讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之旅
——記一堂“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的練習(xí)課

□沈秋紅

教學(xué)人教版三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，有學(xué)生出現(xiàn)21×19=20×20=400這樣的錯(cuò)誤，把加法計(jì)算中移多補(bǔ)少的方法誤用到乘法算式中。筆者反思了自己的教學(xué)：學(xué)生對(duì)乘法計(jì)算的算理是否理解？根據(jù)以上錯(cuò)例，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的練習(xí)課，并與“面積”單元的內(nèi)容相整合，制定了如下教學(xué)目標(biāo)：通過比較，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)因數(shù)和相等的這類乘法算式的變化規(guī)律，并能根據(jù)規(guī)律比較積的大小，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；數(shù)形結(jié)合，有效理解乘法計(jì)算與圖形面積之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)的魅力。

浙江省數(shù)學(xué)教研員斯苗兒老師說：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循“學(xué)生立場(chǎng)、單元視角、有機(jī)整合、適度拓展”的原則。這堂課筆者站在學(xué)生的立場(chǎng)設(shè)計(jì)練習(xí)，把相關(guān)聯(lián)的知識(shí)整合起來進(jìn)行教學(xué)，既關(guān)注基礎(chǔ)，又適度進(jìn)行拓展。課堂上，學(xué)生積極參與，深入思考，積極性高，學(xué)習(xí)效果好！

一、立足學(xué)生立場(chǎng)，落實(shí)基礎(chǔ)，開拓思維發(fā)展

【教學(xué)片段1】

教師出示如下情境：

學(xué)校組織三年級(jí)學(xué)生看電影，共398 人，下面哪個(gè)電影院比較合適？

①號(hào)影院：有21排座位，每排可容納19人。

②號(hào)影院：有22排座位，每排可容納18人。

③號(hào)影院：有23排座位，每排可容納17人。

估一估每個(gè)電影院大約有多少個(gè)座位；算一算每個(gè)電影院的準(zhǔn)確座位數(shù)。

學(xué)生通過先估算再列豎式計(jì)算得到三個(gè)影院具體的座位數(shù)。

①號(hào)影院：21×19=399。

②號(hào)影院：22×18=396。

③號(hào)影院：23×17=391。

顯然，選擇①號(hào)影院比較合適，因?yàn)榱硗鈨蓚€(gè)影院的座位數(shù)小于學(xué)生人數(shù)。

教師應(yīng)通過讓學(xué)生估一估，幫助他們養(yǎng)成先估再算的良好習(xí)慣，提高計(jì)算的正確率。觀察學(xué)生的估算方法，主要有兩種：兩個(gè)因數(shù)都估、只估其中一個(gè)因數(shù)。再經(jīng)過計(jì)算，使兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法得到鞏固。不足之處在于“能結(jié)合具體情境進(jìn)行估算”這一子目標(biāo)未能較好體現(xiàn)。在具體情境中估算，要考慮估大估小的問題，從這一點(diǎn)考慮，本組材料中的數(shù)據(jù)可以再作調(diào)整，使教學(xué)目標(biāo)更加細(xì)化。

師：誰來猜一猜，接下來老師會(huì)出一道怎樣的算式?

生：24×16。

師：估一估這個(gè)算式的結(jié)果。

生：大約是400，但比400要小。

生：我覺得比391還要小。

師：到底是多少，需要擺一擺豎式。

計(jì)算后得出結(jié)果：24×16=384。

這時(shí)黑板上共有5個(gè)算式：

20×20=400；21×19=399；22×18=396；23×17=391；24×16=384。

師：仔細(xì)觀察這組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)因數(shù)的和一樣，都是40，而差不相同。

生：一個(gè)因數(shù)在逐漸變大，另一個(gè)因數(shù)在逐漸變小。

生：我發(fā)現(xiàn)積越來越小了……

小結(jié)：在這組算式中，兩個(gè)因數(shù)的和相等，這兩個(gè)因數(shù)越接近，積就越大，否則就越小，可以用下面的圖形（大?。﹣肀硎?。

通過觀察與比較，學(xué)生明白和相同的兩個(gè)因數(shù)，積可以不相同，這與周長相等的長方形面積可以不同是同樣道理。

二、巧用生成資源，調(diào)整策略，捕捉智慧亮點(diǎn)

