觀察、操作、想象：讓空間觀念發(fā)展清晰可見(jiàn)

郭建平 顧志能

【課前思考】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中有一道例題（例35）引發(fā)了我們的關(guān)注。這道例題的名稱為“圖畫(huà)還原”（如圖1），要求是“打亂由幾塊積木或者幾幅圖畫(huà)構(gòu)成的平面畫(huà)面，請(qǐng)學(xué)生還原，并利用平移、旋轉(zhuǎn)記錄還原步驟”。例題說(shuō)明指出：通過(guò)實(shí)際操作進(jìn)一步理解平移和旋轉(zhuǎn)，不僅能增加問(wèn)題的趣味性，還可以讓學(xué)生感悟幾何運(yùn)動(dòng)也是可以記錄的，體驗(yàn)選取最佳方案的過(guò)程。

這道題素材簡(jiǎn)單有趣，吸引眼球，正適合訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力。其形式為圖畫(huà)還原，學(xué)生操作方便，動(dòng)手能力、探究能力可得到錘煉;其內(nèi)涵涉及平移、旋轉(zhuǎn)，學(xué)生可綜合運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，應(yīng)用能力也可得到發(fā)展……更為重要的是，這是一個(gè)發(fā)展學(xué)生空間觀念的絕佳載體。比照《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)空間觀念的刻畫(huà)描述，我們發(fā)現(xiàn)，這道題既可以引導(dǎo)學(xué)生想象圖形之間的位置關(guān)系，又可以讓學(xué)生去描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，還可以讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形。

基于以上思考，我們決定以例35為藍(lán)本，開(kāi)發(fā)一節(jié)“圖形的運(yùn)動(dòng)”練習(xí)課，其目標(biāo)指向主要有兩點(diǎn)：以問(wèn)題解決為驅(qū)動(dòng)，使學(xué)生鞏固對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱三個(gè)知識(shí)（技能）的掌握;通過(guò)豐富的學(xué)習(xí)形式（活動(dòng)），讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、想象、比較、綜合等學(xué)習(xí)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)空間觀念的有效發(fā)展。

需要特別說(shuō)明的是，例35只要求使用平移和旋轉(zhuǎn)，若把同樣是圖形運(yùn)動(dòng)方式的軸對(duì)稱納入其中，則知識(shí)更完備，內(nèi)涵更豐富，也更能體現(xiàn)“圖形的運(yùn)動(dòng)”練習(xí)課該有的要求。

【課堂實(shí)錄】

一、喚醒舊知，引入新課

1.回憶舊知，揭示課題

師：同學(xué)們，你們已經(jīng)學(xué)過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)的哪些知識(shí)？

（通過(guò)交流，學(xué)生回憶起“平移”“旋轉(zhuǎn)”和“軸對(duì)稱”三種不同的圖形運(yùn)動(dòng)方式）

師：今天我們要進(jìn)一步運(yùn)用這些知識(shí)研究圖形的運(yùn)動(dòng)。

2.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：一個(gè)笑臉拼圖，有兩塊被打亂了（如圖2）。1號(hào)圖形要回到原來(lái)的位置，可以怎么運(yùn)動(dòng)？

（學(xué)生觀察后回答“向右平移2格”，教師強(qiáng)調(diào)“平移要關(guān)注方向和距離”，課件演示還原過(guò)程）

師：除了平移能使1號(hào)圖形回到原來(lái)的位置，還有其他的方法嗎？

（絕大部分學(xué)生想不到，教師鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生往“軸對(duì)稱”方向思考）

師：如果把這條線當(dāng)作對(duì)稱軸，1號(hào)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變化以后會(huì)到哪里？（課件呈現(xiàn)AB對(duì)稱軸，如圖3，教師引導(dǎo)學(xué)生想象，課件跟進(jìn)演示）

師：從現(xiàn)在這個(gè)位置還原到原來(lái)的位置，還要怎么運(yùn)動(dòng)呢？

生：再軸對(duì)稱變化一次。

（課件呈現(xiàn)CD對(duì)稱軸，教師引導(dǎo)學(xué)生想象，再動(dòng)態(tài)演示）

（評(píng)析：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過(guò)觀察和想象，完成簡(jiǎn)單的圖形還原，既有效地喚醒了學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)的回憶，又讓學(xué)生感受到可以靈活選擇不同的運(yùn)動(dòng)方式來(lái)還原圖形。）

二、動(dòng)手操作，深入探究

1.情境跟進(jìn)，自主探索

師：2號(hào)圖形要回到原來(lái)的位置，可以怎么運(yùn)動(dòng)？（如圖4）

（學(xué)生僅憑觀察，難以直接回答，教師放手讓學(xué)生借助材料進(jìn)行操作，自主探究還原的方法和過(guò)程）

2.方法反饋，分享思維

（當(dāng)學(xué)生各自找到還原的方法后，教師組織學(xué)生進(jìn)行反饋）

生：我把2號(hào)圖形原地旋轉(zhuǎn)，然后向左平移2格，再向下平移1格。（學(xué)生上黑板操作演示）

師：怎么原地旋轉(zhuǎn)？（根據(jù)學(xué)生回答，引導(dǎo)學(xué)生明白在講旋轉(zhuǎn)時(shí)要講清楚旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度）

