數(shù)學(xué)建模思想融入新工科數(shù)學(xué)教學(xué)的探索

孟新友

【摘要】在當(dāng)前各高校大力發(fā)展新工科的形勢(shì)下，本文分析了將數(shù)學(xué)建模思想融進(jìn)新工科數(shù)學(xué)教學(xué)過程的必要性，進(jìn)而分別探討了在新工科數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中如何融入建模思想所涉及的內(nèi)容和方法.

【關(guān)鍵詞】新工科數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模思想;教學(xué);創(chuàng)新能力

【基金項(xiàng)目】2017年甘肅省高校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目，2018年蘭州理工大學(xué)高等教育研究項(xiàng)目.

當(dāng)今世界，數(shù)學(xué)這一重要的基礎(chǔ)學(xué)科已在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，其發(fā)揮的作用也產(chǎn)生了巨大效應(yīng)，很多新設(shè)備、新技術(shù)的研制與開發(fā)都是在一定的數(shù)學(xué)模型指引下實(shí)現(xiàn)的[1].近年來，從“天大行動(dòng)”到“復(fù)旦共識(shí)”再到教育部辦公廳關(guān)于召開“六卓越一拔尖”計(jì)劃2.0啟動(dòng)大會(huì)，“新工科”的概念迅速引起了高等教育界的普遍重視.工科數(shù)學(xué)課程一般有高等數(shù)學(xué)、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和線性代數(shù)三門課程，其概念、性質(zhì)、定理等是比較抽象的，其高難度讓學(xué)生有“學(xué)無用武之地”的想法，感受不到高深的理論在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)建模是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實(shí)中各種實(shí)際問題的方法.新工科數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想符合高校數(shù)學(xué)改革的要求.

1 新工科數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的必要性

在面對(duì)在經(jīng)濟(jì)全球化中數(shù)學(xué)科技的重要性凸顯的情境下，陳舊的數(shù)學(xué)類課程理論教學(xué)難以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果[2].表現(xiàn)為：“粉筆+黑板”的授課方式傳遞的信息量不大;教學(xué)手段單一、枯燥;有些內(nèi)容不能很好地表達(dá)，學(xué)生不易理解;列舉的事例還是在古典幾何、物理中的應(yīng)用，沒有展示數(shù)學(xué)在當(dāng)前工程中的應(yīng)用.這樣挫傷了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和激情，影響了后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和專業(yè)素質(zhì)的養(yǎng)成.

數(shù)學(xué)建模是在數(shù)學(xué)理論知識(shí)與實(shí)際問題之間架設(shè)橋梁的一項(xiàng)創(chuàng)造性活動(dòng)，是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步.數(shù)學(xué)建模也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)后對(duì)所學(xué)知識(shí)的一種檢驗(yàn)和運(yùn)用的課程.模型的建立，不僅能解決生物、環(huán)境、地質(zhì)、軍事、人口等方面的問題，還能解決醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、金融等方面的研究問題數(shù)學(xué)建模是提高學(xué)生專業(yè)素質(zhì)、檢驗(yàn)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)能力的一門學(xué)科[3].由于數(shù)學(xué)建模涉及的范圍比較廣，所以在新工科數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，師生均能受益.

一方面，新工科數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必然要求.為了適應(yīng)新工科專業(yè)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的要求，工科數(shù)學(xué)教學(xué)必須進(jìn)行改革，改變應(yīng)試模式，著力培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合能力.在新工科數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想成為當(dāng)前高校教學(xué)創(chuàng)新改革的一個(gè)重要方面.建模過程就是運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法分析并解決實(shí)際問題的過程[4].

