“承前啟后”求突破“虛實結合”促發(fā)展
——“三角形的認識”一課的教學實踐與思考

□陳 凡 金錫根

【教學內容】人教版教材四年級下冊第60頁。

【教學目標】

1.進一步認識三角形，掌握三角形高和底的概念，會畫指定底邊上的高。

2.經歷高的認識、探究過程，體會三角形形狀、大小的變化與高的相互影響，發(fā)展空間觀念。

3.在數學活動中感受高的神奇，獲得良好的學習體驗。

【教學過程】

一、認識三角形

1.揭示課題“三角形的認識”。

2.學生任意畫一個三角形。

3.抽象出三角形的特征。

（展示部分學生作品）

師：這些都是三角形嗎，它們都有什么共同特點？

生：有3個角，3條邊。

生：有3個頂點。

4.學習用字母表示三角形。

教師畫一個三角形。邊畫邊說：其實三角形就是由三條線段圍成的封閉圖形，為方便表達，可以用字母表示三角形的三個頂點（板書字母A、B、C）。這個三角形可以表示為△ABC。

（設計意圖：在教學過程中有意淡化三角形的概念教學。對于四年級的學生來說，他們雖然很難準確概括出何為三角形，但是他們在一年級下冊認識圖形時就會辨認哪些圖形是三角形，并且對于三角形有三個角、三條邊和三個頂點也有很強烈的感受，故本環(huán)節(jié)采用“短、平、快”的教學策略。）

二、認識三角形的高

1.初探三角形的高。

（1）畫垂線段，從點A出發(fā)向BC邊作一條垂直線段，垂足為O。

（2）揭示三角形的底和高。

師：在三角形中垂線段AO還有一個名稱，你知道是什么嗎？

生：高。

師：對，這條垂線段就是我們今天要認識的新朋友——“高”，AO是BC邊上的高，BC邊就是這條高所對應的底。

師：高和它所對應的底是什么關系？

生：相互垂直。

（3）回憶畫高。

師：閉上眼睛想一想剛才我們是怎么找到BC邊上的高的？

（4）教師示范畫高。

師：畫三角形的高有什么要求？

生：與底邊垂直。

生：從一個頂點出發(fā)。

生：從與底邊相對的頂點出發(fā)。

……根據學生回答完成板書：頂點垂直段對邊。

（設計意圖：對于三角形的高，學生的認知并非一張白紙。點到直線的距離、平行四邊形和梯形的高都是學生已有的認知基礎。因此在認識高的環(huán)節(jié)，設計“從頂點A 出發(fā)向BC 邊畫一條垂直線段”的探究活動，這樣的教學可以把學生帶到學習的最近發(fā)展區(qū)，幫助學生主動建構起知識之間的內在聯系，并在此基礎上展開對三角形高的更為豐富的探究。）

根據學生回答完成板書：頂點、垂線段、對邊。

2.再探三角形的高。

（1）畫出指定底邊上的高。

（2）反饋。

①展示生1的作品，引導學生進行質疑。

生1的作品

質疑1：第二個三角形的高在哪里？從哪個頂點出發(fā)畫高？

質疑2：之前畫的高都是垂直向下的，第一個三角形的高怎么是這樣的？

質疑3：第三個三角形中與這條底邊對應的頂點在哪里？

……

②展示生2 的作品，他做對了嗎？有什么問題？重新畫一畫。

生2的作品

小結：高經過底邊所對的頂點，與底垂直，垂足落在底邊上。

（3）理解三角形的高。

師：現在誰能說一說你覺得什么是三角形的高？

生：頂點到對邊的垂直線段就是三角形的高。

（設計意圖：對學生來說，認識高、畫指定底邊上的高不是一件容易的事，他們有一定的生活經驗，但是生活中物體的高都是“拔地而起”的，自然有學生會認為三角形的高也是如此的，實則不然。這三道練習題的設計是有層次的。第一個是銳角三角形，學生很熟悉，但是通過改變底的位置讓學生感受到三角形的高有別于生活中物體的高，三角形的高就是頂點與對邊的垂直線段。第二個是直角三角形，三角形的高和三角形的一條直角邊重合，對學生來說這是一次認知沖突，有學生不敢畫、不會畫。第三個是鈍角三角形，學生對它的接觸比較少，尋找最長邊所對應的頂點時會存在很大困難。學生在思考、想象、辨析等活動中對三角形高的概念有了更清晰的認識，同時發(fā)展了空間觀念。）

