最優(yōu)算法的欣賞評(píng)價(jià)，進(jìn)一步深化學(xué)生“反思檢查”的意識(shí)。

因此，教師要讓學(xué)生在計(jì)算時(shí)，運(yùn)意識(shí)之道。學(xué)生在“能簡(jiǎn)算嗎”“有根據(jù)嗎”“算得對(duì)嗎？算得巧嗎”這樣一連串問題的自我設(shè)問中，不斷地進(jìn)行自我覺察，自我調(diào)整，從而求得算法之簡(jiǎn)。

二、運(yùn)規(guī)則之道，正算法之理

計(jì)算規(guī)則一般有兩類：一類是法則，根據(jù)法則確定運(yùn)算順序;一類是定律，根據(jù)定律可以打破既定的運(yùn)算順序。在計(jì)算中，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)兩類情況：第一類是該依法則計(jì)算時(shí)卻按定律算，表現(xiàn)為“不能簡(jiǎn)算的亂簡(jiǎn)算”;第二類是該依定律計(jì)算時(shí)卻按法則算，表現(xiàn)為“能簡(jiǎn)算的不簡(jiǎn)算”，這反映出學(xué)生對(duì)“法則”和“定律”的本質(zhì)理解不清晰、不到位的問題。那么，如何在教學(xué)中運(yùn)規(guī)則之道，正算法之理呢？

（一）認(rèn)清法則，讓算法有根可尋

法則是人們?cè)谟?jì)算中自然形成的一種計(jì)算規(guī)則，是小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要表現(xiàn)形式之一，它廣泛地存在于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等內(nèi)容之中。

在教學(xué)中，教師應(yīng)嚴(yán)格要求學(xué)生按照相應(yīng)的定理、定義和法則理解題目，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成遵守法則的習(xí)慣。與此同時(shí)，還需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不遵守法則的后果。例如，在加減混合的綜合算式計(jì)算教學(xué)過(guò)程中，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“從左往右”的計(jì)算順序，教師可出示這樣的題目：10-7.5+2.5=？，學(xué)生可能會(huì)給出5和0兩種答案，此時(shí)教師便可以告訴學(xué)生正確答案，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到加減混合算式的運(yùn)算法則，從而逐漸培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)則意識(shí)。

（二）厘清定律，讓算法有律可依

運(yùn)算定律是一種模型化知識(shí)，是對(duì)數(shù)的運(yùn)算過(guò)程中基本規(guī)律的歸納與總結(jié)。然而，在教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生混淆運(yùn)算定律的情況特別多。例如1.25×2.5×12一題，混淆運(yùn)算律的情況主要有以下兩種（如圖3）。

學(xué)生只關(guān)注到1.25×8以及2.5×4可以湊整，而對(duì)算式的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)模糊。對(duì)數(shù)據(jù)的片面關(guān)注導(dǎo)致學(xué)生對(duì)乘法結(jié)合律與乘法分配律混淆不清。那么如何幫助學(xué)生厘清定律，對(duì)運(yùn)算律有清晰的認(rèn)識(shí)呢？教師可以結(jié)合具體情境展開教學(xué)（如圖4）。

把2.5變成長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)，1.25變成長(zhǎng)方形木板的寬。一方面，學(xué)生更加傾向把1.25×2.5這一塊木板的面積當(dāng)成一個(gè)“整體”，有效規(guī)避了錯(cuò)誤;另一方面，從乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征入手，強(qiáng)化學(xué)生的結(jié)構(gòu)意識(shí)，使學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律的結(jié)構(gòu)印象深刻。

由此可見，運(yùn)規(guī)則之道，幫助學(xué)生厘清法則和定律，有助于培養(yǎng)學(xué)生合理選擇算法的能力，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性。