另一方面，新工科數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的必然要求.當(dāng)今，新技術(shù)、新產(chǎn)業(yè)、新業(yè)態(tài)發(fā)展快速，急需與之相適應(yīng)的具有創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的綜合型人才.這樣，新時(shí)代下大學(xué)工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)就需要做出相應(yīng)的變革和調(diào)整.一方面，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的基礎(chǔ)，在當(dāng)前專業(yè)認(rèn)證和新工科培養(yǎng)方案中都提出了“會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維、方法解決復(fù)雜的工程問題”這樣的培養(yǎng)人才目標(biāo).數(shù)學(xué)建模是把實(shí)際問題先抽象成數(shù)學(xué)模型，再將求解所得的結(jié)果解釋源問題，即“實(shí)踐—抽象—實(shí)踐”的過程[6].在整個(gè)建模過程中，提升了大學(xué)生的積極性，鍛煉了大學(xué)生對(duì)問題的提出、分析和解決能力.另一方面，數(shù)學(xué)建模有助于培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新能力.大學(xué)是創(chuàng)新人才培養(yǎng)的基地，而創(chuàng)新人才培養(yǎng)的核心是創(chuàng)新思想、創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).創(chuàng)新能力是指?jìng)€(gè)體運(yùn)用自己掌握的一切信息、知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生某種獨(dú)特、新穎、有價(jià)值的成果或作品的能力[7].數(shù)學(xué)建模所給問題的結(jié)論具有不確定性，學(xué)生可以靈活地使用不同的方法從不同的維度構(gòu)造自己的數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模本身就是一個(gè)創(chuàng)造性的思維過程，其內(nèi)容取材于實(shí)際、方法結(jié)合于實(shí)際、結(jié)果應(yīng)用于實(shí)際.這樣激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造力，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)和探索精神.

2 新工科數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)容探討

在新工科數(shù)學(xué)教材內(nèi)容方面，加強(qiáng)以數(shù)學(xué)建模為中心的課程體系建設(shè)，適當(dāng)?shù)卦黾咏０咐{(diào)整應(yīng)用問題在整個(gè)體系中所占的比重.在教學(xué)計(jì)劃上，少量增加一些建模的學(xué)時(shí).隨著數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB，MAPLE）的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，講授中弱化計(jì)算技巧，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練.特別在低年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)工科數(shù)學(xué)時(shí)，并不是簡(jiǎn)單地將“數(shù)學(xué)模型”的部分內(nèi)容加入數(shù)學(xué)類課程，而是將數(shù)學(xué)建模思想融入優(yōu)化后的課程內(nèi)容，通過講授基于實(shí)際問題的內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地分析問題和解決問題的初步創(chuàng)新實(shí)踐能力[8].一些具體的結(jié)合課程的做法如下：

（1）將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué).高等數(shù)學(xué)是工科專業(yè)培養(yǎng)方案里具有非常重要地位的公共基礎(chǔ)課.在新工科數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中適當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)建模思想，介紹概念、定理產(chǎn)生的背景和應(yīng)用[6].例如，利用零點(diǎn)定理可以證明“一把四條腿等長(zhǎng)的椅子可以在凹凸不平的地方上放穩(wěn)”這一生活現(xiàn)象.在引入定積分定義時(shí)先提出問題“怎樣計(jì)算變速直線運(yùn)動(dòng)的路程”，接著引導(dǎo)學(xué)生建立模型及求解，同時(shí)引出定積分的概念，并歸納出“大化小，常代變，近似和，取極限”的思想;最后利用此思想去解決計(jì)算不規(guī)則平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等其他問題[9].求解帶約束的最優(yōu)化問題，一般處理的手段就是將給出的約束加入目標(biāo)函數(shù)中，從而轉(zhuǎn)換為無約束問題求解，最終逼近最優(yōu)解.在教材中，給出了經(jīng)典的求解方法——拉格朗日乘數(shù)法.然而在實(shí)際問題中，往往存在一些不等式的約束條件及乘子為函數(shù)的情形，由此引出二次懲罰方法、非平滑懲罰方法及增廣拉格朗日方法.進(jìn)一步，如果變量個(gè)數(shù)比較多的時(shí)候，需要借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件或者編程語言編程進(jìn)行求解，比如數(shù)學(xué)軟件MATLAB，PYTHON，LINGO.