生：我是把2號(hào)圖形向下平移1格，再向左平移1格，再沿左側(cè)線軸對(duì)稱1次，就還原成功了。

（教師請(qǐng)聽(tīng)懂的學(xué)生再次上臺(tái)操作演示，確認(rèn)能還原）

生：我的方法不一樣。我先把2號(hào)圖形向左平移2格，再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。（學(xué)生講的點(diǎn)是格子圖上的一個(gè)交點(diǎn)。他上黑板演示到這一步時(shí)，教師適時(shí)引入“數(shù)對(duì)”概念，引導(dǎo)學(xué)生講得更明白）

……

（評(píng)析：本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的三種方式解決問(wèn)題，通過(guò)展示交流多樣化的還原方法，讓學(xué)生打開(kāi)了思路，分享了經(jīng)驗(yàn)，豐富了思維。）

3.再次體驗(yàn)，規(guī)范記錄

在展示了學(xué)生的多種還原方法之后，教師也用課件演示了另一種方法（如圖5），并運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言規(guī)范地記錄下來(lái)，如“2號(hào)圖形繞點(diǎn)（3，3）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移1格，再向下平移1格”。

教師鼓勵(lì)學(xué)生選擇自己喜歡的一種還原方法，再操作一次，并用這樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言記錄下來(lái)。

4.游戲支撐，深化探究

引入游戲，告知計(jì)分規(guī)則（如圖6）。教師計(jì)算出自己那種方法的得分為3分;學(xué)生計(jì)算各自所記錄方法的得分，統(tǒng)計(jì)各種分值的人數(shù)（基本上是3分或4分）。

出示游戲規(guī)則——分?jǐn)?shù)低者為勝（分?jǐn)?shù)低說(shuō)明步驟少，思維簡(jiǎn)潔），引導(dǎo)學(xué)生探究是否有低于3分的還原方法。學(xué)生可以借助材料單獨(dú)操作，也可以合作探究，實(shí)現(xiàn)還原后及時(shí)記錄方法。

（評(píng)析：通過(guò)游戲計(jì)分的介入，刺激了學(xué)生的求勝欲和好奇心。學(xué)生積極主動(dòng)地探究是否有2分乃至1分的還原方法，目標(biāo)驅(qū)動(dòng)著學(xué)習(xí)走向深入。）

5.分享最佳，引導(dǎo)想象

生：2號(hào)圖形繞（3，3）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，再繞（2，3）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，我這樣是2分。

師：想象一下，這位同學(xué)的幾個(gè)步驟，能否成功還原。（其他學(xué)生想象，教師適時(shí)用實(shí)物演示作為支撐，確認(rèn)2分成功）

生：先繞（3，3）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，然后再繞（2，3）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，也是2分。

生：我發(fā)現(xiàn)同一個(gè)圖形，繞同一個(gè)點(diǎn)順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，結(jié)果是一樣的。

師：你太厲害了！大家再關(guān)注這個(gè)圖形，繞（3，3）向兩個(gè)方向旋轉(zhuǎn)180°，想象一下，結(jié)果是怎樣的？

生：我們是以那條斜線，即數(shù)對(duì)（4，2）和（2，4）的連線為對(duì)稱軸進(jìn)行1次軸對(duì)稱后，再旋轉(zhuǎn)的，也是2分。（學(xué)生上黑板點(diǎn)出那條斜線）

師：同學(xué)們，想象一下，沿這條線軸對(duì)稱變換，會(huì)怎么樣？再旋轉(zhuǎn)呢？

（學(xué)生想象，教師適時(shí)跟進(jìn)演示）

生：我們是通過(guò)兩次軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)還原的。先以2號(hào)圖形的左側(cè)線為軸，軸對(duì)稱1次，再以（3，2）和（1，4）的連線為軸，軸對(duì)稱1次，就成功了，2分。（教師同樣引導(dǎo)學(xué)生想象，再適時(shí)跟進(jìn)演示）

……

（評(píng)析：整個(gè)活動(dòng)圍繞2分的還原方法展開(kāi)，通過(guò)讓其他學(xué)生聽(tīng)懂、想明白某種方法，逐步幫助學(xué)生擺脫實(shí)物操作，提升想象能力，使得思維實(shí)現(xiàn)從具象到抽象的慢慢過(guò)渡。）

三、自主設(shè)計(jì)，深入想象

師：笑臉圖已經(jīng)恢復(fù)正常了，現(xiàn)在如果讓你任選其中的一塊拼圖，打亂位置，你打算放到哪里？它又可以怎樣還原呢？

（教師請(qǐng)一學(xué)生上黑板，隨意打亂一塊拼圖，任意放置在一個(gè)位置上，然后引導(dǎo)全班學(xué)生觀察拼圖，要求僅憑想象，思考它還原的步驟和方法）

