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    “位值”背后的基本活動(dòng)

    2020-04-09 04:52郜舒竹

    【摘 ? 要】十進(jìn)制記數(shù)中的“位值”,是各個(gè)學(xué)段數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容,同時(shí)也存在著認(rèn)知困難。對其設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)十分必要??山梃b認(rèn)知科學(xué)中的生成論,以及涉身認(rèn)知中意象圖式和隱喻的理論,結(jié)合學(xué)生熟悉的上學(xué)過程中的活動(dòng),概括出與容器相關(guān)的意象圖式,用于位值及其相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)。

    【關(guān)鍵詞】位值;基本活動(dòng);意象圖式

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱“課標(biāo)”)的總目標(biāo)指出:“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?!睂H重視知識(shí)和技能“雙基”的課程目標(biāo),拓展為包括活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思想感悟的“四基”。對一線實(shí)施教學(xué)的教師來說,面臨的問題是:教學(xué)中如何落實(shí)這樣的目標(biāo)?

    如果把知識(shí)視為是在活動(dòng)中習(xí)得或生成的,技能是在活動(dòng)中提升并熟練的,思想是在活動(dòng)中感悟并凝練的,經(jīng)驗(yàn)是在活動(dòng)中產(chǎn)生并積累的,那么讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷“基本活動(dòng)”,就成為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的核心。

    “課標(biāo)”中所說的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)指的是“數(shù)學(xué)的……基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”,不妨先把定語“數(shù)學(xué)的”去掉,關(guān)注一下人們?nèi)粘5幕顒?dòng)與數(shù)學(xué)的關(guān)系。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)課程中“位值(Place Value)”的認(rèn)識(shí)進(jìn)行說明。

    一、什么是“位值”

    “位值”一詞,應(yīng)當(dāng)是從英文“Place Value”翻譯而來的,指的是在十進(jìn)制記數(shù)時(shí),用有限的十個(gè)數(shù)字符號(hào)“0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”,表達(dá)無限多的自然數(shù)。位值是一種人為規(guī)定的規(guī)則,即并排寫出的數(shù)字,在不同的位置所表示的值是不同的。比如“22”,表面看兩個(gè)數(shù)字符號(hào)“2”并列,但個(gè)位的“2”表示兩個(gè)“一”,而十位的“2”表示兩個(gè)“十”,因此“22”表示的是“兩個(gè)十和兩個(gè)一”。簡單說,位值就是“位置有值”。

    位值作為人為規(guī)定的一種記數(shù)規(guī)則,實(shí)質(zhì)是把數(shù)作為語言進(jìn)行書寫表達(dá)的語法,是人類智慧的體現(xiàn),這種智慧表現(xiàn)為用0~9這有限的十個(gè)數(shù)字符號(hào),表達(dá)出無限多的自然數(shù),實(shí)現(xiàn)了有限與無限的對立統(tǒng)一。因此,成為全世界不同國家、不同語言、不同文化共同接受的記數(shù)方式,也成為所有不同國家、不同語言、不同文化的數(shù)學(xué)課程中必不可少的共同內(nèi)容和文化。

    作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容,位值可以說貫穿教學(xué)的始終。小學(xué)階段關(guān)于整數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算,以及小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算等等,初中階段關(guān)于有理數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算等等,都離不開對位值的理解。

    直觀上看,位置上的值是看不見的,具有表里不一的特點(diǎn),因此會(huì)導(dǎo)致認(rèn)知的困難。特別是低齡兒童剛開始學(xué)習(xí)的時(shí)候,比如教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),類似于“33-3=3”的錯(cuò)誤極其普遍,究其原因,是把并列的兩個(gè)3,即“33”看作“3和3”的關(guān)系,忽略了位置上的值,“33-3”的運(yùn)算就成為“從3和3中拿走一個(gè)3,自然還剩下一個(gè)3”。而位值作為規(guī)則,規(guī)定“33”表達(dá)的是“30和3”,其中的“30”從“33”的外表中是不可見的。正是這樣的表里不一,使得位值對于低齡兒童具有抽象性,這樣的抽象性自然會(huì)導(dǎo)致普遍性的認(rèn)知困難。

    數(shù)學(xué)課程中諸如此類具有抽象性的內(nèi)容很多,為了尋求更有效的課程設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施的方法,先簡要介紹與“涉身認(rèn)知(Embodied Cognitive)”有關(guān)的幾個(gè)概念。

    基于“生成論(Enactivism)”的認(rèn)知科學(xué)有一種涉身認(rèn)知的說法,其基本假設(shè)源于生物學(xué),認(rèn)為所有生物體(包括人)的認(rèn)知活動(dòng),都是自身身體、大腦在與外部環(huán)境的互動(dòng)中進(jìn)行的,倡導(dǎo)讓大腦回歸肉身,認(rèn)知是涉及身體以及身體活動(dòng)的。知識(shí)并不僅僅是吸收和表征的,而是在與環(huán)境互動(dòng)過程中生成的。生成論否定知識(shí)的靜態(tài)觀念,認(rèn)為知識(shí)本身就是過程,強(qiáng)調(diào)“做即知,知即做”[1]。

