廣義勾股定理

周仲旺 孫建安

【摘要】眾所周知，勾股定理是針對(duì)直角三角形而言的，本文把勾股定理推廣到除等邊三角形以外的任意三角形，引入廣義勾股定理，使勾股數(shù)成為歷史，用它可以非常簡(jiǎn)單地判斷一個(gè)三角形是鈍角三角形、直角三角形還是銳角三角形.根據(jù)廣義勾股定理，引入三角形的秩、新正弦和新余弦，從而已知三角形的秩時(shí)，任意三角形都可以當(dāng)作直角三角形來解;不知三角形的秩時(shí)，也得到了解三角形的簡(jiǎn)捷方法，此時(shí)沒有必要像通常那樣使用正弦定理和余弦定理.最后，本文給出三角形的秩的幾何意義.

【關(guān)鍵詞】廣義勾股定理;三角形的秩;新正弦;新余弦

一、廣義勾股定理

定理1 對(duì)正實(shí)數(shù)a，b，c，若滿足a≤b2時(shí)，a，b，c構(gòu)成銳角三角形.

該定理可以看成廣義勾股定理，這樣，不光直角三角形才有勾股定理，除底邊小于等于腰的等腰三角形外，每個(gè)三角形都有一個(gè)勾股定理， 也就是說，除底邊小于等于腰的等腰三角形外， 每個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)大于等于 1的實(shí)數(shù)n，我們把這個(gè)實(shí)數(shù)n稱為三角形的秩.對(duì)于任意給定的大于1的實(shí)數(shù)n，秩為n的三角形有一族，像秩為2的（直角）三角形可以看成一族那樣，底邊小于腰的等腰三角形的秩是正無窮大，這樣的三角形顯然是銳角三角形（可以認(rèn)為它的秩大于2），它也構(gòu)成一族三角形，底邊等于腰的等腰三角形即等邊三角形，是唯一沒有秩的三角形，顯然，等邊三角形也可以看成一族，這一族含的三角形最少.任意三角形的秩都可以用Matlab算出來.根據(jù)這個(gè)定理，以a，b，（a3+b3） 1 3 為邊的三角形一定是銳角三角形，據(jù)此，對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)n≥1，能很容易地構(gòu)造出一個(gè)秩為n的三角形，反之，任意給定一個(gè)秩為n的三角形，都可以用這個(gè)方法構(gòu)造出來.

二、新正弦，新余弦

定義 對(duì)于秩為r的任意三角形ABC，設(shè)它的最大角為∠C，AB=c，BC=a，CA=b，定義較小銳角∠A的新正弦sin（r，A）= a c 、新余弦cos（r，A）= b c .注意，只有較小銳角才有新正弦、新余弦，顯然sinr（r，A）+cosr（r，A）=1.

定理2 對(duì)任意秩r>1和任意銳角α，它們的新正弦sin（r，α）、新余弦cos（r，α）存在且唯一.

證明 設(shè)△ABC的秩為r，AB=c，BC=a，CA=b，較小銳角∠A=α，最長(zhǎng)邊是c.根據(jù)余弦定理，得a=（b2+c2-2bccos α） 1 2 ，因?yàn)椤鰽BC的秩是r，所以br+（b2+c2-2bccos α） r 2 -cr=0.令函數(shù)f（x）=xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1，只要證明這個(gè)函數(shù)在（0，1）中有唯一零點(diǎn)，那么定理成立.可知f（0）=0，f（1）=2sin α 2 r>0，經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算，可得f′（x）=rxr-1+r（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ， 當(dāng)x≥cos α?xí)r，f′（x）>0.令g（x）=xr-1+（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ，則g（0）=-cos α<0，g（cos α）=（cos α）r-1>0，令h（x）=（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ，則h′（x）=（x2-2xcos α+1） r-2 2 -1（x2-2xcos α+1+（r-2）（x-cos α）2），容易算出k（x）=x2-2xcos α+1+（r-2）（x-cos α）2在[0，cos α]上的最小值是sin2α，所以在（0，cos α）上，k（x）>0，h′（x）>0，g′（x）>0，所以在（0，cos α）上g（x） 必有唯一零點(diǎn)x0，這樣，在（0，x0） 上f′（x）<0，在 （x0，1）上f′（x）>0，所以f（x0）<0，且在（0，1）上函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)，定理證畢.

