巧用“一線三等角”模型突破數(shù)學(xué)綜合題

曾靜

【摘要】利用MM策略數(shù)學(xué)建模思想是重要的教與學(xué)的思想，靈活掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解題是解決綜合題型的重要突破方法。巧用“一線三等角”模型能更好地突破數(shù)學(xué)綜合題，拓寬學(xué)生的解題思路，拓展學(xué)生的解題思維，讓學(xué)生獲取學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈性，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得更有趣。現(xiàn)代數(shù)學(xué)理念認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識(shí)，而且要提高學(xué)生的思維能力，要培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)考慮和處理實(shí)際問題，從而形成良好的思維品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模思想;一線三等角模型;數(shù)學(xué)綜合題

數(shù)學(xué)課標(biāo)實(shí)驗(yàn)本在前言部分11次提到了數(shù)學(xué)的建模，用模問題，數(shù)學(xué)建模的思想對(duì)提高初中生數(shù)學(xué)思維能力有很大的促進(jìn)作用，它能使學(xué)生真正把數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)活，達(dá)到深化、理解知識(shí)、發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。

利用數(shù)學(xué)模型思想，讓教師們?cè)诮虒W(xué)中不只為講一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或講一道題進(jìn)行按點(diǎn)教學(xué)，而是按塊教學(xué)。運(yùn)用綜合知識(shí)解決一類有共性的題，歸納出模型，利用模型思想解決更多的一系列題。利用數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)應(yīng)該滲透到平時(shí)的實(shí)際教學(xué)中，這樣能提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生在面對(duì)綜合題時(shí)不會(huì)束手無措。模型思想的形成，可以給學(xué)生提供更合適的解題思路，減低學(xué)生的思維量，提高解題信心，緩解學(xué)生解題的緊張感，讓數(shù)學(xué)綜合題迎刃而解。

如何提高初中生數(shù)學(xué)思維能力是一個(gè)涉及面較大的綜合性課題，目前，在教學(xué)理論界利用MM策略提高初中生數(shù)學(xué)思維能力這方面的研究還比較薄弱，我們正在開展這項(xiàng)課題研究，有利于發(fā)展和豐富學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力。

學(xué)生到了九年級(jí)，數(shù)學(xué)知識(shí)累積到了一定程度，但很多知識(shí)理解和運(yùn)用都比較模糊，尤其是對(duì)于解決綜合題時(shí)更是無從下手。數(shù)學(xué)模型思想的學(xué)習(xí)，模型的應(yīng)用在一定程度上能開拓學(xué)生的解題思路，在獨(dú)立解題時(shí)能更好地引導(dǎo)自己進(jìn)行解題突破，當(dāng)學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)題目有熟悉感，離解題成功也就不遠(yuǎn)了。

在大量的數(shù)學(xué)幾何模型中，一線三等角模型使用較為廣泛，在綜合題中起到關(guān)鍵的解題突破的作用。一線三等角模型突出的特點(diǎn)就是構(gòu)造兩組角對(duì)應(yīng)相等。具體的定義是：兩個(gè)相等的角一邊在同一條直線上，另一邊在該直線的同側(cè)或異側(cè)，第三個(gè)與之相等的角的頂點(diǎn)在前一組等角的頂點(diǎn)中所確定的線段上或線段的延長線上，另外兩邊分別位于一直線的同側(cè)或異側(cè)與兩等角兩邊相交，會(huì)形成一組相似三角形，習(xí)慣上把該組相似三角形稱為“一線三等角型”相似三角形。（通俗地講，一條直線上有三個(gè)相等的角一般都會(huì)存在相似三角形。）較常見的“一線三等角型”按角分，分別有“銳角一線三等角”“直角一線三等角”“鈍角一線三等角”，三種模型如下圖。

一線三等角模型適用于三角形全等和三角形相似。常見經(jīng)典例題有：

求證：

“一線三等角”幾何模型中，直角“一線三等角”模型尤為常用。它可以巧妙地穿插在函數(shù)和四邊形等綜合幾何題中。此模型的熟練掌握通常能順利幫助學(xué)生攻破綜合難題。

例1是直角一線三等角模型應(yīng)用于幾何綜合題型。此題在圖1直角一線三等角模型基礎(chǔ)上做小變題，增加一些條件，便可以成為豐富的出題素材。

例1：如圖2，線段BC上有一點(diǎn)P，使BP=CP，∠B=∠APD=∠C=90°。

本題的圖形條件和題干組合是很好的出題載體，可以產(chǎn)生不少結(jié)論。

常見的結(jié)論有：

上述這六個(gè)結(jié)論中，第一個(gè)結(jié)論要用二次相似，對(duì)于考生來說較難，突破了結(jié)論①，后面的五個(gè)結(jié)論都可以由它演變而來。結(jié)論①的思路如下：

我們把圖2稍加變形為圖3，并可以形成非常出名的勾股定理的證明方法。它由美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話，被稱為“總統(tǒng)證法”。圖形的構(gòu)造就是利用了直角一線三等角模型，構(gòu)造△ABP≌PCD，由面積相等，可以證明勾股定理的成立。這種勾股定理的證明方法簡單、直觀且通俗易懂，其中“一線三等角”的模型功不可沒。接下來再看看直角一線三等角在函數(shù)題中的出色表現(xiàn)。

例2：如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，OA、OB分別與函數(shù)y=-（x<0）、y=（x>0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，求tan∠OBA的值。

分析：如上右圖，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D ，構(gòu)造一線三等角模型。得△OBD∽

