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    小議分式方程“增根”與“無(wú)解”

    2020-01-16 07:40:50江慎軍
    關(guān)鍵詞:產(chǎn)生原因

    江慎軍

    【摘要】伴隨著教改活動(dòng)的全面開(kāi)展.初中學(xué)段數(shù)學(xué)課程的教改活動(dòng)也在全面開(kāi)展.解分式方程屬于初中學(xué)段數(shù)學(xué)課程中數(shù)與代數(shù)部分較為關(guān)鍵的組成要素,在中考中的占比也較高,所以,一定要對(duì)分式方程的教學(xué)進(jìn)行探析與研究.通常在對(duì)分式方程進(jìn)行解答的時(shí)候,由于需要將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,要在方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母,可是有時(shí)解得的未知數(shù)的值會(huì)使原分式方程中分式分母為零而無(wú)意義,這時(shí)方程會(huì)產(chǎn)生增根,原方程無(wú)解.由于學(xué)生對(duì)增根和無(wú)解兩個(gè)概念理解不到位、不透徹,導(dǎo)致解決方程有增根或方程無(wú)解之類題目時(shí)出現(xiàn)困難,出錯(cuò)率較高.所以本文通過(guò)例題講解與拓展應(yīng)用的形式,分析了分式方程增根產(chǎn)生的原因、分式方程增根與無(wú)解的區(qū)別,對(duì)增根與無(wú)解的相關(guān)習(xí)題進(jìn)行了較為詳細(xì)的闡述,加深了對(duì)兩個(gè)概念的理解.通過(guò)本文的探究,可增強(qiáng)學(xué)生解決增根、無(wú)解相關(guān)習(xí)題的能力.

    【關(guān)鍵詞】分式方程的增根;產(chǎn)生原因;增根與無(wú)解的區(qū)別;拓展應(yīng)用

    基于最近幾年中考數(shù)學(xué)題目的探析能夠獲悉,關(guān)于分式方程這一知識(shí)點(diǎn)的考查,除了解分式方程、列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題外,試卷中也會(huì)頻繁出現(xiàn)分式方程無(wú)解、有增根的題型.對(duì)于告知分式方程無(wú)解、有增根,進(jìn)而求原分式方程中一些字母參數(shù)的取值問(wèn)題,學(xué)生往往會(huì)產(chǎn)生畏難情緒,不會(huì)解,出錯(cuò)多,或無(wú)從下手,這樣的情況會(huì)耗損學(xué)生很多時(shí)間與精力.如果在日常解題練習(xí)中能夠?qū)Ψ质椒匠虩o(wú)解、有增根的概念理解正確,就能夠提升學(xué)生的解題質(zhì)量與成效,讓學(xué)生對(duì)題目有更清晰的認(rèn)知,考試中才能節(jié)省大量時(shí)間對(duì)其他問(wèn)題進(jìn)行有效解決.本文從幾個(gè)方面分析了分式方程的“增根”與“無(wú)解”,相信能夠幫助學(xué)生正確理解,熟練掌握,提高解題能力.

    一、增根是如何產(chǎn)生的

    分式方程中的增根、無(wú)解屬于較為常見(jiàn)的內(nèi)容,學(xué)生在學(xué)習(xí)了分式方程的相關(guān)知識(shí)以后,時(shí)常會(huì)將兩個(gè)概念弄混,認(rèn)為分式方程解答過(guò)程當(dāng)中的無(wú)解與增根是一回事,然而實(shí)際上并非如此.解分式方程的基本思路是利用轉(zhuǎn)化的思想,根據(jù)等式的基本性質(zhì),在分式方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,如果在方程兩邊同乘了一個(gè)使分母為零的整式,就會(huì)產(chǎn)生增根.

    分式方程中,如果分式中分母的值為零,分式就沒(méi)有意義.分式方程本身隱含著分母不為零的條件,當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后,這種限制就被取消了,也就是說(shuō),未知數(shù)取值范圍被擴(kuò)大了.若整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值,那么就會(huì)出現(xiàn)增根,即增根產(chǎn)生的原因就是去分母的時(shí)候兩邊同時(shí)乘以0了,致使未知數(shù)的數(shù)值范圍被拓展了.