根據(jù)這個(gè)定理可知，方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0在（0，1）上的唯一解就是cos（r，α），所以cos（r，α）由r，α唯一確定，顯然cos（r，α）可以用Matlab算出來.又cos（2，α）=cos α，sin（2，α）=sin α，于是新余弦、新正弦是余弦、正弦的推廣.對(duì)給定的秩r>1，cos（r，α）是α的一元函數(shù)，這是一個(gè)新函數(shù).

在經(jīng)典理論中，銳角α的余弦表面上是直角三角形的銳角α的鄰邊與最長(zhǎng)邊（斜邊）之比，實(shí)質(zhì)上，這個(gè)余弦cos（2，α）被直角三角形的秩2和這個(gè)銳角α唯一確定.同樣的，表面上新余弦是三角形的較小銳角的鄰邊與最長(zhǎng)邊之比，實(shí)質(zhì)上，這個(gè)新余弦cos（r，α）被三角形的秩r和這個(gè)較小銳角α唯一確定，這樣，引進(jìn)三角形的秩后，新余弦就有意義了，新正弦自然也就有意義了.

三、解三角形的簡(jiǎn)捷方法

根據(jù)定理1和定理2，三角形的秩和它的較小角唯一確定較小角的新余弦，反過來，三角形的較小角和較小角的新余弦唯一確定它的秩.這樣我們可以提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)用表，這個(gè)表表示的是秩、角、新余（正）弦及其關(guān)系（已知這三者中的兩者能用計(jì)算機(jī)通過已寫好的表而不是通過方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0查出第三者，當(dāng)然，這個(gè)表是根據(jù)方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0提出的），已知秩可以查出較小角的新余弦，已知較小角的新余弦可以查出秩，已知秩和新余弦又可以查出較小角，而較小角的新余弦是較小角相鄰的短邊與長(zhǎng)邊之比，所以很好求，這樣求三角形的秩就不難了，一旦求出三角形的秩，解三角形就可以像解直角三角形那樣.現(xiàn)舉例說明如下.

例1 設(shè)△ABC的秩是3，AC=3，BC=4，試求它的最長(zhǎng)邊AB.

解 AB3=AC3+BC3=33+43=91，所以最長(zhǎng)邊AB≈4.498.顯然4.498<5，故這個(gè)三角形是銳角三角形.

假如要求這個(gè)三角形的三個(gè)角，只要有個(gè)新數(shù)學(xué)用表，求出新余弦后查表就行了.

例2 設(shè)△ABC的秩是4，∠A= π 6 ≈0.52，最長(zhǎng)邊AB=6，試求這個(gè)三角形的另外兩邊AC，BC，另外兩角∠B，∠C和這個(gè)三角形的面積.

sin B= AC BC sin A≈ 5.8932 2×3.078 ≈0.9573，∠B≈1.28.

事實(shí)上，這里cos（4，B）= BC AB ≈0.513.

如果有新數(shù)學(xué)用表，就可以直接查出∠B，不必用正弦定理，這樣多簡(jiǎn)單！

∠C=π-∠A-∠B≈3.14-0.52-1.28=1.34.

例3 設(shè)△ABC的秩是4，∠A= π 6 ≈0.52 ，試求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)角∠B，∠C.

當(dāng)已知兩邊一夾角且夾角小于60°時(shí)，基本上查表就能解三角形.當(dāng)夾角大于60°時(shí)，若這個(gè)夾角的余弦大于這兩邊中的短邊與長(zhǎng)邊的2倍之比，也可直接查表解決;若這個(gè)夾角的余弦小于這兩邊中的短邊與長(zhǎng)邊的2倍之比，就不能直接使用查表的方法，因?yàn)檫@時(shí)這個(gè)夾角是三角形的最大角，它沒有新余弦.只要已知三角形的最大邊和另一邊及較小角，就可直接使用查表的方法解三角形，但已知兩邊一角的其他情況就不能使用本方法，因?yàn)橹挥休^小角才有新余弦.當(dāng)已知三角形三邊時(shí)，可以先用Matlab求出它的秩，然后查表得它的兩個(gè)較小角，不必用余弦定理.