（評(píng)析：放手讓學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)素材，迫使學(xué)生擺脫實(shí)物操作，只能憑借空間想象去完成任務(wù)。這樣的安排，讓學(xué)生的想象能力得到了再訓(xùn)練和再提升，雖然有難度，但是體現(xiàn)了思維發(fā)展的梯度要求。）

四、課堂總結(jié)，暢談感受（略）

【課后反思】

一、精細(xì)的觀察，使學(xué)生感知到位

認(rèn)識(shí)幾何圖形的性質(zhì)特征是形成空間觀念的基礎(chǔ)。而兒童獲得幾何圖形性質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)，往往是從對(duì)具體對(duì)象的觀察開(kāi)始的。在本課中，教師以“笑臉拼圖”為素材，尤其是以還原打亂了的拼圖為任務(wù)，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)聚焦圖形的特征——整幅圖的特征、每小塊的特征、運(yùn)動(dòng)變化的特征。每一次的還原，無(wú)論是1號(hào)圖形經(jīng)過(guò)平移、軸對(duì)稱的變化，還是2號(hào)圖形可采用的多種形式的變化，甚至是任意打亂一塊拼圖后的還原，教師都先讓學(xué)生展開(kāi)精細(xì)的觀察，然后再適時(shí)跟進(jìn)操作、演示或想象。正是在對(duì)圖形初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、變化過(guò)程的精細(xì)觀察和深入比較中，學(xué)生不斷感知圖形的特征，感知三種運(yùn)動(dòng)方式的特征，頭腦中由此留下深刻的印象。這為他們空間觀念的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、充分的操作，讓學(xué)生表象清晰

兒童在學(xué)習(xí)幾何圖形時(shí)，并不是簡(jiǎn)單地靠識(shí)記去把握?qǐng)D形的名稱、形狀、特征及變化，更為有效的是靠操作活動(dòng)，直觀和真實(shí)地去感知概念，并從中構(gòu)建空間觀念。正是基于這樣的認(rèn)識(shí)，教師在這節(jié)課中安排了多次操作活動(dòng)。如2號(hào)圖形的還原，就是先讓每個(gè)學(xué)生動(dòng)手去操作（為此給每個(gè)學(xué)生精心準(zhǔn)備了操作材料），在操作中再讓學(xué)生結(jié)合觀察，調(diào)用經(jīng)驗(yàn)，積極嘗試，尋找到不同的還原方法。經(jīng)歷這樣的過(guò)程，學(xué)生的大腦中就留下了關(guān)于2號(hào)圖形運(yùn)動(dòng)的痕跡，而這種痕跡，隨著語(yǔ)言表達(dá)、課件演示等的跟進(jìn)作為支撐，不斷完善與清晰，最后深深地印在學(xué)生的頭腦中，這就是表象的建立。同樣道理，關(guān)于2號(hào)圖形能否以低于3分的方法還原，也讓學(xué)生先動(dòng)手操作再交流，觸覺(jué)越充分，學(xué)生的感知越到位，表象也就越清晰。

三、豐富的想象，令學(xué)生印象深刻

圖形與幾何學(xué)習(xí)中的想象，指的是在頭腦中（心理上）對(duì)幾何形體的形狀、結(jié)構(gòu)、特征以及位置關(guān)系，有意識(shí)地進(jìn)行加工改造乃至全新創(chuàng)造的過(guò)程。這是一種高級(jí)的思維活動(dòng)。這種思維能力的提升需要借助合適的載體進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練。本課圍繞想象做了不少文章。一是多處設(shè)置想象環(huán)節(jié)。從課中可以看到，1號(hào)圖形的軸對(duì)稱還原先讓學(xué)生想象;2號(hào)圖形的2分還原在學(xué)生講方法時(shí)其他學(xué)生想象（多次）;任意打亂拼圖后憑想象還原。二是想象要求拾級(jí)而上。從上述幾個(gè)步驟中不難看出，想象的要求是從直觀（視覺(jué)、操作）支撐到半支撐再到脫離支撐，不斷進(jìn)階逐步提升的。正是有了這樣的多點(diǎn)分布、有序推進(jìn)，學(xué)生的空間想象能力才能得到明顯的發(fā)展。

當(dāng)然，空間觀念的發(fā)展，除了上述三個(gè)要素之外，合適的材料（學(xué)具、教具、課件等），有效的交流（師生、生生等），靈活的形式（探究、推理等）……也能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形的感知和把握。教學(xué)中，只要我們聚焦目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)，合理實(shí)施，學(xué)生空間觀念的發(fā)展就一定卓有成效。

（浙江省海鹽縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán) ? 314300

浙江省海鹽縣教育研究中心 ? 314300）