“圖解數(shù)學(xué)”，“小老師”的好幫手

□陳 云

“小老師”是近年來(lái)出現(xiàn)的一種新型教學(xué)方式。它一方面可以更好地彰顯學(xué)生的主體價(jià)值，激發(fā)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和學(xué)習(xí)潛能，另一方面也能更好地發(fā)揮同伴互助的教學(xué)功能?！皥D解數(shù)學(xué)”是用圖或畫(huà)的方式來(lái)解釋數(shù)學(xué)的結(jié)論或原理，實(shí)現(xiàn)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維可視化的一種有效方式。它是學(xué)生相互交流、自主建構(gòu)的重要載體，可以成為“小老師”分析講解、反思修正的常用手段，從而促進(jìn)自身數(shù)學(xué)能力的提升，也有助于啟發(fā)其他同學(xué)。

一、圖解數(shù)學(xué)讓“小老師”的見(jiàn)解清晰可見(jiàn)

讓學(xué)生做“小老師”是落實(shí)學(xué)生主體地位的一種做法。每個(gè)學(xué)生都希望有機(jī)會(huì)當(dāng)“小老師”，為了獲取這樣的展示機(jī)會(huì)，學(xué)生會(huì)主動(dòng)、積極地對(duì)外部信息進(jìn)行深度認(rèn)知以及再加工。這一過(guò)程看似簡(jiǎn)單，其實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)信息從初步感知到完全理解，再到外化展示，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)極其復(fù)雜的過(guò)程，需要“小老師”進(jìn)行辨別、比較、判斷和加工。要較好地完成這一任務(wù)，學(xué)生除了要具有良好的語(yǔ)言基礎(chǔ)外，還必須掌握必要的技巧?！皥D解數(shù)學(xué)”就能恰到好處地幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)信息中的內(nèi)容進(jìn)行有效梳理，例如：借助圖示提取重要數(shù)學(xué)信息、借助圖示表征關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系等。

在蘇教版二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)平均分”的教學(xué)中，教師追問(wèn)：什么是平均分？對(duì)于這樣的問(wèn)題，學(xué)生有“似曾相識(shí)”的熟悉，也有“霧里看花”的模糊，如果要求“小老師”來(lái)談?wù)勛约旱南敕?，不借助一定的外顯形式，確實(shí)很難表述，學(xué)生說(shuō)來(lái)說(shuō)去就是一句“分得同樣多”，再不知如何解釋。這樣的回答并不足以讓其他同學(xué)有更多收獲，也很難對(duì)除法的意義和除法可能存在的兩種情況（平均除、包含除）進(jìn)行有效區(qū)別。但如果我們把這樣一個(gè)寬泛的問(wèn)題讓學(xué)生用圖解的方式使其具體化、形象化：“什么是平均分？把你認(rèn)為是平均分的故事寫(xiě)出來(lái)或畫(huà)出來(lái)?！睂W(xué)生從自己的生活中去搜索平均分的實(shí)際問(wèn)題，然后努力選擇合適的表征方式把問(wèn)題記錄下來(lái)，在作業(yè)展示環(huán)節(jié)，“小老師”有了抓手，講解起來(lái)就會(huì)底氣十足：“媽媽買來(lái)12顆糖果，如果哥哥、我和妹妹每人分得的同樣多，我們每人可以分到4顆糖果。你看，我們3 個(gè)人要分得同樣多，這就是平均分，可以說(shuō)是平均分給哥哥、我和妹妹?！薄皬埨蠋熡?只氣球，每人給2只，張老師的氣球可以分給幾個(gè)人？每人2只就是你2只、他2只、我也2只，一直分，分給了4 個(gè)人，這樣每個(gè)人都得到2 只，就是同樣多，所以叫平均分（如圖1）?！薄茱@然，有了圖解，“小老師”的表達(dá)就顯得“有血有肉”、活靈活現(xiàn)，對(duì)低段學(xué)生建立“平均分”的表象很有幫助，也能啟發(fā)其他同學(xué)想到各種平均分的實(shí)際問(wèn)題。

