推理能力培養(yǎng)三部曲

夏小林 朱新強

【摘 ? 要】推理能力是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分。推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學課程與課堂教學的重要目標。就“多邊形內(nèi)角和”的教學來說，教師可設(shè)計以下教學活動：以實例測量形成猜想，用合情推理猜想“三角形的內(nèi)角和是180°”，進而運用演繹推理證明四邊形、五邊形內(nèi)角和。合情推理、演繹推理兩種推理方式互為補充，使學生不僅“知其然”，而且“知其所以然”。通過課堂教學切實提升學生的推理能力。

【關(guān)鍵詞】推理能力;合情推理;演繹推理

推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學課程與課堂教學的重要目標。在小學數(shù)學教學中應該如何培養(yǎng)學生的推理能力呢？筆者以“多邊形內(nèi)角和”教學為例，談談自己的體會。

一、把握本質(zhì)，讓知識成為思維的載體

對比人教版和北師大版教材中有關(guān)“三角形內(nèi)角和”的教學內(nèi)容，我們發(fā)現(xiàn)，這兩個版本的教材中都專門安排了“發(fā)現(xiàn)”活動：先引導學生通過量一量、算一算，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和在180°左右，然后借助撕拼活動進行驗證，發(fā)現(xiàn)三角形三個內(nèi)角可以撕拼成平角，再根據(jù)平角含義得出三角形內(nèi)角和是180°這個結(jié)論。不同之處在于：人教版教材直接明確“畫幾個不同類型的三角形”，分類研究的數(shù)學思想表達得更充分;北師大版教材則以表格的形式呈現(xiàn)，引導學生關(guān)注“三角形的形狀”，滲透分類思想。另外，北師大版教材還告知學生“測量有誤差”。

傳統(tǒng)的教學往往以得出知識結(jié)論為主要目標，不太重視思想方法的滲透，特別容易忽視知識背后“推理能力”的培養(yǎng)。在本課教學中，我們以“推理”為主線，先通過對一個銳角三角形內(nèi)角和的測量求和，形成猜想：是不是所有的三角形內(nèi)角和都是180°？在此基礎(chǔ)上引導學生分類研究，以組為單位，分別測量計算銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和，然后通過不完全歸納法，得出每一類三角形的內(nèi)角和。最終在“類”的層面上實現(xiàn)完全歸納，從而推理出所有三角形內(nèi)角和是180°的結(jié)論。另外，借助撕拼法讓學生確信所測量的三角形內(nèi)角和就是180°，同時體驗到證明方法的多樣性。本課的教學設(shè)計將多邊形內(nèi)角和教學整合為一課時，以三角形內(nèi)角和為基礎(chǔ)，并借助三角形內(nèi)角和是180°，推理出四邊形、五邊形的內(nèi)角和，滲透探究多邊形內(nèi)角和的一般方法和模型。

本節(jié)課的教學設(shè)計框架如下：

二、形成猜想，讓學生站在推理的起點

牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)！”學習數(shù)學的過程中，引導和鼓勵學生提出猜想十分重要。合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗證”的過程，而培養(yǎng)合情推理能力應以觀察為基礎(chǔ)，以猜想為橋梁，以想象為動力。教師要為學生營造一個可供猜想的情境，讓學生借助有利于引發(fā)猜想的素材，有機可“猜”。

【教學片段1】

（1）提出問題，形成猜想。

師（出示三角形）：你有什么辦法可以知道它的內(nèi)角和嗎？

生：量一量它的三個內(nèi)角的度數(shù)，然后加起來。

（生操作，師指導）

師：通過測量， 我們知道了這個三角形的內(nèi)角和是180°?，F(xiàn)在，關(guān)于三角形的內(nèi)角和，你有沒有一個大膽的猜想呢？

（2）討論交流，思考策略。

師：我們剛剛只知道這個三角形的內(nèi)角和是180°，是不是就可以說所有三角形的內(nèi)角和都是180°呢？

在前測中，我們發(fā)現(xiàn)班中的大部分學生已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°這個結(jié)論，但并不清楚這一數(shù)學事實的來由。所以教師在這個環(huán)節(jié)請學生測量銳角三角形內(nèi)角并求和，目的不是得出三角形的內(nèi)角和是180°，而是形成猜想：是不是所有三角形的內(nèi)角和都是180°？從研究問題和解決問題的角度，教師提供了按角分類的研究思路，滲透了“分類的策略”，為合情推理提供了充分的依據(jù)。撕拼法是教師用課件演示的，這主要是因為在試教中我們發(fā)現(xiàn)學生自己很難想到，而撕拼法的價值在于發(fā)現(xiàn)任意三角形的內(nèi)角都可以拼成一個平角，而平角為180°，從而推導出三角形內(nèi)角和為180°。借助撕拼法驗證，讓學生確信測量的三角形內(nèi)角和就是180°。