三、運(yùn)策略之道，釋算法之義

運(yùn)算策略水平是鑒別學(xué)生運(yùn)算能力高低的一個(gè)敏感因素。運(yùn)策略之道，一方面可以與現(xiàn)實(shí)背景相結(jié)合，賦予計(jì)算在實(shí)際生活中的價(jià)值;另一方面可以借助“數(shù)形結(jié)合”，通過(guò)幾何直觀，使抽象的計(jì)算教學(xué)變得具體形象。

策略1：與現(xiàn)實(shí)背景相結(jié)合，以現(xiàn)實(shí)模型釋算法之義

小學(xué)數(shù)學(xué)中的計(jì)算題往往取自生活原型。給運(yùn)算賦予現(xiàn)實(shí)背景，可以讓純粹的計(jì)算變得鮮活。比如，在探究《乘法分配律》一課中，筆者在課堂上出示如下情境。

（1）學(xué)校購(gòu)買春裝校服，每件上衣50元，每條褲子45元，買這樣的30套衣服一共要多少元？（只列式不計(jì)算）

（2）在一個(gè)長(zhǎng)方形花圃里栽郁金香和菊花（如下圖），這個(gè)花圃占地多少平方米？（只列式不計(jì)算）

通過(guò)列式，學(xué)生出現(xiàn)了兩種思路的算式表達(dá)——“先求和，再相乘，即（a+b）×c”或“先分別乘，再相加，即a×c+b×c”。從現(xiàn)實(shí)背景入手，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的解構(gòu)，讓運(yùn)算意義或算理的解釋與現(xiàn)實(shí)問題的解決融合起來(lái)，讓學(xué)生理解算法的“要義”。

策略2：與平面圖形相結(jié)合，以數(shù)形結(jié)合釋算法之義

華羅庚老師說(shuō)過(guò)，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。幾何直觀是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十個(gè)核心概念之一，主要是指利用圖形描述和分析問題，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，研究問題。

例如在教學(xué)1.25×2.5×12時(shí)，教師可以借助長(zhǎng)方形，幫助學(xué)生建立正確的表象。如何引導(dǎo)學(xué)生正確計(jì)算呢？學(xué)生想到“1塊木板的面積×12”：1.25×2.5×12，一個(gè)一個(gè)看，顯然算起來(lái)比較麻煩。這時(shí)教師提出可以結(jié)合圖，使計(jì)算更簡(jiǎn)便。引導(dǎo)學(xué)生算大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)×寬：（2.5×4）×（1.25×3）（如圖5）;也可以算一行的面積×3：（2.5×4×1.25）×3（如圖6）。兩種方法都利用了2.5×4可以湊整的數(shù)據(jù)特征，達(dá)到簡(jiǎn)算的目的。而且這兩種算法溝通了“運(yùn)算意義”和“運(yùn)算定律”之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解算理。

那么可不可以算一列的面積×4呢？（1.25×3×2.5）×4，顯然這樣計(jì)算是比較麻煩的。這道題目很有意思，在圖形意義的指導(dǎo)下，利用數(shù)據(jù)的特征，引導(dǎo)學(xué)生先思維后計(jì)算，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算習(xí)慣。由此可見，運(yùn)策略之道，就是讓每一種算法，既能找到生活原型，又能找到圖形對(duì)應(yīng)，使每種算法都有理有據(jù)。

運(yùn)中有智慧，算中有妙法。如果把運(yùn)算中的“運(yùn)”和“算”放在二維體系中，它們應(yīng)該是有一定正比關(guān)系的，“運(yùn)”的能力越弱，“算”的方法可能只局限在“對(duì)”上;“運(yùn)”的能力一般，“算”的方法只能求好;“運(yùn)”的能力越強(qiáng)，則“算”的方法就越巧。在當(dāng)下計(jì)算教學(xué)格局重“算”的背景下，我們力圖重“運(yùn)”，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)中求道，以道馭法，這樣“道法自然”的計(jì)算課，正是我們所追求的！

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（上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)秀洲外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 ? 314000）