【教學(xué)片段2】

生：我發(fā)現(xiàn)算式的得數(shù)有規(guī)律地在變化。400到399 少1，399 到396 少3，396 到391 少5，391 到384 少7。接下來就是少9，所以我能直接說出25×15的答案，384-9，是375。

學(xué)生的發(fā)現(xiàn)馬上就得到了其他同學(xué)的共鳴：是的是的，我也發(fā)現(xiàn)了，這樣我們還可以直接計(jì)算26×14，27×13……這些算式的結(jié)果了。

板書整理： 20×20=400

21×19=399 22×18=396 23×17=391 24×16=384

小結(jié)：（兩因數(shù)）和相等的一組乘法算式，其中一個(gè)因數(shù)逐漸變大（或變?。?，積逐漸小1，小3，小5，小7，小9……

師：剛才這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律很有用，但是不是所有這樣的一組算式都適用這個(gè)規(guī)律呢？

生：老師，你給我們出一組類似的算式，我們先根據(jù)規(guī)律計(jì)算，然后再列豎式來驗(yàn)證下就行了。

師（把問題拋給學(xué)生）：那誰能給我們出一組這樣的算式呢？

（學(xué)生興趣盎然，都舉手要求給大家出題目。教師要求同桌合作，一生出題一生說答案，然后列豎式驗(yàn)證得數(shù)的正確性。之后教師出示以下兩組算式）

①根據(jù)25×25=625，計(jì)算：

26×24= 27×23= 28×22= 29×21=

②根據(jù)50×50=2500，計(jì)算：

51×49= 52×48= 53×47= 54×46=

大部分學(xué)生都能直接寫出結(jié)果，很是得意。

課堂上教師要善于捕捉學(xué)生智慧的閃光點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，深入討論，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納與對(duì)比。兩位數(shù)乘兩位數(shù)和相等的這組算式，學(xué)生不僅判斷出積的大小關(guān)系，還找出前后兩個(gè)算式間的關(guān)系與規(guī)律，充分發(fā)揮了主觀能動(dòng)性。

三、善用再生資源，深度思維，豐富細(xì)化目標(biāo)

【教學(xué)片段3】

課上到此時(shí)教師準(zhǔn)備告一段落，學(xué)生也沉浸在收獲的喜悅中，這時(shí)傳來一個(gè)弱弱的帶著質(zhì)疑的聲音：如果兩個(gè)因數(shù)離50 比較遠(yuǎn)的話，算起來很麻煩。如計(jì)算55×45，還得把前面的算式都寫出來，太麻煩了，還不如直接寫豎式。

課堂再次變得安靜，學(xué)生似乎都在思考這位同學(xué)提出的問題，并陸續(xù)有人點(diǎn)頭表示認(rèn)同。

教學(xué)要舍得給學(xué)生思考的時(shí)間，安靜之后一定會(huì)有爆發(fā)。一分多鐘之后，課堂上出現(xiàn)了幾只高高舉起的小手。

生：老師，我有辦法了。不用寫出55×45 前面的算式，也能直接計(jì)算它的答案。

師：很期待你的想法!

生：只要把下面的算式都和第一個(gè)算式去比較就可以了，比如21×19=399，20×20=400這兩個(gè)算式中的第一個(gè)因數(shù)21 與20 相差1，得數(shù)399 與400 相差1；同理22×18=396，20×20=400 中的第一個(gè)因數(shù)22 與20 相差2，得數(shù)相差4（2×2=4）；23×17=391，20×20=400 中的23 與20 相差3，得數(shù)相差9（3×3=9），所以計(jì)算55×45，我們只要看第一個(gè)因數(shù)55 與50 相差幾（5），得數(shù)就相差幾乘幾的積（5×5=25），只要用2500-25就可以了。

其他同學(xué)紛紛列豎式驗(yàn)證其正確性，課堂上自覺地響起了熱烈的鼓掌聲。

板書整理：

小結(jié)：（兩因數(shù)）和相等的一組乘法算式，與兩個(gè)因數(shù)相等的算式相比，其中一個(gè)因數(shù)增加（或者減少）幾，積就減少幾乘幾的積（即幾的平方數(shù)）。