（2）將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程的教學(xué).線性代數(shù)課程具有抽象性，學(xué)生難以理解和學(xué)習(xí).將數(shù)學(xué)建模思想引入后，能夠更好地幫助學(xué)生深入理解線性代數(shù)中的概念和問題，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度[10].線性代數(shù)的知識(shí)廣泛地應(yīng)用在控制論、密碼學(xué)等領(lǐng)域，然而講授中很少舉出有意思的應(yīng)用事例.教師可選擇簡(jiǎn)單、直觀并且與知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)建模案例，使學(xué)生感受到獲取知識(shí)的樂趣[6].比如，學(xué)生學(xué)習(xí)并理解了矩陣的特征值與特征向量后，教師可以引入“人口受教育程度的依賴性”這樣的實(shí)例教學(xué)[11]，也可以利用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出，抽象歸納其運(yùn)算規(guī)則，進(jìn)而得到矩陣乘法的數(shù)學(xué)模型，也就是矩陣乘法的定義.當(dāng)然也可以列舉以信息檢索為背景，利用給定的信息簡(jiǎn)化構(gòu)造矩陣模型，進(jìn)而結(jié)合矩陣乘法的規(guī)則解決實(shí)際問題.這種逐漸培養(yǎng)學(xué)生建模思想的方式，不僅訓(xùn)練了學(xué)生將實(shí)際問題“翻譯”為數(shù)學(xué)問題的能力，還提升了學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣.

另外，對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生，教師課前準(zhǔn)備不一樣的建模案例，案例以專業(yè)性問題為背景，然后引出相關(guān)概念.在線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，將關(guān)鍵問題列為課程教學(xué)的要點(diǎn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生如何用數(shù)學(xué)建模思維獲得專業(yè)相關(guān)問題的解決辦法，從而建立起該課程的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，有助于學(xué)生加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)的掌握和理解.以計(jì)算機(jī)相關(guān)的新工科專業(yè)為例，挖掘計(jì)算機(jī)中與線性代數(shù)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn).如利用圖像變換問題設(shè)計(jì)矩陣運(yùn)算教學(xué);利用手機(jī)鎖屏人臉識(shí)別問題設(shè)計(jì)向量組的線性組合與矩陣特征值、特征向量的教學(xué);利用人工智能機(jī)器學(xué)習(xí)問題設(shè)計(jì)二次型和正定矩陣[12].可以利用線性代數(shù)計(jì)算的特征，比如高維矩陣及逆矩陣的計(jì)算量大，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件（比如MATLAB）來完成相關(guān)運(yùn)算.這樣，將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程教學(xué)中，一方面提高了學(xué)生使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性;另一方面通過對(duì)軟件運(yùn)行算法展示和結(jié)果剖析，幫助學(xué)生理解信息技術(shù)應(yīng)用過程中看似“不可知”的原理[12].

（3）將數(shù)學(xué)建模思想融入概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué).生活中存在著大量與概率密切相關(guān)的事例.例如，由簡(jiǎn)單的擲骰子、拋硬幣問題拓展到生活中的彩票中獎(jiǎng)[10].利用“賭金分配”數(shù)學(xué)模型將“加權(quán)平均數(shù)”引入“數(shù)學(xué)期望”概念的講解中，使學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到“數(shù)學(xué)期望”與“均值”之間的對(duì)等關(guān)系[13].由于該課程一般會(huì)涉及古典概型、伯努利概型及幾何概型等抽象概型，所以可以利用實(shí)際問題指導(dǎo)學(xué)生如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在建模過程中逐步完成某一概型的應(yīng)用.如在幾何概型的教學(xué)中，引入“會(huì)面問題”，即兩個(gè)要約會(huì)的人，怎樣才能永不相見[12]？在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)生活中的隨機(jī)現(xiàn)象做分析.比如，借助淘寶平臺(tái)公開的近年來的“11.11”銷售數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)下一年的銷售額.

