有效教學(xué)從設(shè)計情景和提出問題開始

高書霞

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).任意角的概念對學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)至關(guān)重要.這節(jié)課就是設(shè)置合適的教學(xué)情境和提出有效的問題，從而達到有效教學(xué)的目的.

【關(guān)鍵詞】任意角;設(shè)計情景;有效教學(xué);數(shù)形結(jié)合

1 問題的提出與思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》指出，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要特別重視情景的創(chuàng)設(shè)和問題的提出.核心素養(yǎng)是在特定情境中表現(xiàn)出來的知識、能力和態(tài)度，只有通過合適的情境才有利于學(xué)生感悟和形成.設(shè)計情境和提出問題的根基是數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).概念教學(xué)的一個重要的方面就是將學(xué)生帶入問題中，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中主動構(gòu)建，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，體會科學(xué)研究的一般方法.教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)設(shè)、引領(lǐng)系列數(shù)學(xué)活動的問題情景，突出問題情景的啟發(fā)性，能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘系列數(shù)學(xué)活動開展的暗線，幫助學(xué)生形成知識系統(tǒng).

2 任意角的教學(xué)設(shè)計

2.1 學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了正負數(shù)與0還有0°～360°的角等相關(guān)概念，缺少對任意角概念的認知與思考.學(xué)生通過類比正負數(shù)與0的概念得到正角、負角、零角的概念，并通過實際情景在直角坐標(biāo)系中研究象限角、討論任意角以及終邊相同角集合的表示方法.學(xué)生知識儲備水平符合本節(jié)課的基本學(xué)習(xí)要求，學(xué)習(xí)內(nèi)容處于其最近發(fā)展區(qū).

2.2 教材內(nèi)容分析

“任意角”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4第1章第1節(jié)第1課時的內(nèi)容，是該冊的起始課.任意角的概念是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)，是突破學(xué)生對角的概念認知的關(guān)鍵內(nèi)容.本章教材的定位是展示對周期現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)研究的過程，即建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的思維過程.角的概念的推廣（從靜態(tài)到動態(tài)）是研究三角函數(shù)的后續(xù)課程的邏輯基礎(chǔ)，在這之中起著承上啟下的作用.學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過函數(shù)概念由靜態(tài)到動態(tài)的推廣，這對于角的概念的推廣有一定的幫助.角的概念在三角函數(shù)知識的發(fā)展過程中起著重要的作用，它決定著對三角函數(shù)的概念、性質(zhì)的理解和把握的深度和廣度.因此，準(zhǔn)確地理解任意角的概念對學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)至關(guān)重要.

2.3 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過觀察生活情境，了解任意角的概念，理解任意角引入的過程與原因.

（2）能進行終邊相同角的計算，提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

教學(xué)重點：任意角的概念、終邊相同角集合的表示方法.

教學(xué)難點：分類討論終邊相同角的問題，然后借助圖像分析其周期.

3 教學(xué)過程

3.1 新課引入

教師新課引入時可用這段話：自然界和生活中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，例如摩天輪的轉(zhuǎn)動，我們手表上時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動，這種按一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象，周期現(xiàn)象一般與周期運動有關(guān)，在這種周期變化的過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)角也在呈現(xiàn)周期性變化，為了更好地研究這種周期性變化，我們需要先來研究角的概念（教師在黑板上寫角的概念）.

問題1：首先我們回顧一下初中是如何定義角的.

問題2：說說我們以前遇到過哪些角.

問題3：用不等式表示我們已經(jīng)學(xué)過的角的范圍.

設(shè)計意圖 在引入時，一是通過對周而復(fù)始現(xiàn)象的介紹，為對周期性現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)研究而學(xué)習(xí)三角函數(shù);二是復(fù)習(xí)已學(xué)過的角的概念，喚醒學(xué)生對角的回憶，以學(xué)生頭腦中已有的具體的、直觀的知識為依托，為角的范圍擴大做好鋪墊.

3.2 探索新知

問題1：大家想一下在生活中我們有沒有遇到過超過360°的角.

