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    試論APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成

    2020-03-12 12:38:41朱炎
    關(guān)鍵詞:銳角三角函數(shù)APOS理論循序漸進(jìn)

    朱炎

    【摘要】認(rèn)知是一個過程,無論對象存在何種特點,在對其進(jìn)行觀察和了解的過程中,都需要掌握合理的方式方法.基于此,本文以基于APOS理論的認(rèn)知過程為切入點,簡述該理論下從形象到抽象、從實踐到理論的認(rèn)知特點,再以此為基礎(chǔ),論述APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成過程,最后給出基于心理學(xué)的APOS理論應(yīng)用分析,以期通過分析,明晰理論,為后續(xù)相關(guān)工作提供參考.

    【關(guān)鍵詞】APOS理論;銳角三角函數(shù);循序漸進(jìn);自我理解

    APOS理論最初提出于美國,杜賓斯基等人創(chuàng)立了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型,相關(guān)學(xué)者認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進(jìn)行心理建構(gòu)的,此建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個階段,即活動(Action)階段、過程(Process)階段、對象(Object)階段、概型(Schema)階段.每一個階段都是相互對獨立的,但又是下一個階段認(rèn)知的前提,整個認(rèn)知過程建立在實踐和理解、重構(gòu)的基礎(chǔ)上,具有自主的特點.

    一、基于APOS理論的認(rèn)知過程

    (一)從形象到抽象

    任何一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論與概念模型,都應(yīng)該加強(qiáng)對“如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”和“什么樣的教學(xué)計劃可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供幫助”的理解,只是陳述事實并不能對教學(xué)活動產(chǎn)生幫助.二十世紀(jì)九十年代開始,人們就將APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)互動中,并應(yīng)用該理論完成數(shù)學(xué)概念的解讀,這一概念的成功應(yīng)用也彌補了當(dāng)時數(shù)學(xué)概念教學(xué)中教學(xué)方式存在的不足.

    在APOS理論下,認(rèn)知的過程既帶有常規(guī)的漸進(jìn)特點,也帶有一定的逆向特征.在該理論下,學(xué)生嘗試?yán)斫鈱ο竽繕?biāo),無須進(jìn)行大量的理論分析,首先以活動(Action)使對象的基本特征得到明確,這一階段的認(rèn)知是形象的、可視的.進(jìn)入過程(Process)階段,認(rèn)知開始變得系統(tǒng),對象的特點信息將起到推動認(rèn)知的作用.進(jìn)入對象(Object)階段,目標(biāo)在學(xué)生的大腦中已經(jīng)很明確,具有與眾不同的特色,但也越發(fā)抽象.進(jìn)入概型(Schema)階段,學(xué)生已經(jīng)擺脫了認(rèn)知對象外觀的限制,能夠在腦海中任意構(gòu)建相同的形象,認(rèn)知徹底抽象化,也標(biāo)志著APOS理論下的認(rèn)知過程進(jìn)入結(jié)束階段.

    (二)從實踐到理論

    實踐是一切學(xué)習(xí)、認(rèn)知過程的最初形式,在科學(xué)發(fā)展乃至文明社會出現(xiàn)的早期,所有認(rèn)知方式都是以實踐形式開展的,在APOS理論下,實踐依然是認(rèn)知的基本方式.無論目標(biāo)對象存在何種差別,嘗試了解其規(guī)律、屬性,都必須對其進(jìn)行具體分析,這一過程是主觀對客觀進(jìn)行的、有目的的分析探索[1].

