“位值”背后的基本活動(dòng)

□郜舒竹

如果把知識(shí)視為是在活動(dòng)中習(xí)得或生成的，技能是在活動(dòng)中提升并熟練的，思想是在活動(dòng)中感悟并凝練的，經(jīng)驗(yàn)是在活動(dòng)中產(chǎn)生并積累的，那么讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷“基本活動(dòng)”，就成為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的核心。

“課標(biāo)”中所說(shuō)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)指的是“數(shù)學(xué)的……基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，不妨先把定語(yǔ)“數(shù)學(xué)的”去掉，關(guān)注一下人們?nèi)粘５幕顒?dòng)與數(shù)學(xué)的關(guān)系。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)課程中“位值（Place Value）”的認(rèn)識(shí)進(jìn)行說(shuō)明。

一、什么是“位值”

“位值”一詞，應(yīng)當(dāng)是從英文“Place Value”翻譯而來(lái)的，指的是在十進(jìn)制記數(shù)時(shí)，用有限的十個(gè)數(shù)字符號(hào)“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”，表達(dá)無(wú)限多的自然數(shù)。位值是一種人為規(guī)定的規(guī)則，即并排寫出的數(shù)字，在不同的位置所表示的值是不同的。比如“22”，表面看兩個(gè)數(shù)字符號(hào)“2”并列，但個(gè)位的“2”表示兩個(gè)“一”，而十位的“2”表示兩個(gè)“十”，因此“22”表示的是“兩個(gè)十和兩個(gè)一”。簡(jiǎn)單說(shuō)，位值就是“位置有值”。

位值作為人為規(guī)定的一種記數(shù)規(guī)則，實(shí)質(zhì)是把數(shù)作為語(yǔ)言進(jìn)行書(shū)寫表達(dá)的語(yǔ)法，是人類智慧的體現(xiàn)，這種智慧表現(xiàn)為用0～9 這有限的十個(gè)數(shù)字符號(hào)，表達(dá)出無(wú)限多的自然數(shù)，實(shí)現(xiàn)了有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一。因此，成為全世界不同國(guó)家、不同語(yǔ)言、不同文化共同接受的記數(shù)方式，也成為所有不同國(guó)家、不同語(yǔ)言、不同文化的數(shù)學(xué)課程中必不可少的共同內(nèi)容和文化。

作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，位值可以說(shuō)貫穿教學(xué)的始終。小學(xué)階段關(guān)于整數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算，以及小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算等等，初中階段關(guān)于有理數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算等等，都離不開(kāi)對(duì)位值的理解。

直觀上看，位置上的值是看不見(jiàn)的，具有表里不一的特點(diǎn)，因此會(huì)導(dǎo)致認(rèn)知的困難。特別是低齡兒童剛開(kāi)始學(xué)習(xí)的時(shí)候，比如教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，類似于“33-3＝3”的錯(cuò)誤極其普遍，究其原因，是把并列的兩個(gè)3，即“33”看作“3 和3”的關(guān)系，忽略了位置上的值，“33-3”的運(yùn)算就成為“從3和3中拿走一個(gè)3，自然還剩下一個(gè)3”。而位值作為規(guī)則，規(guī)定“33”表達(dá)的是“30和3”，其中的“30”從“33”的外表中是不可見(jiàn)的。正是這樣的表里不一，使得位值對(duì)于低齡兒童具有抽象性，這樣的抽象性自然會(huì)導(dǎo)致普遍性的認(rèn)知困難。

“也不是的，我二三十歲時(shí)很想結(jié)婚。但最初的幾次婚姻，更像是彩排。后來(lái)，我找到了能過(guò)一輩子的女人，是她遏制了我結(jié)婚或離婚的慣性，但她婚后幾個(gè)月就死了?！?/p>

數(shù)學(xué)課程中諸如此類具有抽象性的內(nèi)容很多，為了尋求更有效的課程設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施的方法，先簡(jiǎn)要介紹與“涉身認(rèn)知（Embodied Cognitive）”有關(guān)的幾個(gè)概念。

基于“生成論（Enactivism）”的認(rèn)知科學(xué)有一種涉身認(rèn)知的說(shuō)法，其基本假設(shè)源于生物學(xué)，認(rèn)為所有生物體（包括人）的認(rèn)知活動(dòng)，都是自身身體、大腦在與外部環(huán)境的互動(dòng)中進(jìn)行的，倡導(dǎo)讓大腦回歸肉身，認(rèn)知是涉及身體以及身體活動(dòng)的。知識(shí)并不僅僅是吸收和表征的，而是在與環(huán)境互動(dòng)過(guò)程中生成的。生成論否定知識(shí)的靜態(tài)觀念，認(rèn)為知識(shí)本身就是過(guò)程，強(qiáng)調(diào)“做即知，知即做”[1]。

