高中數(shù)學教學中數(shù)學抽象的科學理解與操作辦法

付平

[摘? 要] 在高中數(shù)學教學中，數(shù)學抽象一直受到高度重視，甚至在數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六大要素當中，抽象被列為第一要素. 數(shù)學抽象的理解與操作有兩關鍵：一是要科學理解什么是數(shù)學抽象;二是要能夠建立起正確的數(shù)學抽象的操作辦法. 對數(shù)學抽象的理解，必須秉承辯證看待的思路，同時必須避免一些認識上的誤區(qū). 數(shù)學抽象的操作辦法是：創(chuàng)設情境，激發(fā)學生數(shù)學抽象的動機;借助數(shù)學思維，選擇數(shù)學工具，對數(shù)學研究對象進行數(shù)學抽象;運用數(shù)學知識對數(shù)學抽象的結果進行表征. 無論是從教師的角度還是從學生的角度，都應該對數(shù)學抽象進行深入的理解，這樣更加符合高中學生的認知特點與核心素養(yǎng)發(fā)展的需要.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;數(shù)學抽象;理解;實踐

當把數(shù)學研究的對象概括為空間形式和數(shù)量關系時，就意味著數(shù)學抽象在數(shù)學教學及其研究中有著不可輕視的基礎性地位;也因此在高中數(shù)學教學中，數(shù)學抽象一直受到高度重視，甚至在數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六大要素當中，抽象被列為第一要素. 站在學生的角度看數(shù)學抽象，可以發(fā)現(xiàn)通過高中數(shù)學課程的學習，學生能在情境中抽象出數(shù)學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗;養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁;運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題. 由此可以看出，數(shù)學抽象對于學生的學習而言功能巨大. 既然數(shù)學抽象是如此的重要，那么在核心素養(yǎng)的背景之下，高中數(shù)學的數(shù)學抽象教學應當如何進行呢？回答這個問題，筆者以為有兩關鍵：一是要科學理解什么是數(shù)學抽象;二是要能夠建立起正確的數(shù)學抽象的操作辦法. 本文就這兩個重要的話題，談談筆者一些淺顯的思考.

■數(shù)學抽象的科學理解

對數(shù)學抽象的理解，首先是建立在數(shù)學抽象的概念基礎之上的. 認識“數(shù)學抽象”首先要認識“抽象”，兩者之間是概念的隸屬關系. 所謂抽象，通常是指人在認識不同事物的過程中，基于一定的標準去舍棄事物的個別、非本質的屬性，并在此基礎上抽取出事物的本質屬性的過程和方法;相應的，數(shù)學抽象則是指人在研究事物的過程中，通過觀察與比較、分析與綜合，去除事物表象的、外部的、偶然的非數(shù)學的因素，并提出事物數(shù)學本質的、內(nèi)在的、必然的數(shù)學關系. 在此過程中要從空間形式和數(shù)量關系兩個角度去揭示、描述研究對象的數(shù)學本質和數(shù)學規(guī)律的研究方法. 無獨有偶的是，史寧中教授定義為“數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的一門科學”，認為不管是現(xiàn)實世界中，還是思維想象中的“數(shù)量關系和空間形式”都屬于數(shù)學研究的范疇，這表明數(shù)學抽象的基本特征是數(shù)量化和形式化. 對數(shù)學抽象的理解，筆者以為必須秉承辯證看待的思路，同時必須避免一些認識上的誤區(qū).

強調辯證看待，意思是指數(shù)學學習內(nèi)容一方面是抽象的，尤其是高中數(shù)學的知識體系，基本上都是數(shù)學抽象的結果，其直接表征方式都是抽象的數(shù)與形;另一方面，抽象的知識往往來自于形象的事物或者學生已經(jīng)熟悉了的知識基礎（其從形式的角度來看是抽象的，從學生認知熟悉程度的角度來看是形象的），在建立數(shù)學概念、規(guī)則或者規(guī)律的時候，往往都會經(jīng)由數(shù)學抽象的過程. 因此對于高中學生而言，數(shù)學知識的學習過程，實際上是一個從形象走向抽象的過程，亦即數(shù)學抽象過程.

強調要避免一些認識上的誤區(qū)，主要是為了避免“數(shù)學無用論”“數(shù)學抽象虛無論”. 在歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過“數(shù)學是數(shù)學家發(fā)明的一種脫離現(xiàn)實世界的思維游戲”這樣的認識，本質上這種認識就是對數(shù)學抽象的錯誤理解，上面其實已經(jīng)強調過：數(shù)學的形式是抽象的，但是數(shù)學知識的形成過程卻是以形象事物與形象思維為基礎的，抽象的數(shù)學知識最終也是運用于形象的生活事物的，因此數(shù)學抽象并不虛無.