三、經(jīng)歷過程，讓學生體悟推理

（一）從“形成猜想”到 “合情推理”三角形內(nèi)角和是180°

著名數(shù)學教育家波利亞認為：“合情推理是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的源泉?！焙锨橥评硎菙?shù)學發(fā)現(xiàn)過程和數(shù)學體系建構(gòu)過程中的一種重要思維形式。合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類，簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理;類比推理是由特殊到特殊的推理。

【教學片段2】

師：請第一大組任意畫一個直角三角形，第二大組任意畫一個銳角三角形，第三、第四大組任意畫一個鈍角三角形，然后量一量，算一算，看看它們的內(nèi)角和是不是180°。

（生操作，師指導……之后反饋三種類型三角形的內(nèi)角和）

師：通過測量法、折紙法，我們知道了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°，那么可不可以說所有三角形的內(nèi)角和是180°了呢？

生：可以。

本課教學中，在反饋每一類三角形內(nèi)角和時，采用的是不完全歸納法。以直角三角形為例，即使組內(nèi)每一個學生畫的直角三角形都不相同，我們也無法完全列舉其所包含的全部情況，但是，當每一類三角形的內(nèi)角和的結(jié)論都得出后（如下圖），在“類”的層面上就實現(xiàn)了完全歸納。

（二）從“自主探究”到“演繹推理”四邊形、五邊形內(nèi)角和

如果說三角形內(nèi)角和180°是通過提出猜想、合情推理得到的，那么四邊形、五邊形內(nèi)角和結(jié)論的得出，是經(jīng)歷完整的演繹推理的結(jié)果。

【教學片段3】

師：同學們，現(xiàn)在我們研究四邊形、五邊形的內(nèi)角和。如果不量、不折、不拼，你們能不能應用剛剛學到的三角形內(nèi)角和的知識，來推理出四邊形和五邊形的內(nèi)角和呢？

（生操作，師指導）

師：你們想到辦法了嗎？

生：在四邊形中畫一條線，將它變成兩個三角形，每個三角形的內(nèi)角和是180°，那么四邊形的內(nèi)角和就是180°×2=360°。（如右圖）

四邊形的內(nèi)角和是幾度呢？學生須靜下心來觀察思考：四邊形如何與三角形發(fā)生聯(lián)系，進而再與三角形內(nèi)角和的知識進行聯(lián)系？漸漸地，“分”的意識在學生腦海中萌芽，通過嘗試連對角線（添輔助線），學生驚喜地發(fā)現(xiàn)任意一個四邊形都可以分成兩個三角形，四邊形的內(nèi)角和，也就是兩個三角形內(nèi)角的總和，即180°×2=360°。通過演繹推理可得，四邊形的內(nèi)角和是360°。在此基礎(chǔ)上，教師又進一步引導學生經(jīng)歷完整的推理過程，清晰而嚴謹?shù)乇硎鐾评磉^程。

推理四邊形內(nèi)角和360°框架

任意一個四邊形都可以分成兩個三角形 （大前提）

任意一個三角形的內(nèi)角和都是180° （小前提）

所以任意一個四邊形的內(nèi)角和都是360° （結(jié)論）

三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理;（2）小前提——所研究的特殊情況;（3）結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷。探究發(fā)現(xiàn)的路，就是創(chuàng)新之路。把未知的知識轉(zhuǎn)化成已知的知識解決問題，既是策略，又是重要的數(shù)學方法，是演繹推理本質(zhì)的體現(xiàn)，即從已有知識得出新知識，特別是得到不可能通過感覺經(jīng)驗掌握的新知識。

（三）從“知道結(jié)論”到“模型思想”，感悟多邊形內(nèi)角和計算的一般方法

【教學片段4】

師：同學們都有自己的收獲?，F(xiàn)在，請你們觀察一下這幾個算式，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)，每增加一條邊，內(nèi)角和就多180°。

生：我發(fā)現(xiàn)，四邊形可以分成2個三角形，五邊形可以分成3個三角形。

師：那么，除了這幾個圖形外，你知道還有哪些多邊形嗎？

師：那你能不能也用我們學過的知識，來推理出這些多邊形的內(nèi)角和呢？這個問題就留給大家課后再去研究了。

有了四邊形、五邊形內(nèi)角和推理的基礎(chǔ)，六邊形以及更多邊形內(nèi)角和的推理，在方法運用上已經(jīng)水到渠成了。得出“多邊形內(nèi)角和”的計算模型，是本堂課“錦上添花”的一筆！

縱觀整節(jié)課的學習路徑：三角形內(nèi)角和教學，以實例測量形成猜想，合情推理;以“三角形內(nèi)角和是180°”，運用演繹推理證明四邊形、五邊形內(nèi)角和，合情推理、演繹推理兩種推理方式相得益彰。合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證，演繹推理可以驗證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路。一句話：合情推理使學生“知其然”，演繹推理使學生“知其所以然”。

（浙江省嘉興市實驗小學 ? 314000）