    對(duì)于上面這些語(yǔ)言文字的解釋,部分學(xué)生可能不易理解,下面通過(guò)一道例題的兩種解法來(lái)體會(huì)一下產(chǎn)生增根的原因.

    當(dāng)x=2時(shí),分式方程的分母為0,則方程無(wú)解.

    解法一是利用分式的通分、約分來(lái)解,約分過(guò)程本身就是在分式分母不能為零的前提條件下進(jìn)行的,所以這種解法找不到一個(gè)x的值使 1-x x-2 = 1 2-x -2成立,說(shuō)明原方程根本不成立.

    解法二是利用等式的基本性質(zhì),方程兩邊都乘x-2,從而去掉分式方程的分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,而這一操作恰好是在方程兩邊同乘了0,使得原方程成立.此時(shí)x=2使原分式方程中分式的分母為零,所以x=2是分式方程經(jīng)過(guò)去分母轉(zhuǎn)化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根,是產(chǎn)生的增根.

    通過(guò)兩種解法對(duì)比,相信學(xué)生會(huì)對(duì)增根產(chǎn)生的原因更加明白,理解上變得容易、深刻.

    二、分式方程增根與無(wú)解的區(qū)別

    將分式方程增根和無(wú)解之間存在的區(qū)別與聯(lián)系進(jìn)行明確,有助于提升分式方程解答的正確性,在方程解是否正確的判斷方面具有極為重要的指導(dǎo)意義.

    1.分式方程有增根:解方程時(shí),把分式方程通過(guò)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過(guò)程中,根據(jù)等式的基本性質(zhì),方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式,從而把未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大,此時(shí)解出的未知數(shù)的值有可能使原分式方程的分母為零.

    2.分式方程無(wú)解:未知數(shù)無(wú)論取何值,方程兩邊的值都不相等,包含以下兩種情況.

    (1)原分式方程經(jīng)過(guò)去分母轉(zhuǎn)化成的整式方程無(wú)解.

    例3 解方程: x-1 x+2 = 3-x 2+x +2.

    解 兩邊都乘x+2,得

    x-1=3-x+2(x+2),

    解得-1=7.

    ∵此一元一次方程無(wú)解,

    ∴原分式方程無(wú)解.

    (2)原分式方程經(jīng)過(guò)去分母轉(zhuǎn)化后的整式方程有解,但這個(gè)未知數(shù)的值使原分式方程的分母為零,它是原方程的增根,從而原方程無(wú)解.(此種情況如例2)

    3.分式方程無(wú)解,但不一定就一定有增根.

    如上面例3,分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后,整式方程本身就無(wú)解,當(dāng)然原分式方程就無(wú)解了,但這種情況下分式方程沒(méi)有產(chǎn)生增根.

    4.分式方程有增根,但分式方程不一定無(wú)解.

    例4 解方程: x-5 x2-1 + 2 x-1 =1.

    解 兩邊都乘x2-1,得

    經(jīng)檢驗(yàn),x=1是增根,x=2是原分式方程的解.

    當(dāng)然,初中階段不考查例4這種類型的分式方程,即把分式方程去分母后轉(zhuǎn)化成了一元二次方程.

    所以,分式方程有增根,說(shuō)明x的取值肯定有使分母為零的根,這時(shí)有兩種情況,一種是原方程就只有這些使分母為零的根,方程就無(wú)解,如例題2;第二種情況是除了有使分母為零的根之外,還有其他使原方程成立的根,這時(shí)原方程就有解,如例4.而分式方程無(wú)解,則也會(huì)有兩種情況:一種是分式方程就只有使分母為零的增根,沒(méi)有其他根, 這時(shí)無(wú)解就和有增根一致;第二種是分式方程連增根也沒(méi)有,此時(shí)就是無(wú)解,如例3.

    三、拓展應(yīng)用

    通過(guò)前面的敘述,相信大家已經(jīng)對(duì)增根和無(wú)解有了較深的認(rèn)識(shí)與理解,下面通過(guò)一道例題及其變式加深一下印象.