綜上所述，引進(jìn)三角形的秩后，若已知三角形的兩角一邊、兩邊一角或者三邊，解三角形多數(shù)情況下查表就行，這比用正弦定理、余弦定理簡(jiǎn)便得多.通常的直角三角形很好解，只不過這是三角形的秩等于2這一特殊情況，已知三角形的秩，解三角形就和解直角三角形一樣.由此可見三角形秩的重要作用.事實(shí)上，在方程ax+bx=cx中，指數(shù)x無論取何值，其作用當(dāng)然一樣，經(jīng)典理論只是研究了x=2這一特殊情況，而本文發(fā)起并初步研究了一般情況.

本文提出的解三角形的方法，復(fù)雜的地方就是在方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0上，其他地方都非常簡(jiǎn)單，把這個(gè)比較復(fù)雜的方程交給計(jì)算機(jī)來處理后，就凸現(xiàn)出本文方法的優(yōu)越性了，這也是計(jì)算機(jī)的用途之一.其實(shí)，混合使用三角形的秩、正弦定理、余弦定理研究三角形更好.

四、三角形秩的幾何意義

已知秩為r的三角形最大角∠C的兩鄰邊為a，b（a>b），∠C的余弦cos C= a2+b2-（ar+br） 2 r? 2ab =f（r），f′（r）= （ar+br） 2 r -1 abr2 arln ar+br ar +brln? ar+br br>0，所以r越大，cos C越大，∠C越小.三角形秩的幾何意義是：當(dāng)秩等于1時(shí)，三角形的兩邊a，b的夾角最大，是180°，隨著秩的增大，三角形的兩邊a，b夾的三角形的最大角逐漸變小，當(dāng)秩趨向于正無窮大時(shí)，三角形趨向于一個(gè)以a為腰、以b為底的等腰三角形，這時(shí)三角形的兩邊a，b夾的三角形的最大角達(dá)到最小，若底邊再等于腰，三角形的最大角達(dá)到最小值60°.也就是說：以三角形最大角對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為圓心、以最小邊為半徑畫個(gè)圓，當(dāng)最小邊的另一端點(diǎn)在這個(gè)圓上移動(dòng)且三角形的其他兩頂點(diǎn)固定時(shí)，這樣得到的鈍角三角形占這個(gè)圓的 1[]4 ，而銳角三角形至多占這個(gè)圓的 1[]12 .從這個(gè)意義上說，鈍角三角形比銳角三角形多，盡管鈍角三角形比銳角三角形多，可鈍角三角形的秩在區(qū)間（1，2）上，而銳角三角形的秩在區(qū)間（2，+∞）上.

根據(jù)上面的分析，我們可以用三角形的秩判斷三角形的形狀，即三角形的秩越小越接近于平角三角形，秩越大越接近于等腰三角形.例如：秩為1.01的三角形非常細(xì)長(zhǎng)，基本上是平角三角形，直角三角形的秩為2，秩比較大，它就比較接近等腰三角形，秩為9的三角形基本上是等腰三角形.三角形的秩反映的三角形的這一特性從例1、例2、例4也能看出來，因?yàn)檫@三個(gè)例題中的三角形的秩都比較大.

五、結(jié)束語(yǔ)

勾股定理被推廣后，任意三個(gè)不全相等的正數(shù)，只要能構(gòu)成三角形就是勾股數(shù)，所以所謂的勾股數(shù)將成為歷史.勾股定理太狹窄了，廣義勾股定理把勾股定理擴(kuò)大化了.勾股定理主要研究直的、研究距離，廣義勾股定理能研究斜的，其應(yīng)用請(qǐng)大家研究思考.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）：第4版[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]劉玉璉，等.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)）：第5版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）：第5版[M].北京：高等教育出版社，2019.