3 新工科數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的方法探討

在改進(jìn)教學(xué)方式方面，可以在講授理論知識(shí)的同時(shí)引進(jìn)個(gè)別經(jīng)典模型，增加課堂教學(xué)的趣味性.教學(xué)目的由“傳授知識(shí)”向“培養(yǎng)能力”轉(zhuǎn)變.上課前，教師準(zhǔn)備若干個(gè)與知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的事例，課堂上留給學(xué)生解決;授課方式由“單一型”向“多樣化”轉(zhuǎn)變，設(shè)計(jì)課堂討論，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與.另外，可以采用啟發(fā)式教學(xué)，即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合已經(jīng)具備的知識(shí)和理論，利用數(shù)學(xué)建模思想自己獨(dú)立或者組成建模團(tuán)隊(duì)建立其相應(yīng)的模型，并求解與分析，從而獲得問題的答案.還可采用案例教學(xué)法，即通過引入案例、解決案例來逐漸引導(dǎo)出抽象的概念、定理與理論[14].

在教學(xué)手段方面，可以借助多媒體的直觀化、多樣化、現(xiàn)代化來輔助教學(xué)，提升有限時(shí)間內(nèi)課內(nèi)教學(xué)的信息量.課外可以建立突破地域限制、交互性強(qiáng)、靈活度高等的網(wǎng)絡(luò)課堂，特別在疫情期間教師都掌握了線上教學(xué)與錄制視頻的技術(shù)，這樣教師把教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)的講解、有趣的建模案例等內(nèi)容錄制成短視頻，上傳到學(xué)習(xí)通、騰訊課堂等在線教學(xué)平臺(tái)與自建網(wǎng)絡(luò)教學(xué)空間，方便學(xué)生自由地在線自學(xué)，并可以隨時(shí)查看和跟蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況;同時(shí)利用QQ群、微信網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)在線答疑與交流，具有較強(qiáng)的可操作性.另外，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生自學(xué)相關(guān)的計(jì)算機(jī)編程和現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件，特別是鼓勵(lì)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件自己實(shí)踐數(shù)學(xué)類課程中一些重要的知識(shí)點(diǎn)，這樣有助于學(xué)生加深對(duì)理論知識(shí)的理解、理論知識(shí)與應(yīng)用結(jié)合，也體現(xiàn)了現(xiàn)代社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才的要求.

在考核評(píng)價(jià)方面，在平時(shí)月考及期末閉卷測(cè)試中加入有意義的應(yīng)用題目;還可以讓學(xué)生自由組隊(duì)，如同數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽那樣，針對(duì)給出的具體問題提交一份論文[2].比如，在講解完一階常微分方程后，補(bǔ)充傳染病模型，然后將學(xué)生分成若干個(gè)隊(duì)伍，每一個(gè)隊(duì)伍3～5人;讓學(xué)生查詢某一個(gè)國(guó)家或者地區(qū)過去一段時(shí)間患病的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并建立模型做出預(yù)測(cè).另外，鼓勵(lì)學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，并實(shí)行“加分”政策，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的認(rèn)知.

4 結(jié)束語

在新工科數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，有利于學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)理論、高效的方法和復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來，有利于學(xué)生將數(shù)學(xué)的“學(xué)”與“用”有機(jī)結(jié)合起來，有利于將夯實(shí)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)和提高學(xué)生綜合素質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新實(shí)踐能力有機(jī)結(jié)合起來.在當(dāng)前時(shí)代急需新工科人才的環(huán)境下，新工科數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，不但激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且有助于推進(jìn)新工科數(shù)學(xué)教育的改革，從而提升人才培養(yǎng)的質(zhì)量.

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