發(fā)揮幾何直觀功能，助推學(xué)生數(shù)學(xué)理解

陳潔

[摘 要]幾何直觀，能讓抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡約化，讓陌生的數(shù)學(xué)問題熟悉化。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮幾何直觀的功能，通過圖形操作、圖形變換和數(shù)形結(jié)合等方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀;數(shù)學(xué)理解;小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0076-02

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》的核心概念，也是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方法、策略。幾何直觀，能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分發(fā)揮幾何直觀的功能，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、通過圖形操作，助推學(xué)生數(shù)學(xué)理解

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是直觀的、具體的、形象的，而小學(xué)數(shù)學(xué)的特質(zhì)卻是理性的、抽象的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過圖形操作，給學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提供必要的支撐，幫助學(xué)生直觀感知和理解數(shù)學(xué)概念。通過圖形操作，可以將數(shù)學(xué)知識直觀地表征出來，這個過程是一個“圖導(dǎo)”過程。圖導(dǎo)，能啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，從而讓學(xué)生深刻把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

比如，教學(xué)“分數(shù)的初步認識（一）”時，通過不同的幾何圖形紙片，如圓形、長方形、正方形等，引導(dǎo)學(xué)生將之“對折”“涂色”，直觀感受平均分一個幾何圖形的過程。圍繞學(xué)生的圖形操作，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對比、交流，并通過追問，啟迪學(xué)生舍棄分數(shù)概念的非本質(zhì)屬性，建構(gòu)分數(shù)概念的本質(zhì)屬性。如“為什么圖形不相同，涂色部分卻都可以用二分之一表示呢？”“為什么圖形相同，涂色部分的分數(shù)卻不同呢？”通過正反比較，學(xué)生能夠認識到，盡管圖形形狀不同，但由于都是平均分成了兩份后表示其中的一份，因而都可以用二分之一來表示;同樣的，盡管圖形相同，但其中一個圖形被平均分成了二份，另一個圖形被平均分成了四份，因為平均分的份數(shù)不同，所以表示其中的一份的分數(shù)就不同。有了這樣的圖形操作，學(xué)生就能深刻感悟到“一個分數(shù)的大小只與平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)相關(guān)”。如此，從直觀圖形到抽象概念，學(xué)生經(jīng)歷了分數(shù)形成的全過程。

笛卡爾說：“沒有圖形就沒有思考?！彼沟俣髡f：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖像，那么就整體地把握了問題?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過對圖形、圖像、圖表的擺、拼、折、量、畫、剪等具體的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生形象地描述數(shù)學(xué)問題，借助直觀領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，從而豐富學(xué)生的數(shù)感，提升了學(xué)生運用幾何直觀表征數(shù)學(xué)知識的能力。

二、通過圖形變換，助推學(xué)生數(shù)學(xué)理解

幾何圖形的變換、運動也是幾何直觀的重要內(nèi)容。通過圖形變換，可以拓展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的寬度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高度，挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度。因為圖形既是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生認識數(shù)學(xué)的重要方法。

比如，關(guān)于“梯形的面積”，教材是通過“倍拼法”將兩個完全相同的梯形拼成一個近似的平行四邊形，然后利用梯形與平行四邊形的關(guān)系，推導(dǎo)出梯形的面積公式。這個過程既溝通了梯形與拼合成的平行四邊形的內(nèi)在關(guān)系，也滲透了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。為了拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，筆者在教學(xué)中充分賦予學(xué)生自主探究的權(quán)力，鼓勵學(xué)生運用不同的方法對梯形進行圖形變換。比如，有學(xué)生將梯形沿著對角線分割成兩個等高的三角形;有學(xué)生沿著梯形的中位線的兩個端點往下底作垂線，然后運用旋轉(zhuǎn)將梯形轉(zhuǎn)化成長方形;等等。不同的學(xué)生運用不同的變換方式，探究出梯形的面積公式，不同的方法彰顯學(xué)生不同的思路，顯現(xiàn)學(xué)生不同的數(shù)學(xué)思想、觀點。學(xué)生經(jīng)歷了圖形變換的過程之后，不僅能理解梯形面積公式，而且能理解圖形與面積之間的關(guān)系。

圖形變換不同于圖形操作，圖形操作是對圖形進行各種形式的操作活動，而圖形變換可以看成是圖形的一種運動。借助圖形變換，可以揭示圖形的特性、特質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生把握圖形與圖形之間的關(guān)系，經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)操作等具體感知過程，培養(yǎng)他們思考問題、解決問題的能力。

三、通過數(shù)形結(jié)合，助推學(xué)生數(shù)學(xué)理解

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的兩大基本元素。從某種意義上說，數(shù)學(xué)知識的發(fā)端、演變、提煉和發(fā)展等都是圍繞“數(shù)”和“形”展開的。在運用幾何直觀進行數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，無論是圖形操作還是圖形變換，都是對圖形的單向活動。而“數(shù)形結(jié)合”，則是在“數(shù)”與“形”之間架設(shè)橋梁。著名數(shù)學(xué)教育家華羅庚先生曾經(jīng)提出：“‘形缺‘?dāng)?shù)時難入微，‘?dāng)?shù)缺‘形時少直觀?！睌?shù)形結(jié)合，抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì)——“數(shù)”與“形”，將抽象與形象有機結(jié)合，充分運用圖形的直觀功能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力。

在數(shù)學(xué)中，“數(shù)”和“形”往往交織在一起，彼此互相促進、建構(gòu)、滲透、轉(zhuǎn)化。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生以形助數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合，促進學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系。比如，“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”中的例題“[12]+[14]+[18]+[116]”，幾乎所有的學(xué)生都選擇了通分，部分學(xué)生將分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)進行計算?；诖?，筆者將給出新問題：[12]+[14]+[18]+[116]+…+[11024]。因為原來的“通分法”“化小數(shù)法”等不再行得通，這樣就能激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認知沖突，意欲另辟蹊徑。正當(dāng)學(xué)生處于“口欲言而不能，心求通而未得”之時，筆者在黑板上畫了一個正方形。有學(xué)生迅速領(lǐng)悟——將正方形看作單位“1”。在此基礎(chǔ)上，教師可讓學(xué)生展開小組交流、研討。當(dāng)學(xué)生在正方形中畫出了“[12]”“[14]”“[18]”等分數(shù)之后就會發(fā)現(xiàn)，這些分數(shù)相加的和，就是正方形（單位“1”）減去剩下的“部分”，而剩下的“部分”對應(yīng)最后一個分數(shù)大小。由此，學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的魅力。通過“數(shù)形結(jié)合”，學(xué)生獲得了對抽象問題的“形象化理解”，從而提升了問題解決能力。

“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合，不僅能為學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念提供有力支撐，而且有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。

弗賴登塔爾說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念和方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！迸囵B(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)要從直觀教學(xué)開始。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生畫圖、析圖，用圖形引導(dǎo)、用圖形建構(gòu)、用圖形創(chuàng)造，從而將抽象的問題形象化、將復(fù)雜的問題簡約化，通過幾何直觀，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識由此及彼、由表及里的深度理解。

（責(zé)編 羅 艷）