數(shù)學深度教學的課堂要素

左浩德?郭嬋嬋

摘 要 為扎實理解的教學（Teaching for Robust Understanding，簡稱TRU）項目基于培養(yǎng)學生深刻理解數(shù)學思維的目的，將高效課堂的基本屬性總結(jié)為數(shù)學內(nèi)容、認知需求、公平獲得、身份認同感，以及形成性評價等五個維度。TRU的課堂評價和改進工具有助于一線教師改善課堂教學。

關(guān)鍵詞 TRU 數(shù)學課堂 深度教學

一、引言

深度教學是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑，重視引導學生更清晰、深入、全面、合理的思考[1]。數(shù)學課堂是師生互動最多的情境，如何在其

中滲透深度教學的理念是需要關(guān)注的重要問題。關(guān)于數(shù)學課堂教學的理論成果汗牛充棟，但高深理論難以融入實際教學仍是常見難題。數(shù)學課堂教學的形式化、模板化導致了“為深度而深度”、“表面上熱鬧，實際沒有收獲”的現(xiàn)狀。因此需進一步審視數(shù)學深度教學需要什么樣的課堂、怎樣以友好方式讓一線教師將深度教學理念滲透在數(shù)學課堂中。

培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標是使學生慣用數(shù)學思維來思考，有深度的數(shù)學課堂教學應更注重 “如何做”“為什么”，而非簡單機械的“是什么”。深度教學的理念與美國學者Alan Schoenfeld發(fā)起的為扎實理解的數(shù)學教學（Teaching for Robust Understanding in Mathematics，簡稱TRU-Math）研究不謀而合[2]。該項目探究了數(shù)學教學應重點關(guān)注什么，怎樣的課堂環(huán)境能幫學生成為淵博靈活的思考者和學習者，教師如何創(chuàng)造更有效的課堂環(huán)境等方面的問題[4]，從數(shù)學教學的目標（Why），有效課堂的要素（What），教師或教育研究者如何使用（How）等三個維度提供了有效數(shù)學課堂教學的框架。

盡管有學者已介紹了TRU的框架以及評分標準[3]，Schoenfeld本人于2018年也在第三屆華人數(shù)學教育大會（上海）中做了相關(guān)報告，但該框架依舊被我國的一線教師冷落。TRU在數(shù)學課堂教學理念和實踐等層面都體現(xiàn)了深度教學的目標，有助于改善數(shù)學課堂教學，因此本文將介紹TRU的目標、框架和工具，以期提供有價值的參考。

二、TRU的目標——數(shù)學深度教學

能夠使所有學生在數(shù)學課堂上有機會掌握豐富的數(shù)學知識、能夠靈活地數(shù)學地思考，是TRU項目的研究目標。TRU框架認為學生學習數(shù)學并不是對知識或步驟的記憶、重復和演練，因此，數(shù)學課堂教學不能滿足于灌輸給學生一系列數(shù)學知識或步驟的表面功夫，而應達到使學生理解各個概念或主題背后的聯(lián)系、數(shù)學學科的基本思想之深度。這體現(xiàn)了深度教學的宗旨——讓學生在課堂中體驗像數(shù)學家一樣思考的過程。

深度教學首先需要教師對數(shù)學知識的深刻理解。教師關(guān)于“學生應該怎樣理解數(shù)學”的觀點，很大程度反映在課堂教學的目標和實施過程中[5]。因此，教師在授課前就應深入思考數(shù)學中各個主題之間的互相聯(lián)系和基本思想，除此之外，還需要對學生的學習心理有較好的把握。在此前提下，TRU研究提出深度課堂教學的五個維度，包括數(shù)學內(nèi)容、認知需求、公平獲得、歸屬感和身份認同感，以及形成性評價[6]。TRU遵循培養(yǎng)學生用數(shù)學思考的原則，刻畫了數(shù)學深度課堂教學。從綜合的角度來看，如果課堂教學能夠按照這五個維度去設計或?qū)嵤敲磳W生在這樣有深度的學習環(huán)境下，將成為有學識、靈活和機智的思考者和學習者。從分析的角度來看，每個單獨的維度都是教師專業(yè)發(fā)展中應關(guān)注的焦點，在教師教育過程中，應專注于系統(tǒng)地改進每個維度。那么，怎樣闡釋這些維度的含義？如何將其應用于教學？以下將就這兩個問題具體分析。

三、TRU框架——有效課堂的要素

在數(shù)學課堂中進行什么樣的活動才能發(fā)展學生的數(shù)學能力？TRU認為優(yōu)秀的深度課堂教學在以下五方面為學生提供了好的學習環(huán)境，即數(shù)學內(nèi)容，認知需求，公平獲得，歸屬感和身份認同感，以及形成性評價。需要明確的是，TRU框架并不規(guī)定深度課堂中應該發(fā)生什么，因為教學無定法。TRU的五個維度僅提供有效課堂的參考和方向。