    涉身認(rèn)知否定認(rèn)知活動(dòng)是單純的頭腦中的智力活動(dòng),強(qiáng)調(diào)認(rèn)知活動(dòng)的涉身性,即身體以及身體活動(dòng)的不可或缺。其中兩個(gè)核心詞匯分別是“意象圖式”和“隱喻”,下面結(jié)合幾乎每位學(xué)生都要反復(fù)經(jīng)歷的“上學(xué)”的過程進(jìn)行說明。

    二、“上學(xué)”的活動(dòng)

    不妨把上學(xué)的過程概括為如下的系列活動(dòng),這些活動(dòng)都是人的身體需要參與并經(jīng)歷的。

    l出門前需要“收拾書包”;

    l背上書包“走出家門”;

    l路上“乘坐公交車”,也可能是其他交通工具;

    l到達(dá)學(xué)校“進(jìn)入教室”。

    整個(gè)“上學(xué)”過程中,出現(xiàn)了諸如“書包、家、公交車、教室”這些對象(Object),相當(dāng)于涉身認(rèn)知中所說的外部環(huán)境。整個(gè)上學(xué)的過程,就是人身體與這樣的環(huán)境互動(dòng)的過程。

    所有這些對象共同的特征是,都有“內(nèi)部”和“外部”,人身體的活動(dòng)自然就包括“從外到內(nèi)”和“從內(nèi)到外”。收拾書包的過程有“取出”和“放入”的活動(dòng),家的房間和教室的房間都有“走進(jìn)”和“走出”的活動(dòng),公交車有“上車(進(jìn)入車廂)”和“下車(走出車廂)”的活動(dòng)。諸如此類“出—入”的活動(dòng),是包括低齡兒童在內(nèi)的大部分人每天都會(huì)反復(fù)經(jīng)歷的。

    提及書包、房間、車廂,頭腦中自然會(huì)浮現(xiàn)出相應(yīng)的影像(見圖1)。

    這樣的影像在認(rèn)知科學(xué)(Cognitive Science)中叫作“意象(Image)”,也就是頭腦中的圖像(Picture in mind)。結(jié)合這些意象,“內(nèi)—外”的空間關(guān)系,以及人身體“從內(nèi)到外”和“從外到內(nèi)”的活動(dòng),頭腦中就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)結(jié)構(gòu)(System)或模式(Pattern),這樣的結(jié)構(gòu)或模式也叫“圖式(Schema)”,其實(shí)就是通常所說的思維方式。

    這樣的思維方式是在反復(fù)的互動(dòng)過程中無意識(shí)地、自然而然地形成的。鑒于“內(nèi)—外”的空間關(guān)系以及“出—入”的身體活動(dòng),都具有容納、包容的特征,因此這種思維方式可以命名為“容器(CONTAINER)”圖式[2],是諸多意象圖式(Image Schema)中的一種(見圖2)。

    意象圖式是從相對具體的意象中得到的,其作用一方面是對人身體有共性的日?;顒?dòng)或行為的概括,另一方面可以將其應(yīng)用于其他更多、更廣泛的活動(dòng)。比如人用餐過程中的盛飯、吃飯,其中的飯碗、嘴也都具有內(nèi)—外的空間關(guān)系,人身體的活動(dòng)同樣具有出—入的動(dòng)作,因此也可以納入到容器圖式中。

    意象圖式同時(shí)具有涉身性和概括性,往往用較為簡潔的圖形來表示。比如前面所說的容器圖式,通常用圖3的大小兩個(gè)圓,表示容器的內(nèi)外關(guān)系以及出入的活動(dòng)。

    對意象圖式進(jìn)行研究意在系統(tǒng)概括人的活動(dòng)方式,鑒于人日常活動(dòng)的多樣性和復(fù)雜性,使得意象圖式的研究成為一個(gè)開放的領(lǐng)域,也即不會(huì)窮盡。

    進(jìn)一步看“上學(xué)”的過程,收拾書包時(shí)會(huì)出現(xiàn)全部取出,使得書包變空的情況;也可能出現(xiàn)東西太多,裝不下的情況。乘坐公交車時(shí)可能出現(xiàn)車廂無乘客的空車廂情況,也可能出現(xiàn)人滿為患上不去的情況。這些經(jīng)驗(yàn)都與容器的“空”與“滿”類似,反復(fù)的經(jīng)歷使得頭腦中會(huì)形成“空—滿”的意象,面對空就是沒有對象,還可以進(jìn)入,進(jìn)入可以使得容器中從無到有;對于容器的“滿”,就意味著無法進(jìn)入,需要有出,才能有入。這就形成了另外一種意象圖式,可以命名為“空—滿(Empty-Full)”圖式,通常用圖4兩個(gè)圓進(jìn)行對比表示。其中左側(cè)圓表示“滿”,右側(cè)圓表示“空”。