圖1

小學(xué)生的思維是由具體形象思維逐漸發(fā)展為抽象思維的一個(gè)質(zhì)變的過(guò)程，需要一定的教學(xué)手段和工具媒介助力。一些直觀的圖示、表格在學(xué)生思維轉(zhuǎn)變中能起到重要的作用。如上，憑借直觀的圖解，學(xué)生對(duì)抽象的“平均分”問(wèn)題有了真實(shí)的、可觸摸的理解。

二、圖解數(shù)學(xué)讓“小老師”的分析絲絲入扣

直覺(jué)是指在經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，不經(jīng)過(guò)邏輯推理而直接迅速地認(rèn)知事物的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生很容易用“直覺(jué)”判斷一個(gè)結(jié)論是否正確，習(xí)慣于遵從“直覺(jué)思維”模式，不太愿意對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題做理性分析。之所以出現(xiàn)這種情況，是因?yàn)椤爸庇X(jué)”也會(huì)在很多時(shí)候讓學(xué)生做出正確的判斷，這固化了學(xué)生的“直覺(jué)規(guī)律”，相應(yīng)的也導(dǎo)致學(xué)生發(fā)生一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤。教師要尋求一種方式讓學(xué)生養(yǎng)成一種良好的習(xí)慣，即在自己沒(méi)有完整思考的情況下，不輕信、不盲從“直覺(jué)”的答案。“圖解數(shù)學(xué)”就是一種可用的方式?！皥D示”作為一種特有的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，既可以解釋概念，也可以對(duì)解題策略進(jìn)行分析，一定程度上能幫助學(xué)生克服錯(cuò)誤的直覺(jué)反應(yīng)，讓問(wèn)題的分析過(guò)程和推理過(guò)程更有深度。

例如蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的再認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，教師要幫助學(xué)生真正理解小數(shù)，感知小數(shù)的記數(shù)是“位值記數(shù)法”的拓展，小數(shù)是遵循整數(shù)記數(shù)規(guī)律的一種新的數(shù)。但是，如果只是簡(jiǎn)單地進(jìn)行十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，“小老師”恐怕自己都未必明白為何等于0.72，只是憑直覺(jué)說(shuō)出7分米2厘米=米=0.72米，這不是思考的結(jié)果，而是依照教師之前給出的情景，“套路”出的答案。那寫(xiě)成三位小數(shù)，是0.072 還是0.720 呢？為了幫助“小老師”進(jìn)行理性分析，教師可為學(xué)生創(chuàng)造“圖解數(shù)學(xué)”的經(jīng)歷：用米尺測(cè)量出張老師的身高，并用小數(shù)表示出來(lái)，也可用其他圖示解釋你的思路（如圖2）。有了“圖解”的經(jīng)歷，“小老師”的分析便能入“理”三分：“我是這樣想的，10米平均分成10份，每份就是1 米，1 米平均分成10 份，每份就是0.1 米，7 個(gè)0.1米就是0.7 米；接著往后分，這里有點(diǎn)小，看不出來(lái)了，但我們可以想象，0.1 米再分就是0.01 米，因?yàn)樗鼈兌际?0份、10份地分下去的，這里大約是2個(gè)0.01米，全部合起來(lái)就是1.72米?！保ㄈ鐖D3）“我覺(jué)得1米平均分成10份，1份就是米，也是0.1米，0.1就是1的個(gè)0.1米就是0.7米；再往后把0.1平均分成10 份，其實(shí)就是把1 米平均分成100 份，每份是米，也就是0.01 米就是0.01，2 個(gè)0.01米就是0.02米。我覺(jué)得好像還多了一半，這里分不下了，我把它畫(huà)在右邊。我們可以想象一下，0.01接著平均分，每份應(yīng)該是0.001米，我感覺(jué)在中間，就算5份吧，那就是0.005米，合起來(lái)就是1.725米。這里的0.1，0.01，0.001之間都是10倍、10倍的關(guān)系，和還有整數(shù)的1000，100，10，1之間的關(guān)系都是一樣的?！保ㄈ鐖D4）