情景1：在奧運會上觀看中國跳水運動員跳水片段慢動作，常出現(xiàn)向后翻騰兩周半、觀看體操比賽時出現(xiàn)了轉(zhuǎn)體720°這樣的動作名詞.

情景2：展示事先準(zhǔn)備好的紙質(zhì)鐘表模型

鬧鐘模型上的顯示時間為3：00，但是它快了一小時十五分，請一名學(xué)生演示校對過程并回答分針轉(zhuǎn)了多少度.

問題2：生活中存在大量超過360°的角，而且初中里的角的概念不能刻畫這些角了.這樣就需要我們對角的概念進行推廣，考慮前面的例子中的角都與旋轉(zhuǎn)有關(guān)，我們可否從旋轉(zhuǎn)的角度來定義角？說說你的看法.

問題3：如果時鐘慢了10分鐘，當(dāng)時間校準(zhǔn)后，分針轉(zhuǎn)了多少度？如果快了10分鐘，校準(zhǔn)后分針又轉(zhuǎn)了多少度？請問這兩次調(diào)整時轉(zhuǎn)過的角度是一樣的嘛？什么不一樣？（方向不一樣）生活中還有這樣的例子嗎？

問題4：生活中存在很多現(xiàn)象需要區(qū)分旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)里順時針、逆時針是互為相反方向，我們習(xí)慣用什么來描述這種相反意義的量呢？比如溫度？

設(shè)計意圖 中學(xué)數(shù)學(xué)中，許多概念，尤其是基本概念與現(xiàn)實生活有著緊密的聯(lián)系.創(chuàng)設(shè)情境可以喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生身處現(xiàn)實情境，親身體驗，并在感性認識的基礎(chǔ)上，理解任意角的概念.任意角的概念不僅體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)量，還要體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)方向.鐘表分針的旋轉(zhuǎn)可引導(dǎo)學(xué)生從動態(tài)的角度對角的概念進行推廣.

問題5：請大家畫出α=-150°（展示學(xué)生做的圖），請大家來看這兩個角，它們都是-150°，但是它們的角朝向、位置都不一樣，這利于我們研究問題嗎？

問題6：為了研究方便，我們可以把角放在直角坐標(biāo)系中進行研究，你覺得角的頂點放在哪里？角的始邊放在哪里？

練一練：在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出角-60°，60°，210°，420°.

（1）指出各是第幾象限角.

（2）觀察上述各角中有無終邊相同的角.

（3）你還能寫出與60°角終邊相同的角嗎？

從數(shù)的角度? ? ?從形的角度

-660°=（-2）·360°+60°60°角的終邊順時針旋轉(zhuǎn)2周;

-300°=（-1）·360°+60°60°角的終邊順時針旋轉(zhuǎn)1周;

60°=0·360°+60°60°角的終邊順時針旋轉(zhuǎn)0周;

420°=1·360°+60°60°角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)1周;

780°=2·360°+60°60°角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)2周;

k·360°+60°（k∈ Z）60°角的終邊逆（順）時針旋轉(zhuǎn)k周

問題7：我們把它推廣到一般，你認為怎樣表示與角α終邊相同的角？

師生共同總結(jié)得出：一般，與角α終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°+α，k∈ Z}.從數(shù)的角度：終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍.從形的角度：k>0時，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)k圈后角的終邊重合;k<0時，按順時針方向旋轉(zhuǎn)k圈后角的終邊重合;k=0時，角α終邊沒有轉(zhuǎn)動.

設(shè)計意圖 終邊相同的角的關(guān)系及其表示是本節(jié)課的難點，為突破這一難點，設(shè)置從易到難、從特殊到一般的問題串，引導(dǎo)學(xué)生由幾何位置之間的關(guān)系來探討其代數(shù)特征的“統(tǒng)一”.數(shù)形結(jié)合，借助于數(shù)學(xué)知識的載體，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)的思維思考問題.

3.3 鞏固新知

例1 判斷下列命題的真假：

（1）第一象限角一定不是負角.

（2）小于90°的角一定是銳角.