    更進(jìn)一步,收拾書包時(shí)書包中會(huì)放入教科書、作業(yè)本、筆袋(筆盒)等不同類型的物品;進(jìn)入公交車會(huì)看到男人、女人、老人、年輕人、兒童等不同類型的人;進(jìn)入教室會(huì)發(fā)現(xiàn)有同學(xué)已經(jīng)來到,有同學(xué)還沒來到,有同學(xué)在打掃衛(wèi)生,有同學(xué)在讀書,等等。經(jīng)歷這些過程所形成的意象,使得人自然而然產(chǎn)生同中求異、異中求同的思維方式,也就是形成“類別”或“分類”的意象圖式。可以命名為“類別(COLLECTION)”圖式。

    類別圖式在人日常行為中的應(yīng)用極其廣泛,比如在書架上擺放圖書,會(huì)遵循便于記憶、便于尋找的原則,因此會(huì)分門別類地進(jìn)行擺放。在電腦中存放自己的文件,會(huì)依據(jù)不同類型的文件,設(shè)置不同的文件夾將文件分類,等等。

    三、容器與位值

    前面利用“上學(xué)”過程中的活動(dòng),介紹了與“出—入”活動(dòng)有關(guān)的思維方式,分別為容器、空—滿以及類別三個(gè)常見的意象圖式。鑒于出—入活動(dòng)的經(jīng)常性和重復(fù)性,可以把容器圖式作為設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的已有經(jīng)驗(yàn)。

    對于抽象的認(rèn)識(shí)對象,認(rèn)知科學(xué)通常運(yùn)用“類比(Analogy)”,也叫作“隱喻(Metaphor)”的方式進(jìn)行理解。比如一個(gè)人很有學(xué)問,但這些學(xué)問從人的外表是看不見的,“滿腹經(jīng)綸”這一成語就是一個(gè)類比或隱喻的說法,把人身體中的“腹”看作容器,用“滿”表示多,運(yùn)用了容器圖式進(jìn)行類比。再比如人的“信心”也是一個(gè)抽象的概念,存在于人的心理中,是成就事業(yè)重要的心理因素。因此會(huì)有“信心滿滿”的說法,把人的心理類比為容器,用“滿”隱喻“充足”。類似的隱喻還有滿心歡喜、心滿意足等。

    對于位值,同樣可以運(yùn)用與容器相關(guān)的思維方式進(jìn)行理解。比如,可以將兩位數(shù)中的十位和個(gè)位這兩個(gè)位置,分別看作是兩個(gè)容器。首先應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)兩個(gè)容器中所容納的對象是不同的。個(gè)位容器中容納的個(gè)體對象是“一”,十位容器中容納的個(gè)體對象是“十”。為了便于動(dòng)手操作,可以利用如圖5的學(xué)具。

    圖5中白紙上縱向劃分出的三個(gè)區(qū)域,從右到左分別表示個(gè)位、十位、百位的三個(gè)容器。個(gè)位容器中容納的對象用正方體小木塊表示,十位容器中包含的對象用10個(gè)小木塊連接而成的“小木條”表示,同樣百位容器中容納的對象用10個(gè)小木條連接成的正方形小木板表示。

    用容器類比數(shù)位過程中,還會(huì)用到空—滿圖式的思維方式??諘r(shí)表示沒有,滿10個(gè)時(shí),就需要取出,并把這10個(gè)小木塊變?yōu)橐粋€(gè)小木條,放入左側(cè)的十位容器中。

    學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,如果有機(jī)會(huì)反復(fù)經(jīng)歷在每個(gè)數(shù)位容器中“放入、取出”的活動(dòng),自然而然地就會(huì)將位值的認(rèn)知納入頭腦中業(yè)已形成的容器圖式中,也就使得位值的抽象性得以具體化。

    容器圖式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用十分廣泛,比如豎式計(jì)算中的“進(jìn)位”和“退位”,其實(shí)質(zhì)就是將數(shù)位視為容器所進(jìn)行的放入和取出的活動(dòng)。對于方程的認(rèn)識(shí),比如[x-3=5],可以將其中的“[x]”看作容器,解方程的過程就是尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)放入其中,使得等式兩邊相等。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的函數(shù)表達(dá)式[y=f(x)],起初人們就是把變量“[y]”看作是包含著變量“[x]”的容器,這也是函數(shù)一詞中“函”的來源[3]。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合與容器相關(guān)的日常活動(dòng),設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng),是十分有益的。

    參考文獻(xiàn):

    [1]張良.從表征主義到生成主義——論課程知識(shí)觀的重建[J].中國教育科學(xué),2019,2(1):110-120.

    [2]魯藝杰.作為Lakoff具身意義理論認(rèn)知基礎(chǔ)的意象圖式研究[J].未來與發(fā)展,2016,40(2):61-64.

    [3]郜舒竹,張平仁,王智秋.數(shù)學(xué)術(shù)語的隱喻歧義及其人文內(nèi)涵[J].課程·教材·教法,2011,31(2):51-57.

    (首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 ? 100048)

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