三、感受高與三角形形狀、大小的聯系

師：剛才我們認識了三角形的高，也畫了指定底邊上的高，可是同學們有沒有想過我們?yōu)槭裁匆獙W習三角形的高呢？

1.三角形的頂點A上下移動。

（1）如果BC 邊長短、位置都不變，頂點A 向上移動，想象一下高會有什么變化，三角形又會有什么變化？

生：高會越來越長。

生：三角形會越來越大。

師（通過幾何畫板動態(tài)演示加以驗證后追問）：頂點A再向上移動呢？

生：高會變得更長，三角形也就變得更大。

（2）想象一下如果頂點A 向下移動，你有什么感受？

生：高會越來越短。

生：三角形會越來越小。

師：如果頂點A再向下移動，移動到BC邊呢？

生：高沒了，三角形也沒了。

（幾何畫板動態(tài)演示驗證學生的猜想）

師：觀察這些三角形并想象它們的高，你有什么發(fā)現？

生：高越長，三角形越大。

生：高越短，三角形越小。

生：高沒了，三角形也沒了。

小結：你們的意思是三角形的高和三角形的大小、形狀有關，對嗎？（板書：形狀、大?。┤绻切蔚牡走叢蛔?，它所對應的高越長，這個三角形就越大；高越短，這個三角形就越小。

2.三角形的頂點A左右移動。

（1）如果BC 邊長短、位置都不變，頂點A 水平向右移動到這，請想象BC 邊上的高會在哪里？伸手指一指。三角形又會是怎么的？比畫一下。（通過幾何畫板動態(tài)演示加以驗證）

（2）頂點A 還能移到哪里？BC 邊上的高又會在哪里？三角形又會是怎樣的？請你們試著想一想、畫一畫，你能畫幾個？

反饋。

學生作品1

學生作品2

學生作品3

①展示學生作品1。頂點A 移到這里了，你看到三角形BC邊上的高在哪里了嗎？三角形變成什么樣了？

②展示學生作品2。頂點A 跑得更遠了，到這里了，三角形變成什么樣了？BC 邊上的高去哪里了？頂點A還能跑得更遠嗎？

生：不能了，頂點A不能再畫過去了。

生：能的，頂點A可以跑到外面去。

師：有同學覺得頂點A 還能跑得更遠，那會跑到哪里？高又會在哪里？想一想。

③展示學生作品3。

師：看，頂點A 還真跑得更遠了，那三角形BC邊上的高呢？

生：高在三角形的外面。

小結：看來高不僅可能在三角形里面，在三角形的一條邊上，還有可能在三角形的外面。

師：像這樣移動頂點A，你能畫出多少個三角形？

生：無數個。

（幾何畫板動態(tài)演示驗證）

（3）再次觀察，在頂點A 移動的過程中什么變了？什么沒變？同桌交流。

生：底不變。

生：高的長短不變。（板書：同底等高）

生：三角形的形狀變了。

生：三角形的大小變了。

生：反對，三角形的大小沒變。

師：當底邊不動，頂點A左右水平移動時，三角形的大小到底有沒有改變？這個問題值得研究！

（設計意圖：認識三角形的高是為之后學習三角形的面積奠定基礎，所以在教學中需讓學生體會三角形的形狀、大小的變化與高的相互影響。在這個環(huán)節(jié)中設計了兩個活動，活動一是通過上下移動頂點A，讓學生感受到高的長短發(fā)生變化，三角形的大小也發(fā)生變化?；顒佣峭ㄟ^左右水平移動頂點A，讓學生感受高的位置變化，同時感受三角形的變化，還讓學生感受到雖然這些三角形高的位置發(fā)生了變化，但它們都是同底等高的。這一環(huán)節(jié)的教學，一則加深學生對三角形高的認識，二則為之后學習三角形的面積做鋪墊，三則在移動頂點A想象三角形的高、形狀的過程中培養(yǎng)了學生的空間觀念。）