    例5 a為何值時(shí),關(guān)于x的方程 2 x-2 + ax x2-4 = 3 x+2 ……① 有增根?

    解 兩邊都乘(x+2)(x-2),得

    2(x+2)+ax=3(x-2),

    (a-1)x=-10……②.

    ∵原分式方程有增根,

    ∴x=2或x=-2是方程②的根,

    ∴把x=2,-2分別代入方程②,得a=-4或a=6,

    ∴當(dāng)a=-4或a=6時(shí),原方程有增根.

    例5變式 a為何值時(shí),關(guān)于x的方程 2 x-2 + ax x2-4 = 3 x+2 ……①無(wú)解?

    解 兩邊都乘(x+2)(x-2),得

    2(x+2)+ax=3(x-2),

    (a-1)x=-10……②.

    因?yàn)樵匠虩o(wú)解,所以分兩種情形.

    第一種情形:

    當(dāng)a-1=0(即a=1)時(shí),方程②為0x=-10,該整式方程無(wú)解,所以原分式方程無(wú)解.

    第二種情形:

    如果方程②的解為x=2或x=-2,則未知數(shù)x=±2使分式方程的分母為零,是分式方程的增根,此時(shí)由例5可知,a=-4或a=6.

    綜上所述,當(dāng)a=1或 a=-4或a=6時(shí),原方程無(wú)解.

    通過(guò)以上分析,我們深刻體會(huì)到對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解有多么重要,所以深刻把握住概念的本質(zhì)才能輕松應(yīng)對(duì)概念考查的題目,而對(duì)概念的掌握單純靠語(yǔ)言文字的描述是不夠的,要結(jié)合題目才能理解透徹、到位.也就是說(shuō),基于上述例題能夠獲悉,當(dāng)分式方程化去分母之后轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)一元一次的整式方程,其解剛好能夠讓最簡(jiǎn)公分母變成零,這個(gè)根實(shí)際上就是增根,因?yàn)橐辉淮畏匠痰母ǔV挥幸粋€(gè),因此,這個(gè)原分式方程就是無(wú)解的,如果轉(zhuǎn)變后的整式方程屬于一元二次方程,則狀況就并不相同.

    四、結(jié)束語(yǔ)

    總而言之,分式方程存在增根與無(wú)解問(wèn)題中包含非常多的數(shù)學(xué)知識(shí)與思維方法,其中包含學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,以及對(duì)題目條件的解讀和處理,還包含隱藏條件的分析、應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、分類策略等,思維含量比較高,對(duì)學(xué)生思維能力方面的嚴(yán)謹(jǐn)性、全面性等有嚴(yán)格要求.學(xué)生在分式方程增根與無(wú)解問(wèn)題的解答過(guò)程中,大多數(shù)都會(huì)產(chǎn)生似懂非懂的情況,也就是說(shuō),想要徹底弄清此類問(wèn)題,就要對(duì)增根、無(wú)解出現(xiàn)的原因進(jìn)行追溯.掌握了分式方程增根、無(wú)解的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)就不用依靠死記硬背,學(xué)生能夠帶著理解進(jìn)行深入探析,對(duì)題目中條件背后的含義進(jìn)行精準(zhǔn)解讀,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)有序的解答.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]趙雪.關(guān)于解分式方程增根與無(wú)解的案例探析[J].文淵(高中版),2019,000(002):715.

    [2]郭源源.追根溯源尋本質(zhì) 分析理解辨差異:例談分式方程的增根和無(wú)解問(wèn)題[J].理科考試研究,2019(20).

    [3]蔡艷生.分式方程有增根與無(wú)解的關(guān)系辨析[J].數(shù)學(xué)大世界(下旬),2019(6).

    [4]陳愛(ài)軍.深刻理解教學(xué)內(nèi)容,踐行“學(xué)材再建構(gòu)”:從“分式方程增根問(wèn)題”教學(xué)說(shuō)起[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2018,000(022):19-20.

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