    (三)從觀察到理解

    觀察與理解是認(rèn)知的兩個關(guān)聯(lián)性步驟,理解的方式可以分為很多種.在APOS理論下,觀察實際上是活動(Action)的具體表現(xiàn),即包括簡單的外觀觀察,也包括觀察后的分析解讀,在此過程中,學(xué)生需要通過觀察將尚未形成系統(tǒng)認(rèn)知的事物進(jìn)行拆解,使其不斷系統(tǒng)化、概念化、結(jié)構(gòu)化.如學(xué)生嘗試?yán)斫狻安煌切蔚奶攸c”,首先通過觀察抓住理解的重點,之后以自己此前所學(xué)進(jìn)行思考,進(jìn)入過程(Process)階段,獲取了自身理解后,無論成果如何,均進(jìn)入下一階段,即對象(Object)階段,當(dāng)學(xué)生對“不同三角形的特點”的理解沒有被后續(xù)吸收的知識推翻,即進(jìn)入概型(Schema)階段,形成了最終的理解.

    二、APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成過程

    (一)活動(Action)階段

    銳角三角函數(shù)概念的理解,同樣是認(rèn)知過程的一種具體化,在初始階段,也即活動(Action)階段,概念的形成是非結(jié)構(gòu)化的、模糊化的.如中學(xué)生可以分辨銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形,但對如何通過函數(shù)進(jìn)行表達(dá),大部分學(xué)生都缺乏認(rèn)知.在APOS理論下,認(rèn)知的形成以具體的實踐方式為起點.學(xué)生對各類函數(shù)進(jìn)行解析,構(gòu)建不同的圖像,持續(xù)進(jìn)行實踐,由于函數(shù)的多樣性,實踐過程很可能是漫長的,經(jīng)歷多重失敗后,學(xué)生會自發(fā)總結(jié)規(guī)律,如函數(shù)某一個值的變大總是導(dǎo)致三角形角度增加,產(chǎn)生了角度更大的鈍角三角形,那么嘗試將該數(shù)值縮小,就有可能獲取直角或者銳角三角形,在此理論的引導(dǎo)下,學(xué)生可自然而然地優(yōu)化認(rèn)知行為,并在持續(xù)進(jìn)行活動(Action)的情況下,順利進(jìn)入下一階段.

    (二)過程(Process)階段

    當(dāng)學(xué)生嘗試通過縮小某一固定值獲取銳角三角形時,其認(rèn)知行為進(jìn)入了過程(Process)階段,該階段的認(rèn)知變化是對活動(Action)階段的無限次重復(fù).假定學(xué)生本身的敏銳程度、總結(jié)能力不強(qiáng),可能持續(xù)對數(shù)值進(jìn)行推敲,每次減少少量值,使認(rèn)知的過程枯燥煩瑣,直到無數(shù)次實驗后,才能獲取認(rèn)知上的突破,這是APOS理論下,學(xué)生形成銳角三角形概念的最常見過程.此外,還有兩種認(rèn)知行為也提升概念形成的效率,一種為結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo),另一種為半結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo).結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo),是指學(xué)生獲取了直接的教導(dǎo),能夠以規(guī)律的形式快速摸索出最有效的實踐方法,這是APOS理論被發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用的初衷,最典型的就是教學(xué)工作.半結(jié)構(gòu)化的知識引導(dǎo)體現(xiàn)在認(rèn)知過程中,學(xué)生能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)認(rèn)知規(guī)律,從而提升認(rèn)知過程的效率.無論以何種方式完成銳角三角函概念過程(Process)階段的認(rèn)知,都會自然進(jìn)入第三個階段,即對象(Object)階段[2].

    (三)對象(Object)階段

    簡單地說,當(dāng)個體意識可以將過程看作是一個整體,并對其進(jìn)行變形或者轉(zhuǎn)換操作時,就會將整個過程當(dāng)作為一般意義上的數(shù)學(xué)對象.過程就會凝聚為對象.這樣做,可以讓對象階段的過程更加精致化,以自身的特性形成獨立對象,并參與數(shù)學(xué)活動,對象階段不僅可以操作其他對象,還能夠被比它層次更高的運算操作,從而為對方進(jìn)行服務(wù),為數(shù)學(xué)深入研究創(chuàng)造有利條件.