四、課堂小結

1.今天你有什么收獲？

2.關于三角形你還有什么想繼續(xù)研究的問題？

生：我想知道頂點A 左右移動時，三角形的大小到底變了沒有。

生：我想知道除了高會影響三角形的大小，還有什么會影響三角形的大小。

生：我想知道底變長，這個三角形會發(fā)生怎樣的變化。

生：一個三角形會有幾條高？

生：三角形的底和高與三角形的大小之間到底存在怎樣的關系？

……

（設計意圖：課末，學生一起分享學習的收獲，回顧三角形的特征、三角形高的概念以及為什么要學三角形的高。“關于三角形你還有什么想繼續(xù)研究的問題？”這一提問意在培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題的能力，也可了解課堂結束之后學生的思維將走向何處。而學生提出的新問題必定會驅動學生進行進一步的漫溯和研究。

【教學思考】

一、“承前啟后”求突破

有效教學的重要因素之一是了解學習者在學習之前已經知道了什么，新知識與學習者的認知基礎之間潛在的距離有多遠。

本節(jié)課教學的重要目標是認識三角形中的“高”，它是“隱性”的，但又是真實存在的，所以把它作為教學重點來處理。學生在認識三角形之前已經學習了“垂直”，知道了“點到直線的距離”，掌握了過直線外一點畫已知直線的垂線的技能，因此在三角形高的認識過程中，應找到最近的知識生長點，使得高的概念自然生長于學生已有的知識經驗之中。教師在教學中首先喚醒學生畫垂線段的經驗，接著在畫高的操作與畫法交流中讓學生進一步認識高、理解高。之后，引導學生隨著頂點的左右運動，進行動態(tài)想象，感悟到高可能在三角形內，可能在三角形的某條邊（直角三角形的直角邊）上，還有可能在三角形的外面，進一步豐富對高的認識。從學生已有的知識經驗入手，開展對三角形高的認識和探究，能幫助學生主動構建三角形的概念，從而達到真正理解三角形高概念的目的。

知道什么叫三角形的高，會畫指定邊上的高只是本節(jié)課教學目標的一部分。教學目標的另一部分是感受為什么要認識三角形的高，教學中專門安排了一個環(huán)節(jié)：引導學生觀察、思考頂點上下運動時三角形發(fā)生了什么變化，高發(fā)生了什么變化。讓學生充分感受到三角形的底不變，高的長短不僅與三角形的形狀有關，還與三角形的面積有關。從而體會到學習三角形高的價值，也為學習三角形的面積奠定了堅實的基礎。

突破傳統(tǒng)的教學設計，讓學生知道“高”的來龍去脈，追求教學的通透性，是有效教學的重要標志。

二、“虛實結合”促發(fā)展

認識一個圖形，始于觀察和操作，此環(huán)節(jié)為“實”。教學中安排了四次“畫”。第一次“畫”是課堂伊始，讓學生畫出自己認識的三角形，不同的學生由于生活經驗不同，獨立畫出的三角形也是不同的，但是學生能直觀感受到它們都有幾個共同特點：三個角，三條邊，三個頂點。由此學生對三角形的認識會從直觀認識走向理性認識。第二次“畫”是過三角形的頂點A 畫對邊BC 的垂線段，垂足為O。旨在激活學生已有的知識和數學活動經驗，為認識高做準備。第三次“畫”是畫三角形指定底邊上的高，學生對高的概念越來越清晰。第四次“畫”是在頂點A水平左右移動時，讓學生想一想頂點A還會在哪里，然后將這些三角形以及底邊上的高畫出來。通過這四次操作活動，“認識高”這一目標的達成度越來越高。

我們的教學僅停留在操作層面是不夠的，還應關注學生能力的發(fā)展?？臻g想象能力是小學數學的一項關鍵能力，也是本節(jié)課的重要教學目標。本節(jié)課上，在讓學生感受高的長短、位置與三角形的形狀、大小有關的過程中，教師留足時間和空間引導學生進行充分的想象：頂點A上下移動的時候三角形的高有什么變化？三角形有什么變化？頂點A 左右水平移動的時候什么變了？什么沒變？學生通過觀察、思考、想象以及與同伴交流、進行幾何畫板的演示，不僅獲得了知識，還培養(yǎng)了空間觀念，發(fā)展了數學思維，產生了更多有待進一步研究的問題，此環(huán)節(jié)為“虛”，教學應該虛實結合。