生：老師，我能計(jì)算59×41=50×50-9×9=2500-81=2419（參考50×50）。

生：我知道36×44=40×40-4×4=1600-16=1584（參考40×40）。

生：27×23=25×25-2×2=625-4=621（參考25×25）。

……

教師布置課后作業(yè)：

①根據(jù)35×35=1225，

計(jì)算36×34=1225-（ ）=（ ）

37×33= 38×32= 39×31=

②根據(jù)89×89=7921，

計(jì)算92×86=7921-（ ）=（ ）

95×83= 97×81=

③直接寫出答案63×57= 106×94=

④（ ）×（ ）=（ ）

教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性地提出意見，善于發(fā)現(xiàn)各種有價(jià)值的資源（再生資源），給學(xué)生提供進(jìn)行質(zhì)疑、爭(zhēng)論、反駁的機(jī)會(huì)，并適時(shí)加以引導(dǎo)點(diǎn)撥，作為“即時(shí)目標(biāo)”，打造具有高階思維的課堂。

四、數(shù)形結(jié)合，回歸整體，強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果

【教學(xué)片段4】

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的下一單元就是“長方形正方形的面積計(jì)算”，如何踐行計(jì)算教學(xué)與空間圖形的有效結(jié)合。結(jié)合本課例，對(duì)于“周長相等的長方形，長和寬越接近，面積就越大”顯然可以解釋得更加到位；同時(shí)也是對(duì)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的實(shí)際應(yīng)用。

教師出示思維練習(xí)：王大伯用24 米長的竹籬笆圍一塊菜地，怎樣圍面積最大（注：長和寬都是整米數(shù)）？

用24 米長的竹籬笆圍長方形，也就是長方形菜地的周長是24米，那么長加寬等于12米，表格呈現(xiàn)以下6種情況。

周長（米）24長（米）6 7 8 9 10 11寬（米）6 5 4 3 2 1面積（平方米）6×6=36 7×5=35 8×4=32 9×3=27 10×2=20 11×1=11

觀察面積這一列算式：

得出結(jié)論：

①當(dāng)長為11 米，寬為1 米時(shí)，長和寬相差最大，面積最小，是11平方米。

②當(dāng)長為6米，寬為6米時(shí)，長和寬最接近（此時(shí)剛好是一個(gè)正方形），面積最大，是36平方米。

③跟正方形邊長相比，長（或者寬）相差1 米，面積就相差1平方米，長（或者寬）相差5米，面積就相差25（5×5）平方米。

圖形呈現(xiàn)（單位：米）如下。

7×5=35。把6×6 正方形最下面的1 排小正方形（6 個(gè)）旋轉(zhuǎn)90°拼接到右邊，結(jié)果多出一個(gè)小正方形。

8×4=32。把6×6 正方形最下面的2 排小正方形旋轉(zhuǎn)90°拼接到右邊，結(jié)果多出4個(gè)小正方形。

繼續(xù)拼接下去，就會(huì)多出9（32）個(gè)，16（42）個(gè)，25（52）個(gè)小正方形。

教師出示拓展練習(xí)：李阿姨家有一塊用竹籬笆圍成的長方形菜地，長36 米，寬28 米，現(xiàn)在要進(jìn)行改建，要求在不增加材料的情況下增加菜地的面積，可以嗎？最多能增加多少平方米？

經(jīng)過計(jì)算最多能增加：4×4=16（平方米）。

如果用字母式表示，就是：

可得到a×a-b×b=（a+b）×（a-b），即平方差公式。

兩位數(shù)乘兩位數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了三條規(guī)律，由淺入深，結(jié)合這三條規(guī)律，用數(shù)形結(jié)合方式進(jìn)一步加以驗(yàn)證鞏固，同時(shí)也使得周長和面積的關(guān)系因?yàn)橛兴闶降闹胃用鞔_，更加豐富。學(xué)生明白了隨著長和寬的變化，面積是如何變化的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生感悟到知識(shí)之間是相互連通的。

學(xué)生經(jīng)歷的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之旅，是他們高階思維發(fā)展的體現(xiàn)。