    在對象(Object)階段內(nèi),以APOS理論為視角,學(xué)生開始形成了對銳角三角函數(shù)的初步認(rèn)知,這種認(rèn)知很大程度上是片面的,如學(xué)生通過不斷的參數(shù)代入,在無數(shù)次的實踐過程中,獲取了第一個銳角三角函數(shù)公式,在沒有進(jìn)一步探索的情況下,學(xué)生對銳角三家函數(shù)的認(rèn)知可能會長時間停留在這一階段,形成認(rèn)知上的“坐井觀天”效應(yīng).對象(Object)階段可視作為認(rèn)知的第一個階段性目標(biāo),為避免“坐井觀天”效應(yīng),就需要重復(fù)上述兩個階段的工作,即持續(xù)的活動(Action)、過程(Process),不斷進(jìn)行認(rèn)知上的積累,學(xué)生對銳角三角函數(shù)的理解也會更加全面化、系統(tǒng)化.如果在對象(Object)階段獲得了理論指導(dǎo)(包括結(jié)構(gòu)化理論指導(dǎo)和半結(jié)構(gòu)化理論指導(dǎo)),可以使該階段的認(rèn)知快速提升.如學(xué)生通過摸索獲取了一個能夠生成銳角三角函數(shù)的等式,給予半結(jié)構(gòu)化引導(dǎo),使學(xué)生獲知極限值理論,在等式的極限值(角度90°)下,任何參數(shù)的變化都可以保證生成銳角三角形圖像,學(xué)生對該函數(shù)的認(rèn)知生成了第一個重要規(guī)律,以此類推,其在對象(Object)階段的認(rèn)知會持續(xù)完善.

    (四)概型(Schema)階段

    概型(Schema)階段,也即學(xué)生形成了認(rèn)知的結(jié)束階段,該階段內(nèi),學(xué)生通過多次的活動(Action)、過程(Process),進(jìn)入對象(Object)階段,并形成了明確的認(rèn)知,明確銳角三角函數(shù)概念以及其多種變化特點,已經(jīng)較為清晰的、牢固的被學(xué)生掌握.學(xué)生面對函數(shù)等式時,也能相應(yīng)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的銳角三角形圖像.在APOS理論下,概型(Schema)階段的認(rèn)知能力提升事實上不是一成不變的,學(xué)生可能在知識疏于應(yīng)用、學(xué)習(xí)懈怠的情況下失去對固有認(rèn)知的掌握,喪失對銳角三角函數(shù)概念的認(rèn)識,在此情況下,嘗試重新獲取知識,可以進(jìn)入此前的認(rèn)知循環(huán),從活動(Action)階段重新開始.如果學(xué)生嘗試?yán)斫飧呱畹闹R,也可以以概型(Schema)結(jié)果為基礎(chǔ),進(jìn)行深入學(xué)習(xí),提升認(rèn)知水平.

    三、基于心理學(xué)的APOS理論應(yīng)用分析

    APOS理論,本質(zhì)上是循序漸進(jìn)的認(rèn)知過程,強(qiáng)調(diào)以自我理解能力的深入優(yōu)化提升認(rèn)知水平,這一過程是循序漸進(jìn)的,也是APOS理論后續(xù)應(yīng)用的基本要求.如嘗試進(jìn)行宣傳工作,但目標(biāo)群體對宣傳內(nèi)容的理解十分有限,依然強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)化宣傳,結(jié)果可能并不理想.可以利用受眾心理構(gòu)建的基本特點,首先傳遞基礎(chǔ)知識,如宣傳內(nèi)容的某一個要素,當(dāng)受眾能夠理解這一要素后,再大范圍開展其中內(nèi)容的宣傳,使受眾的認(rèn)知過程漸進(jìn)化,逐步完善.此外,APOS理論還強(qiáng)調(diào)自我理解和消化,這即是說,不能一味進(jìn)行結(jié)構(gòu)化知識的傳遞,也不能在學(xué)生尚未進(jìn)入認(rèn)知的下一階段時,盲目推進(jìn)認(rèn)知過程.應(yīng)確保學(xué)生在活動(Action)階段、過程(Process)階段進(jìn)行了足夠完善的實踐,再嘗試進(jìn)入對象(Object)階段,并將該階段作為重點,使學(xué)生持續(xù)進(jìn)行認(rèn)知積累,最終自然步入概型(Schema)階段,自行掌握結(jié)構(gòu)化的知識.