（3）鈍角一定是第二象限角.

（4）第一象限的角一定是銳角.

設(shè)計意圖 由例題，進一步理解角的概念，深化動態(tài)角的概念的推廣.當(dāng)講到（3）時還可以變式問：第二象限角是鈍角嗎？

例2 在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：650°，-480°，-970°.

設(shè)計意圖 進一步理解旋轉(zhuǎn)所成角，體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程的應(yīng)用性.學(xué)生在解答與-480°終邊相同的角時容易出錯，教師可以這樣引導(dǎo)：-480°比0°小，-480°就要加上360°得到-120°，滿足條件嗎？所以還要在加個360°，得到240°，240°滿足條件，因此，-480°=-2*360°+240°，因此-480°與240°終邊相同，所以-480°是第三象限角.

總結(jié)：只需將這些角表示成k·360°+α（k∈ Z，0°≤α<360°）的形式，然后根據(jù)α來確定它們所在的象限.

例3 已知α的終邊落在y軸的正半軸上，試探究 α 2是第幾象限角？

設(shè)計意圖 將 α[]2 寫成 k 2 ·360°+45°（k∈ Z），從數(shù)的角度對k進行奇偶討論，體會分類討論的思想;利用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)表達式中的“k·180°”在圖形上的周期變化規(guī)律，進行直觀判斷.

4 總結(jié)回顧

師生共同回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，歸納如下：

（1）知識結(jié)構(gòu)：將生活中實際遇到的角的問題，抽象出任意角（正角、負角、零角）象限角（終邊所在的象限）數(shù)形結(jié)合得到與角α終邊相同的角的集合S={β|β=k·360°+α，k∈ Z}.

（2）思想方法：靜態(tài)向動態(tài)擴充，形成任意角概念;為了方便研究，運用數(shù)形結(jié)合方法把角放到直角坐標(biāo)系里去研究;終邊相同的角不一定相同，運用數(shù)形結(jié)合方法劃歸為終邊相同的角的集合;對于k的討論確定第幾象限角，運用分類討論思想進行解答;對于周期性，借助數(shù)形結(jié)合來分析.

5 教學(xué)反思

5.1 設(shè)置情景，引入概念

教學(xué)活動具有極強的目的性，教師需要在課前預(yù)設(shè)教學(xué)情境和問題，預(yù)設(shè)課堂上可能的生成問題，在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)地整理和設(shè)計教學(xué)內(nèi)容.弗利德曼認為，成功的教學(xué)必須使學(xué)生掌握正確的和完全的導(dǎo)向系統(tǒng).

心理學(xué)家研究曾表示：概念的形成與概念的內(nèi)化是學(xué)生掌握概念的基本途徑.概念的形成往往來源于學(xué)生的具體實際經(jīng)歷，并在不斷比較與總結(jié)中明確概念的意義.而概念的內(nèi)化，則需要學(xué)生建立在概念形成的基礎(chǔ)上.學(xué)生只有通過加工已有認知水平中的知識經(jīng)驗，結(jié)合新概念的練習(xí)與綜合思考這個過程才能使得概念內(nèi)化.

概念教學(xué)中，教師不僅要重視學(xué)生對知識概念的理解和掌握，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生通過自我主動構(gòu)建經(jīng)歷概念的形成過程，體會隱藏在概念背后的數(shù)學(xué)思想方法.

5.2 設(shè)計問題，注重思維

鐘啟泉教授認為，在教學(xué)前，教師應(yīng)準(zhǔn)備好一個提問或者討論的框架，就是對教學(xué)要素和教學(xué)過程的合理的步驟預(yù)設(shè)，體現(xiàn)師生主體活動.

學(xué)生自主探究，并通過動手實踐、智力參與、主動體驗、合作交流等活動，“再創(chuàng)造”自己的數(shù)學(xué)意義和數(shù)學(xué)活動經(jīng) 驗，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為發(fā)展智力、提高一般科學(xué)研究能力奠定基礎(chǔ).

在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)計切合學(xué)生實際的情景和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使在問題解決的全過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

【參考文獻】

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