分類討論思想及其在高中數(shù)學教學中的應用

趙玉才

【摘要】分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想，在求解某些問題方面往往可以起到化繁為簡的作用，不僅有利于提高學生解題能力，同樣有助于促進他們思維能力的發(fā)展，加強分類討論思想在學科教學中的滲透顯得尤為關鍵.以高中數(shù)學學科為例，對分類討論思想及其應用要點進行重點探討，希望可以助力新課程下高中數(shù)學高效課堂構建.

【關鍵詞】高中數(shù)學;分類討論思想;應用策略

在新一輪課程改革背景下，培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)，促使學生“智”與“德”同步發(fā)展是各學科教學的根本出發(fā)點.其中，“智”層面的學科素養(yǎng)是促進學生學科關鍵能力發(fā)展，其中涵蓋了數(shù)學思維能力、創(chuàng)新能力等.但是，以往的學科教學只注重按照教材開展知識講解，卻忽視了常用數(shù)學解題思想與方法的專項指導，進而限制了學生數(shù)學思維能力發(fā)展以及學科核心素養(yǎng)的形成.為了滿足新課程改革下高中生數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，加強分類討論思想等數(shù)學思想在課堂教學中的融入研討顯得尤為重要.

一、分類討論思想在高中數(shù)學教學中的應用意義

在進入高中階段之后，數(shù)學內(nèi)容在“質(zhì)”與“量”層面都有了很大程度的提升，大大增加了學生的學習難度，同時他們平時遇到的數(shù)學問題難度也越來越大，如果單純采取“套公式”“套模板”的固定式解題思維，那么顯然已經(jīng)無法有效解決這些復雜、高難度的綜合性數(shù)學問題.而分類討論思想不單單是一種數(shù)學思想，同樣是一個有效的問題求解對策，對鍛煉學生邏輯思維能力有幫助，可以使他們懂得利用分類處理的方式優(yōu)化問題解題思路，提高他們的歸納總結能力、問題分析和解決能力等.

二、分類討論思想在高中數(shù)學教學中的應用策略

（一）基于數(shù)學概念進行的分類討論

在高中階段的數(shù)學學科學習過程中，有絕對值、分段函數(shù)、斜率幾個關鍵的概念，它們本身的概念界定方面存在一定“分類”性，這使得它們在實際的數(shù)學應用中需要根據(jù)不同的條件確定不同的內(nèi)容，經(jīng)過分類討論分析方可最終確定定值.因此，涉及這些相關數(shù)學概念的問題求解，可以創(chuàng)新應用分類討論思想來有效解決這些問題.

1.基于絕對值概念的分類討論

在碰到包含絕對值的數(shù)學問題時，常規(guī)的解題思路是依據(jù)絕對值的基本定義，采取零點分類法將相應的絕對值采取分類的方式去掉.

2.基于分段函數(shù)概念的分類討論

分段函數(shù)，顧名思義，就是根據(jù)定義域的不同，相應的函數(shù)表現(xiàn)出差異性.針對分段函數(shù)問題的求解，由于其分段性特征的存在，使得問題求解過程中無法按照連續(xù)性函數(shù)的求解思路與方法進行求解，這樣會直接影響解題的準確性，所以在相應問題求解過程中也需要運用分類討論思想加以解決，針對不同段的函數(shù)采取差異化的求解方法.

3.基于函數(shù)斜率概念的分類討論

在使用點斜式對直線方程進行表述時，由于需要討論直線斜率本身的存在性，這就使得其需要進行分類討論才能保證整體函數(shù)分析的全面性與合理性.

例3 在xOy這一平面直角坐標系中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1和橢圓C2：4x2+y2=1.其中點M和點N分別為雙曲線與橢圓上面的一個動點，且已知OM⊥ON，試證明點O點到直線MN的距離為定值.

解析 針對這一問題的求解，在求解過程中需要對直線斜率是否存在進行分析，針對不同的情況，都要結合已知條件進行論證分析才能得到最終的結論，否則如果不考慮直線ON的斜率，那么無法論證全面.

（二）基于數(shù)學運算進行的分類討論

在開展數(shù)學運算的過程中，其中不乏一些遇到開平方或者需要分情況討論的運算情況，這時候為了快速解決問題，就必須及時進行分類討論，保證可以快速、準確地求解相應的數(shù)學問題.

由此可知，在求解數(shù)學運算問題時，需要結合實際的運算情況，靈活地選擇分類討論思想來簡化問題，保證可以快速找到解題的突破口，增強分析問題的全面性與有效性.

（三）基于公式限制進行的分類討論

在高中階段的數(shù)學學科知識學習過程中涉及數(shù)列領域的通項公式等眾多數(shù)學計算公式，它們本身涉及不確定的參數(shù)，并且參數(shù)的不同會得到不同的計算公式.針對這些涉及具體數(shù)學公式的數(shù)學問題求解，就需要借助分類討論思想，針對不同的公式分類情況來進行深入分析活動，保證可以更好地提升數(shù)學問題的求解準確度與效率.

（四）基于參數(shù)變化進行的分類討論

在數(shù)學問題求解時常常會涉及許多未知參數(shù)，由于它們本身的未知性使得實際的問題求解中常常會因為參數(shù)取值的不同而產(chǎn)生不同的結果，所以在實際的相關問題求解過程中要注意以參數(shù)為基準來進行分類討論，以此確保最終問題分類討論結果的準確性.

（五）基于不確定性進行的分類討論

在當前高中階段的數(shù)學學科教學過程中，由于涉及向量、圖形等一些抽象的知識，并且它們本身涉及的題目中也涉及一些未知性，這種“寬泛”的解題條件使得問題求解中需要考慮更多的因素.針對這種情況，也需要借助分類討論思想來對相應的問題進行系統(tǒng)化梳理，保證可以借助不同條件下的“定式”問題求解來最終找到解決問題的答案.

例7 已知平面向量a，b，c滿足a⊥b，且a，b，c=1，2，3，試求a+b+c的最大值.

解析 鑒于題目中給出的向量都屬于未知值，條件不足或未知在一定程度上影響了計算結果的差異性，所以為了順利解決這道題，需要針對不同的情況來采取切實可行的處理手段與策略.在本道數(shù)學題中，在a+b和c保持同向的狀態(tài)下，待求值a+b+c可以取得最大值.但是由于|a|，|b|，|c|三者的不確定性使得問題求解中需要及時開展分類討論.

綜上所述，在三種不同的情況下，|a+b+c|的最大值各不相同.通過對比這三個結果的大小，最終可以求得|a+b+c|的最大值為5+3.

綜上所述，分類討論思想是一種提高高中生數(shù)學解題能力的一個有效數(shù)學思想.在實際的數(shù)學教學過程中，教師可以結合數(shù)學概念、數(shù)學運算、公式限制以及參數(shù)變化等為特征的數(shù)學問題，針對性傳授給學生分類討論思想的基本應用情況，保證不斷提升他們的數(shù)學問題求解能力.