1.數(shù)學內(nèi)容

賦予學生數(shù)學思維是TRU的主要目標，學生在課堂上應體驗到連貫的、將有意義的解題過程和步驟符號化了的數(shù)學，而不是一系列被用來背誦的彼此孤立的事實、步驟和概念。例如，直角坐標系下直線的方程可表示為y=kx+b;Ax+By=C;

x/a+y/b=1，y-y0 / x-x0=m這幾種線性關(guān)系的不同形式，分別表示已知直線的任意兩個信息就可以決定其位置，互相之間能自由轉(zhuǎn)換。數(shù)學教學中需用聯(lián)系的觀點看待以突出知識的連貫性。這反映了深度教學從“知識點”走向“知識結(jié)構(gòu)”的基本理念[7]。

知識問題是深度課堂教學中的關(guān)鍵，“知其所以然”的課程內(nèi)容是必要前提。將數(shù)學知識作為需要死記硬背的步驟來教學，會導致學生的知識停留在淺層，思維固化等后果[8]。TRU提倡使數(shù)學知識深入而重點突出、具有連貫性和準確性，幫助學生理解數(shù)學實質(zhì)。

2.認知需求

教師在幫助學生處理任務時不能削弱重要的數(shù)學內(nèi)容，深度的數(shù)學課堂需滿足學生的認知需求。為此需找到平衡點，教師既能讓學生明白自己遇到了什么問題，又留下獨立思考的空間。深度教學的實現(xiàn)需經(jīng)歷問題解決、知識運用、開拓創(chuàng)新的過程，如果教師將數(shù)學知識“填鴨”似地教給學生，則不能使學生深刻理解數(shù)學或形成良好的數(shù)學思維習慣。

3.公平獲得

該維度聚焦于數(shù)學課堂活動是否能使學生都參與有意義的實踐。學生所獲數(shù)學成就的高低與他們的學習機會有關(guān)[9]。學習機會差異的一個主要來源是教師講授知識的不同方式，即課堂教學的不同深度。在數(shù)學課堂中誰有機會真正參與到數(shù)學活動？所有學生都常有機會討論數(shù)學觀點嗎？每個學生都有鍛煉或者展示自己的機會嗎？每個學生都能用現(xiàn)有的知識理解遇到的問題嗎[6]？好的教師會選擇并設計一些任務的切入點，鼓勵所有學生參與到挑戰(zhàn)性的數(shù)學活動中[10]。

4.身份認同感

TRU框架的第四方面涉及學生的數(shù)學氣質(zhì)和自我認同（Mathematical Dispositions and Identities），包括態(tài)度、信心、毅力、對數(shù)學的認識等。許多學生持有錯誤或消極的信念，如數(shù)學是被記憶而不是理解的，自己不擅長數(shù)學等[11]。深度教學關(guān)注學生的情感體驗，使學生在數(shù)學上認同自己，成為積極的數(shù)學思維者。

數(shù)學自我認同包括兩個方面，第一是自主性（agency），即個體做數(shù)學的意愿，源于認識到自己面對挑戰(zhàn)時取得的進展和對自己所得結(jié)論的信心。第二是權(quán)威性（ownership），指的是個體對自己推導的數(shù)學學科思想的自信。在賦予學生身份認同感的課堂中，教師能發(fā)現(xiàn)每個學生的優(yōu)勢并借此幫助學生參與到學習共同體中去。

5.形成性評價

形成性評價引發(fā)學生的思考和回應，重視出現(xiàn)的誤解，并要求教師有目的地設計任務以評估學生的理解程度，再利用這些信息塑造課堂活動[12，13]。教師在評估學生理解程度的同時也得到了改良教學方式的機會，其后續(xù)問題、任務以及“下一步如何做”都是為了更深層次的課堂教學目標。此過程中教師關(guān)注學生的理解，因材施教式地教學，就可形成“更清晰、更關(guān)注重點和更有效的”深度教學課堂了。實施形成性評價時，學生會被要求在反思中表達自己的想法和收獲，這將使學生理解更透徹并將新舊知識相聯(lián)系。

TRU框架全面概括了深度數(shù)學課堂應具備的屬性，五個維度彼此緊密聯(lián)系成一個整體，共同作用于挖掘教師數(shù)學教學的深度，以及學生思考能力的清晰、深入、全面、合理，如圖1。

數(shù)學內(nèi)容的選擇決定了是否滿足學生的認知需求，形成性評價是否具有好的切入點。公平獲得保證每個學生的數(shù)學身份認同感，認知需求以及恰當?shù)男纬尚栽u價確保了參與的意義。