圖2

圖3

圖4

“圖解”過(guò)程中，“小老師”的思考路徑清晰可見(jiàn)，能借助平均分的操作，把尚未正式學(xué)習(xí)的小數(shù)單位解釋得不那么抽象了。因?yàn)閷W(xué)生很巧妙地把小數(shù)這種計(jì)數(shù)方式和整數(shù)進(jìn)行了有效的溝通，10份、10份地逐次分下去，也就從左往右逐次排列下去，成為0.1，0.01，0.001。再結(jié)合十進(jìn)分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)來(lái)解釋小數(shù)，把整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)進(jìn)行了聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了零散知識(shí)體系化。當(dāng)圖示中0.01平均分成10份時(shí)，學(xué)生沒(méi)辦法畫(huà)了，但能根據(jù)相應(yīng)的原理進(jìn)行想象，推理出接下來(lái)分的過(guò)程和結(jié)果，可見(jiàn)學(xué)生的分析已經(jīng)突破“直覺(jué)”，較好地彌補(bǔ)了文字描述無(wú)法在大腦中呈現(xiàn)清晰圖像的缺陷，很大程度上提升了“小老師”講解的效果。

三、“圖解數(shù)學(xué)”讓小老師的反思有據(jù)可依

維果茨基說(shuō)過(guò)，人所特有的心理過(guò)程都是由語(yǔ)言、標(biāo)志和符號(hào)這樣的心理工具充當(dāng)中介的，這種以符號(hào)系統(tǒng)為中介的高級(jí)心理機(jī)能需要由外部集體活動(dòng)內(nèi)化而成。也就是說(shuō)，學(xué)生最初是有自己的想法的，這些想法可能對(duì)、可能錯(cuò)，也有可能是“半對(duì)半錯(cuò)”，不足以實(shí)現(xiàn)從知識(shí)的理解到策略的形成。策略的形成需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中需要自我的反思和與同伴的交流。學(xué)生參加小組或全班的學(xué)習(xí)活動(dòng)，須借助各種符號(hào)展開(kāi)交流，以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我完善。

例如在“平均數(shù)”問(wèn)題的教學(xué)中，小學(xué)階段較為常見(jiàn)的算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算，就是兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)受到算術(shù)平均數(shù)算法的影響，在“用單價(jià)10元的牛奶8千克和單價(jià)5元的果汁2千克，混合成牛奶果汁，每千克應(yīng)該以什么價(jià)格出售？”這類加權(quán)平均數(shù)的問(wèn)題中，一位“小老師”振振有詞地表達(dá)了自己的觀點(diǎn)：這里是求價(jià)格的平均數(shù)，所以只要找到價(jià)格10元和5 元就可以了，（10+5）÷2＝7.5 元，應(yīng)該以7.5元的價(jià)格出售。對(duì)于這樣的講解，學(xué)生中漸有唏噓聲，很顯然，原來(lái)僅8千克牛奶就要80元，現(xiàn)在加上果汁才75 元，一定有問(wèn)題。可是，問(wèn)題出在哪里？算術(shù)平均數(shù)的算法根深蒂固地纏繞著學(xué)生的思維，學(xué)生必須借助圖解，把整個(gè)思路重新梳理，才能“破繭成蝶”。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：結(jié)合平均數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程，畫(huà)出10千克果汁牛奶的價(jià)格如何平均。有“小老師”從平均數(shù)最初學(xué)習(xí)時(shí)用到的“移多補(bǔ)少”中受到啟發(fā)，給出了如圖5的解釋，這給其他同學(xué)一個(gè)啟發(fā)：原來(lái)這里不是1 個(gè)10 元和1 個(gè)5 元平均，而是8 個(gè)10 元和2 個(gè)5 元在平均。其他的同學(xué)也逐漸打開(kāi)思路，給出了如圖6 的解釋，這為平均數(shù)的計(jì)算過(guò)程（10×8+5×2）÷10做了很好的直觀詮釋。借助思考路徑的圖解過(guò)程，“小老師”終于意識(shí)到最初的“振振有詞”是欠缺考慮的，并真正接受和理解了加權(quán)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的“異”與“同”。

圖5

圖6

“小老師”登上舞臺(tái)，借助“圖解數(shù)學(xué)”，用直觀的圖形顯化思維，在合作交流中用精準(zhǔn)的語(yǔ)言闡述思考過(guò)程，能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。