■數(shù)學抽象的操作辦法

有了上述理解，到了具體的高中數(shù)學教學中，數(shù)學抽象的教學以及作為核心素養(yǎng)要素的落地，就必須尋找正確的操作方法. 對于數(shù)學抽象的情境需要與操作思路之間，有研究認為，數(shù)學教學重要的任務之一就是讓學生體驗數(shù)學抽象的過程，而這就需要教師建立對數(shù)學抽象的準確理解，并設計教學讓學生進入到數(shù)學抽象的情境之中. 在此基礎上，筆者進一步總結出的數(shù)學抽象的操作方法是：創(chuàng)設情境，激發(fā)學生數(shù)學抽象的動機;借助數(shù)學思維，選擇數(shù)學工具，對數(shù)學研究對象進行數(shù)學抽象，這是一個純化與創(chuàng)造、想象與推理的過程;運用數(shù)學知識對數(shù)學抽象的結果進行表征，表征不只是簡單的用數(shù)學語言描述自己的抽象結果，更多的是在數(shù)學抽象結果與數(shù)學語言之間尋找聯(lián)系，這就需要以準確理解數(shù)學語言為基礎，實際上就是需要以學生正確理解已有的數(shù)學概念或規(guī)律為基礎. 來看一個例子：

在“向量”這一知識的教學中，常規(guī)的教學是給學生舉出“既有大小又有方向的量”的例子，然后告訴學生“既有大小又有方向的量叫作向量”. 這樣的教學在邏輯上看不出多大的問題，因為這些例子本質上是根據(jù)向量的定義反推出來的;而從學生建構數(shù)學概念的角度來看，這樣的設計又過于線性，不能完全滿足學生的認知需要. 基于數(shù)學抽象素養(yǎng)落地的教學，筆者以為向量概念的建構可以這樣設計：

首先，創(chuàng)設情境，讓學生進行比較，并形成數(shù)學抽象的動機.

既然向量描述的是既有大小又有方向的量，那么生活中就應該存在只有大小沒有方向的量. 因此在創(chuàng)設情境的時候，可以將這兩種類型的量一同提供給學生，比如物理中的力、位移、速度、功、功率、時間、某一事物的數(shù)量等，然后讓學生去比較且進行分析，學生自然就可以從中提取出既有大小又有方向的量. 隨后問題也就來了：為什么這些量既有大小又有方向？很顯然，在描述這些量的特征的時候，方向這個要素就不可以回避，這個時候看力、速度等，就發(fā)現(xiàn)在生活中存在著一些事物需要同時從大小以及方向兩個角度進行描述. 于是，數(shù)學抽象的大門也就打開了.

其次，運用數(shù)學的學科思維完成數(shù)學抽象.

對于向量而言，從大小與方向的生活認知到數(shù)學概念的建立，顯然需要經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程. 從數(shù)學思想方法的角度來看，向量其實是一個典型的數(shù)形結合的產(chǎn)物，當然這里的數(shù)與形已經(jīng)是抽象后的產(chǎn)物. 需要指出的是，學生此時用的數(shù)學抽象實際上是強抽象，因為上述物理量或其他量學生雖然比較熟悉，但本身是比較抽象的，因此需要用強抽象來完成. 而且這里的抽象對象應當是包括向量和非向量的，學生通過抽象之后發(fā)現(xiàn)，有的量抽象的結果是只有“大小”，而有的則同時有“大小”和“方向”，這樣也就完成了數(shù)學抽象.

再次，用數(shù)學語言表述數(shù)學抽象的結果并形成數(shù)學概念.

學生完成了數(shù)學抽象，也就意味著學生的數(shù)學思維已經(jīng)邁過了一個重要的觀察，即學生的思維當中已經(jīng)有了抽象的結果. 有了這個結果之后，就必須進行輸出，輸出的過程就是用數(shù)學語言描述抽象結果的過程. 對于數(shù)學抽象而言，這個過程也非常重要，因為其涉及學生對數(shù)學概念的精確理解. 而且特別需要強調的是，這里所說的數(shù)學語言的運用不只是語言文字，根據(jù)筆者的經(jīng)驗，此時將語言文字與表象結合起來效果更佳，也就是說讓學生在口中描述“既有大小又有方向的量”時，大腦里面還必須能夠浮現(xiàn)出相應的數(shù)學圖景——一根有向線段，線段的長短表示向量的大小，箭頭的方向表示向量的方向. 這種圖文并茂的方式才是準確的數(shù)學語言運用.

■數(shù)學抽象的教學思考

作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)中最重要的要素之一，對數(shù)學抽象的教學奠定了數(shù)學教學的基礎，數(shù)學抽象的過程與結果質量，決定了學生學習過程的質量. 作為高中數(shù)學教師，對數(shù)學抽象的重視以及深入研究是非常必要的，這其中需要思考的問題有很多，比如當教師認識到數(shù)學中必然存在數(shù)學抽象時，有沒有思考過數(shù)學抽象的合理性呢？實際上早就有研究者指出，數(shù)學抽象的合理性是有所表現(xiàn)的：僅抽取事物對象量的關系和空間形式以及抽象的確定性，在數(shù)學教學中應注重貫徹這一特點的教學策略. 在上面的教學案例中，數(shù)學抽象的確定性體現(xiàn)在數(shù)學抽象結果的客觀性上，生活中存在向量是客觀的，用有向線段表示向量也是客觀的. 認識到數(shù)學抽象結果的客觀性，對于數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的落地非常有益，因為它可以讓學生認識到數(shù)學抽象的結果是真實可信的. 這種認識不是建立在“因為學習，所以可信”上，而是建立在自己的數(shù)學思維運用以及數(shù)學抽象素養(yǎng)落地的過程中的.

因此無論是從教師的角度還是從學生的角度，都應該對數(shù)學抽象進行深入的理解，并在教學實踐中求證自己的猜想，從而得以讓數(shù)學抽象的教學更加具有科學性，更加符合高中學生的認知特點與核心素養(yǎng)發(fā)展的需要.