△AOC，，又點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，，可得 。

這道題是函數(shù)綜合題，題面上學(xué)生要利用反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正切的定義解題，但這樣不能進(jìn)行難點(diǎn)突破。本題需要充分挖掘題干和圖形的隱含條件，利用反比例函數(shù)的幾何意義并結(jié)合一線三等角模型得到三角形相似，應(yīng)用三角形相似的性質(zhì)和正切的定義便能順利解題。本題解題思路的巧妙，一線三等角起著非常重要的作用。若能理解和感受到解題的過程，學(xué)生會(huì)被這題的魅力折服，讓學(xué)生享受解答數(shù)學(xué)的成功感，讓學(xué)生深切感受數(shù)學(xué)模型的重要性。這樣會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，能主動(dòng)嘗試?yán)媚Ｐ退枷肴フ莆諗?shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得以提高。

一線三等角模型擅長隱藏，它在上題中隱藏在反比例函數(shù)圖象里不易發(fā)覺，有時(shí)它也會(huì)藏在等腰三角形、等邊三角形甚至是平面直角坐標(biāo)系里。

例3：如下圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，其中∠ADE=60°。則△ADC∽△DEB能成立嗎？

分析：通過挖掘等邊三角形的隱含條件，可得∠ADE=∠B=∠C= 60°，由一線三等角模型， 易證△ADC∽△DEB.本題把等邊三角形改成等腰三角形，利用等邊對(duì)等角，再增加一角相等同樣構(gòu)造一線三等角模型。

例4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B為x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰直角△ABC，其中∠BAC=90°，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示x與y的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）

分析：如下圖，分別過C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，構(gòu)造一線三等角模型，由題意可知△ABC等腰直角三角形，則AC=AB，易證△CDA≌△AOB，得AD=OB=x，CE=AD+AO，所以y=x+1，但因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸正半軸，x≠0，所以y≠1，結(jié)果選A.

從例2和例4我們發(fā)現(xiàn)，一線三等角模型常應(yīng)用在綜合的數(shù)學(xué)題里，它不但便于解決相似問題，而且同樣可以解決全等問題。一線三等角模型能提供三個(gè)相等的角，可以提煉出兩組角對(duì)應(yīng)相等的條件，若能結(jié)合題意找到任意一組邊對(duì)應(yīng)相等，三角形全等便成立了?？偠灾羞呄嗟茸C全等，沒邊相等證相似。

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本仼務(wù)在于教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)、如何思考問題、如何應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該教育自己的學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決，即建立數(shù)學(xué)模型。也許很多教師都會(huì)抱怨學(xué)生知識(shí)不能學(xué)以致用，分析和解決實(shí)際問題的能力差，其實(shí)這跟我們平時(shí)的教學(xué)有很大的關(guān)系，我們?cè)谄綍r(shí)的實(shí)際教學(xué)中，忽略了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想，學(xué)生沒有建模意識(shí)，做題不能舉一反三，哪怕再多的題海戰(zhàn)術(shù)，都不能收到想要的學(xué)習(xí)效果。

數(shù)學(xué)模型策略（mathmaticatmodellingmethod），簡稱為MM策略，就是把一個(gè)現(xiàn)實(shí)原型引向我們熟悉的模型.原有的熟悉模型經(jīng)過推廣，從而來解決一類具有公共特點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的解題能力。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中此策略過程一般可分為抽象、推理、類比、發(fā)散、創(chuàng)新五個(gè)階段。對(duì)于初中生而言，模型思想可能較難，不能一蹴而就，在教學(xué)中要循序漸進(jìn)慢慢滲透，并引導(dǎo)學(xué)生在做題中實(shí)踐應(yīng)用。數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生參與經(jīng)歷將問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，探究出利用模型解題的通性通法，驗(yàn)證模型的實(shí)用性，通過數(shù)學(xué)建模活動(dòng)提高初中生數(shù)學(xué)思維靈活性、敏捷性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性等能力。

培養(yǎng)初中生“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng)的研究，旨在從學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的角度出發(fā)，以數(shù)學(xué)建模為突破點(diǎn)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模既是學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問題的一種能力。學(xué)生親自經(jīng)歷模型建立的“再創(chuàng)造”過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察和分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，解答日常生活中的問題，進(jìn)而形成通于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神，靈活地運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題是值得研究和探索的。掌握正確的技巧和重視方法總結(jié)，往往事半功倍。數(shù)學(xué)看似變化莫測，實(shí)則很多題都可以抽象出基本模型。抓住模型，抓住本質(zhì)，方能以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然，一切方法都建立在一定的知識(shí)基礎(chǔ)上，打好基礎(chǔ)才能更有效地學(xué)習(xí)。

在中考科目中，數(shù)學(xué)最能體現(xiàn)差距，作為數(shù)學(xué)的教育工作者，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維能力是我們的必修課，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，同時(shí)又可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，最大限度地開發(fā)學(xué)生的潛能，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]裴娣娜.教育研究方法導(dǎo)論[M].安徽教育出版社，1995，8.

[2]袁振國.教育研究方法[M].高等教育出版社，2000，7.

[3]張志存.例談方程思想在解題中的應(yīng)用[J].中國教育與教學(xué)，2006（10）：4.

[4]全國數(shù)學(xué)建模工作委員會(huì).初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)教程[M].濟(jì)南出版社，2014，9.

[5]猿輔導(dǎo).中考必會(huì)幾何模型[M].地質(zhì)出版社，2017，12.