四、TRU在數(shù)學深度教學中的應用

TRU在教學設計、課堂教學評價、教學研究等實踐環(huán)節(jié)中均有其價值。理論上如果課堂教學能按TRU的五個維度設計實施，學生將有可能成為淵博睿智的思考者和學習者。但如果這些教育理論不能以一線數(shù)學教師能夠接受的方式呈現(xiàn)，其價值就無法體現(xiàn)。因此以一線教師能夠?qū)嶋H操作的語言和方式應用TRU的理論具有重要意義。

1.作為改善教學設計的工具

課堂教學隨時代發(fā)展變化，沒有絕對正確的課堂教學方式。TRU框架從備課和反思圍繞教學設計提出相應的問題。首先在備課階段，教師需要依情況選擇教學內(nèi)容，TRU提供了一系列問題，以幫助教師審視對學生認知需求的滿足程度，如：為學生獲得重要思維提供了哪些機會？如何回應學生的努力并保證學生能發(fā)展自己的思維和理解？其次在反思階段，反思上一階段的完成度并繼續(xù)調(diào)整。TRU從各維度設計了有助于教師專業(yè)發(fā)展的工具，下表是身份認同感維度的工具。

2.作為聽課評課的工具

課堂觀察是教師提高專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑，相關(guān)反饋有助于教師認識自身得失，實現(xiàn)深度教學目標。課堂觀察的反饋可來自不同角度， TRU針對不同維度設計了課堂觀察表。以下為形成性評價的課堂觀察表（表2）：

為所有學生闡述理解提供了哪些機會？對建立已揭示的思想有哪些機會？教師或?qū)W生如何抓住這些機會？哪些方面可以進一步提高？

目標：持續(xù)靈活地提供一些技巧和活動，讓學生能表達他們新出現(xiàn)的理解，并通過重新思考誤解及建立有效的觀點加強學生的學習。

從上表可見，形成性評價的課堂觀察師生的課堂表現(xiàn)并提供建議。TRU的五個維度彼此聯(lián)系，觀察者可以將其他相關(guān)維度的評價列在表中。

綜上，TRU描述了有效課堂的屬性，提供了研究課堂教學的框架和工具。教師借此計劃和反思教學，在教學評價中尋求反饋，將促使數(shù)學課堂向深度教學發(fā)展，學生在這樣的課堂中能夠?qū)崿F(xiàn)更為清晰、深入、全面、合理的思考。

五、結(jié)語

TRU研究在追求培養(yǎng)學生數(shù)學思維習慣的宗旨下，致力于探究優(yōu)質(zhì)的深度教學課堂所具備的基本屬性。在多元文化的背景下，數(shù)學課堂具有多樣性，TRU在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，以培養(yǎng)學生數(shù)學地思維為出發(fā)點，體現(xiàn)了數(shù)學深度教學的目標。TRU將數(shù)學深度課堂的基本要素歸結(jié)于五個維度，并在某種程度證明了這個框架的完備性。這一思路類似于數(shù)學研究中的理性精神，將原本模糊復雜的系統(tǒng)，以結(jié)構(gòu)的角度更清晰地刻畫出來，使得深度課堂教學不再是令一線教師無法厘清的概念。

盡管TRU項目是在西方文化的背景下針對西方課堂進行的，但該研究得出的評價工具，是一線教師在改進深度課堂教學中能夠理解且容易達到的。歷史總是告誡著今人：文化的交融互鑒推動著人類的進步，創(chuàng)造出無限的機遇與希望;拒絕融合與交匯的文明，只能在閉鎖的環(huán)境中迎來滅亡。作為文化自信的大國，中國歷來對外來文化擁有強大的吸收能力與兼收并蓄的胸襟。對于中國的教育研究者來說，源自于西方的TRU用數(shù)學的理性和批判性思維去研究數(shù)學課堂，也是值得借鑒的方面。用于啟迪未來的智慧，如能照亮前路，則不需要顧忌其出處。在世界政治經(jīng)濟全球化，人類共同體逐漸成型，中國蓬勃發(fā)展、國力騰飛的今天，與時俱進地引入西方的TRU相關(guān)理論，將它與中國國情、教育界的現(xiàn)狀相結(jié)合，便可在數(shù)學乃至全學科的教學領(lǐng)域，擘畫出一幅美美與共、恢弘壯麗的全新圖卷。

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[作者：左浩德（1987-），男，江蘇揚州人，揚州大學數(shù)學科學學院，講師，博士;郭嬋嬋（1988-），陜西延安人，延安大學數(shù)學與計算機科學學院，講師，博士。]

【責任編輯 劉永慶】