    以“直線的斜率”教學(xué)設(shè)計為案例加以分析,探究APOS理論的有效應(yīng)用.在活動階段時,需要感受概念的直觀背景,通過對背景的解析形成感性認(rèn)識.無論是人們常見的拱橋,還是太空中行星軌跡,都是以曲線的形式完成運動,如果從數(shù)學(xué)角度去探索曲線運動軌跡,就需要加以量的刻畫,人們也因此創(chuàng)造了解析幾何學(xué).過程階段內(nèi),教師提問:“大家小時候玩過蹺蹺板嗎?如果將蹺蹺板想象為一條直線,蹺蹺板運動的時候就會出現(xiàn)一系列直線,這些直線都有什么共同之處?”隨后,學(xué)生就會指出這些直線都會經(jīng)過同一個點,教師再次提問:“這些直線方向不同,如果將方向統(tǒng)一確定為一個方向,那么蹺蹺板運動過程中直線是不是就確定了?”得到了學(xué)生的肯定回答之后,教師總結(jié)出:直線的確定需要一個點與一個方向.

    斜拉橋拉鎖也可以按照上述的蹺蹺板案例進(jìn)行分析,拉鎖可以看成是方向不同的直線,對橋面來說,這些直線的存在只能代表傾斜度不相同.想要用數(shù)學(xué)方法刻畫直線傾斜度,需要思考以下兩個問題:(1)為什么大橋的引橋很長?(2)為什么人會感覺從很高的地方滑下來會更加刺激?通過討論,學(xué)生發(fā)現(xiàn)傾斜程度與高度、寬度的比有關(guān)系.于是教師提問:“如果任意畫出兩條直線,如何判斷出兩條直線的傾斜程度?”隨后,學(xué)生提出了參考系,將其引入直角坐標(biāo)系.由此可見,APOS理論對目前數(shù)學(xué)概念教學(xué)來說,有著一定的借鑒意義,教師在課堂實踐活動中可以將實際與理論相結(jié)合,利用客觀實際分析概念理論,通過總結(jié)與反思設(shè)計數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動,只有這樣才能夠讓學(xué)生對概念知識有充分的了解,進(jìn)而優(yōu)化知識結(jié)構(gòu),完善知識體系.

    綜上,在APOS理論下,銳角三角函數(shù)概念的形成是一個典型的、漸進(jìn)式的認(rèn)知過程,與常規(guī)認(rèn)知的思路不同,APOS理論強(qiáng)調(diào)以實踐為基礎(chǔ)和引導(dǎo),使認(rèn)知過程更加具體化,實現(xiàn)了從形象到抽象、從實踐到理論、從觀察到理解的認(rèn)知過程.這也為其后續(xù)應(yīng)用提供了更多思路,包括強(qiáng)調(diào)循序漸進(jìn)、強(qiáng)調(diào)實踐認(rèn)知、強(qiáng)調(diào)自我理解等,進(jìn)一步發(fā)揮心理引導(dǎo)作用,提升認(rèn)知效果.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]趙紅霞,李丹.基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究——以《軸對稱圖形》教學(xué)為例[J].兵團(tuán)教育學(xué)院學(xué)報,2018(2):61-65.

    [2]劉洪霞,趙文才,包云霞.基于APOS理論的高等數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計與實踐[J].統(tǒng)計與管理,2018(1):96-98.

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