涉身認(rèn)知否定認(rèn)知活動(dòng)是單純的頭腦中的智力活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)認(rèn)知活動(dòng)的涉身性，即身體以及身體活動(dòng)的不可或缺。其中兩個(gè)核心詞匯分別是“意象圖式”和“隱喻”，下面結(jié)合幾乎每位學(xué)生都要反復(fù)經(jīng)歷的“上學(xué)”的過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明。

二、“上學(xué)”的活動(dòng)

不妨把上學(xué)的過(guò)程概括為如下的系列活動(dòng)，這些活動(dòng)都是人的身體需要參與并經(jīng)歷的。

●出門前需要“收拾書(shū)包”；

●背上書(shū)包“走出家門”；

●路上“乘坐公交車”，也可能是其他交通工具；

●到達(dá)學(xué)校“進(jìn)入教室”。

整個(gè)“上學(xué)”過(guò)程中，出現(xiàn)了諸如“書(shū)包、家、公交車、教室”這些對(duì)象（Object），相當(dāng)于涉身認(rèn)知中所說(shuō)的外部環(huán)境。整個(gè)上學(xué)的過(guò)程，就是人身體與這樣的環(huán)境互動(dòng)的過(guò)程。

所有這些對(duì)象共同的特征是，都有“內(nèi)部”和“外部”，人身體的活動(dòng)自然就包括“從外到內(nèi)”和“從內(nèi)到外”。收拾書(shū)包的過(guò)程有“取出”和“放入”的活動(dòng)，家的房間和教室的房間都有“走進(jìn)”和“走出”的活動(dòng)，公交車有“上車（進(jìn)入車廂）”和“下車（走出車廂）”的活動(dòng)。諸如此類“出—入”的活動(dòng)，是包括低齡兒童在內(nèi)的大部分人每天都會(huì)反復(fù)經(jīng)歷的。

提及書(shū)包、房間、車廂，頭腦中自然會(huì)浮現(xiàn)出相應(yīng)的影像（見(jiàn)圖1）。

這樣的影像在認(rèn)知科學(xué)（Cognitive Science）中叫作“意象（Image）”，也就是頭腦中的圖像（Picture in mind）。結(jié)合這些意象，“內(nèi)—外”的空間關(guān)系，以及人身體“從內(nèi)到外”和“從外到內(nèi)”的活動(dòng)，頭腦中就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)結(jié)構(gòu)（System）或模式（Pattern），這樣的結(jié)構(gòu)或模式也叫“圖式（Schema）”，其實(shí)就是通常所說(shuō)的思維方式。

這樣的思維方式是在反復(fù)的互動(dòng)過(guò)程中無(wú)意識(shí)地、自然而然地形成的。鑒于“內(nèi)—外”的空間關(guān)系以及“出—入”的身體活動(dòng)，都具有容納、包容的特征，因此這種思維方式可以命名為“容器（CONTAINER）”圖式[2]，是諸多意象圖式（Image Schema）中的一種（見(jiàn)圖2）。

圖2 容器示意圖

圖3 容器圖式示意圖

意象圖式是從相對(duì)具體的意象中得到的，其作用一方面是對(duì)人身體有共性的日?；顒?dòng)或行為的概括，另一方面可以將其應(yīng)用于其他更多、更廣泛的活動(dòng)。比如人用餐過(guò)程中的盛飯、吃飯，其中的飯碗、嘴也都具有內(nèi)—外的空間關(guān)系，人身體的活動(dòng)同樣具有出—入的動(dòng)作，因此也可以納入到容器圖式中。

意象圖式同時(shí)具有涉身性和概括性，往往用較為簡(jiǎn)潔的圖形來(lái)表示。比如前面所說(shuō)的容器圖式，通常用圖3的大小兩個(gè)圓，表示容器的內(nèi)外關(guān)系以及出入的活動(dòng)。對(duì)意象圖式進(jìn)行研究意在系統(tǒng)概括人的活動(dòng)方式，鑒于人日常活動(dòng)的多樣性和復(fù)雜性，使得意象圖式的研究成為一個(gè)開(kāi)放的領(lǐng)域，也即不會(huì)窮盡。

進(jìn)一步看“上學(xué)”的過(guò)程，收拾書(shū)包時(shí)會(huì)出現(xiàn)全部取出，使得書(shū)包變空的情況；也可能出現(xiàn)東西太多，裝不下的情況。乘坐公交車時(shí)可能出現(xiàn)車廂無(wú)乘客的空車廂情況，也可能出現(xiàn)人滿為患上不去的情況。這些經(jīng)驗(yàn)都與容器的“空”與“滿”類似，反復(fù)的經(jīng)歷使得頭腦中會(huì)形成“空—滿”的意象，面對(duì)空就是沒(méi)有對(duì)象，還可以進(jìn)入，進(jìn)入可以使得容器中從無(wú)到有；對(duì)于容器的“滿”，就意味著無(wú)法進(jìn)入，需要有出，才能有入。這就形成了另外一種意象圖式，可 以 命 名 為“ 空— 滿（Empty-Full）”圖式，通常用圖4兩個(gè)圓進(jìn)行對(duì)比表示。其中左側(cè)圓表示“滿”，右側(cè)圓表示“空”。

更進(jìn)一步，收拾書(shū)包時(shí)書(shū)包中會(huì)放入教科書(shū)、作業(yè)本、筆袋（筆盒）等不同類型的物品；進(jìn)入公交車會(huì)看到男人、女人、老人、年輕人、兒童等不同類型的人；進(jìn)入教室會(huì)發(fā)現(xiàn)有同學(xué)已經(jīng)來(lái)到，有同學(xué)還沒(méi)來(lái)到，有同學(xué)在打掃衛(wèi)生，有同學(xué)在讀書(shū)，等等。經(jīng)歷這些過(guò)程所形成的意象，使得人自然而然產(chǎn)生同中求異、異中求同的思維方式，也就是形成“類別”或“分類”的意象圖式。可以命名為“類別（COLLECTION）”圖式。

類別圖式在人日常行為中的應(yīng)用極其廣泛，比如在書(shū)架上擺放圖書(shū)，會(huì)遵循便于記憶、便于尋找的原則，因此會(huì)分門別類地進(jìn)行擺放。在電腦中存放自己的文件，會(huì)依據(jù)不同類型的文件，設(shè)置不同的文件夾將文件分類，等等。

圖4“空—滿”圖式示意圖

三、容器與位值

圖5 認(rèn)識(shí)位值示意圖

前面利用“上學(xué)”過(guò)程中的活動(dòng)，介紹了與“出—入”活動(dòng)有關(guān)的思維方式，分別為容器、空—滿以及類別三個(gè)常見(jiàn)的意象圖式。鑒于出—入活動(dòng)的經(jīng)常性和重復(fù)性，可以把容器圖式作為設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的已有經(jīng)驗(yàn)。

對(duì)于抽象的認(rèn)識(shí)對(duì)象，認(rèn)知科學(xué)通常運(yùn)用“類比（Analogy）”，也叫作“隱喻（Metaphor）”的方式進(jìn)行理解。比如一個(gè)人很有學(xué)問(wèn)，但這些學(xué)問(wèn)從人的外表是看不見(jiàn)的，“滿腹經(jīng)綸”這一成語(yǔ)就是一個(gè)類比或隱喻的說(shuō)法，把人身體中的“腹”看作容器，用“滿”表示多，運(yùn)用了容器圖式進(jìn)行類比。再比如人的“信心”也是一個(gè)抽象的概念，存在于人的心理中，是成就事業(yè)重要的心理因素。因此會(huì)有“信心滿滿”的說(shuō)法，把人的心理類比為容器，用“滿”隱喻“充足”。類似的隱喻還有滿心歡喜、心滿意足等。

對(duì)于位值，同樣可以運(yùn)用與容器相關(guān)的思維方式進(jìn)行理解。比如，可以將兩位數(shù)中的十位和個(gè)位這兩個(gè)位置，分別看作是兩個(gè)容器。首先應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)兩個(gè)容器中所容納的對(duì)象是不同的。個(gè)位容器中容納的個(gè)體對(duì)象是“一”，十位容器中容納的個(gè)體對(duì)象是“十”。為了便于動(dòng)手操作，可以利用如圖5的學(xué)具。

圖5 中白紙上縱向劃分出的三個(gè)區(qū)域，從右到左分別表示個(gè)位、十位、百位的三個(gè)容器。個(gè)位容器中容納的對(duì)象用正方體小木塊表示，十位容器中包含的對(duì)象用10 個(gè)小木塊連接而成的“小木條”表示，同樣百位容器中容納的對(duì)象用10個(gè)小木條連接成的正方形小木板表示。

用容器類比數(shù)位過(guò)程中，還會(huì)用到空—滿圖式的思維方式?？諘r(shí)表示沒(méi)有，滿10個(gè)時(shí)，就需要取出，并把這10個(gè)小木塊變?yōu)橐粋€(gè)小木條，放入左側(cè)的十位容器中。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果有機(jī)會(huì)反復(fù)經(jīng)歷在每個(gè)數(shù)位容器中“放入、取出”的活動(dòng)，自然而然地就會(huì)將位值的認(rèn)知納入頭腦中業(yè)已形成的容器圖式中，也就使得位值的抽象性得以具體化。

容器圖式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用十分廣泛，比如豎式計(jì)算中的“進(jìn)位”和“退位”，其實(shí)質(zhì)就是將數(shù)位視為容器所進(jìn)行的放入和取出的活動(dòng)。對(duì)于方程的認(rèn)識(shí)，比如x-3=5，可以將其中的“x”看作容器，解方程的過(guò)程就是尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)放入其中，使得等式兩邊相等。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f(x)，起初人們就是把變量“y”看作是包含著變量“x”的容器，這也是函數(shù)一詞中“函”的來(lái)源[3]。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合與容器相關(guān)的日常活動(dòng)，設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是十分有益的。