圖解不等式思路的運用

段雄東

【摘要】圖解不等式融合了方程、不等式和函數三個重點知識，體現了幾何直觀這一數學課程的核心概念，而且它展現出來的思路“要解不等關系先解相等關系”更是解題常用的思路.這也就要求我們教師在教學過程中既要注重知識點的教學，也要重視知識點運用過程的教學，并把運用過程中產生的思路或者思想方法遷移到其他問題中去.

【關鍵詞】不等式;函數;圖像

在初中階段，只有一元一次不等式才能根據不等式的性質直接求解，其他的不等式都要利用函數圖像求解，例如解一元二次不等式、解形如kx+b< m x （k，b，m是常數）的不等式.雖然圖解不等式只在人教2013版九年級上冊的數學教材第47頁的“拓廣探索”有一題，其他地方沒有涉及，但是它把方程、不等式以及函數知識融合在一起，學習起來能很好地提升學生的空間觀念、幾何直觀，符合義務教育階段的課程內容.不僅如此，圖解不等式體現出來的思路“要解不等關系先解相等關系”是我們解決不等關系常用的思路，也是廣州數學中考的考點.

一、圖解不等式

例1 如圖1所示，一次函數y1=kx+b的圖像與反比例函數y2= m x 的圖像相交于A，B兩點，觀察圖像，不等式kx+b< m x 的解是.

分析 根據上面的思路，要解kx+b< m x ，先解kx+b= m x ，然后根據圖像得出結果.

找方程kx+b= m x 的解就要找一次函數y1=kx+b和反比例函數y2= m x 的圖像交點的橫坐標，即 x=3和x=-2，然后在圖中找出不等式kx+b< m x 的解：x<-2或0

這是典型的圖解不等式題目，所有的數據都在圖中，不用任何計算，只要掌握了思路，就可以直接寫出答案.

這里的關鍵就是要有數形轉換的能力.可能有一部分學生不能將不等式kx+b< m x 與圖形聯系起來，我們可以從特殊情況著手：從上往下畫一條豎線，若豎線先穿過y1=kx+b，則表示此時kx+b> m x ;若豎線后穿過y1=kx+b，則表示此時kx+b< m x .這樣就把代數中的大小關系轉化成圖形中的上下關系.反過來，通過圖形中的上下關系也能轉化成代數中的大小關系.

二、圖解不等式思路的運用

圖解不等式這個知識點在人教2013版數學教材中出現的比較少，但是在這個知識點形成的過程中產生的解題思路卻在數學解題中經常出現.

（一）通過方程找相等關系

例2 一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像經過點A（2，-6），且與反比例函數y=- 12 x 的圖像交于點B（a，4）.

（1）求一次函數的解析式;

（2）將直線AB向上平移10個單位后得到直線l：y1=k1x+b1（k1≠0），l與反比例函數y2= 6 x 的圖像相交，求使y1

分析 很容易得到第（1）問的答案是y=-2x-2.

第（2）問求使y13.

如果函數圖像不明確，就要注意分類討論.

例3 已知函數y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）.若函數y2的圖像過y1的頂點.

（1）求證：2a+b=0;

（2）當1

分析 第（1）問只要把y1的頂點坐標代入y2，再化簡就可以得到2a+b=0.

我們重點來看第（2）問，根據上面的思路，要“比較y1，y2的大小”，先找出“y1=y2時，x的取值”，然后通過圖像找出當1

解 （1）略.

（2）由（1）知，2a+b=0，即b=-2a，

∴y1=ax2-2ax，y2=ax-2a.

令y1=y2，則有ax2-2ax=ax-2a，解得x1=1，x2=2.

當a>0時，如圖2所示，當1

當a<0時，如圖3所示，當1y2.

綜上所述，當a>0時，y1y2.

當然，本題也可以用作差法，但是相比之下，上面的思路不僅更簡單，也更容易想到.很多同學感到數學難學，很大程度上是因為數學的解題思路太多，就像走路一樣，自古華山一條路，好辦，沿著路走就行啦，只不過難走一點而已，換作是茫茫草原，看起來哪個方向都能走，反而不知道要往哪里走，對于中下水平的同學來說，更是如此.所以，類似的題目我們盡量用同一種方法去解，這樣可以讓學生有方向感，遇到這種題知道往哪個方向走，能走起來后，再考慮還有沒有好走一點的路，從而滿足不同層次、不同知識結構的學生的需求.

（二）通過隱性圓找相等關系

例4 如圖4，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像經過點A（-1，0），B（0，- 3 ），C （2，0），其對稱軸與x軸交于點D.

（1）求二次函數的解析式;

（2）若M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點，連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍.

分析 第（1）題非常簡單，求出二次函數的解析式是y=? 3? 2 （x+1）（x-2）.第（2）問要求“∠AMB不小于60°時t的取值范圍”，我們先找出“∠AMB=60°時t的取值”.AB是定線段，在對稱軸找點M使得∠AMB=60°，符合“隱形圓”的條件，也就是當∠AMB=60°時，點M在“隱形圓”與拋物線對稱軸的交點上，通過合情推理，當∠AMB不小于60°時，點M在“隱形圓”內，這個題目就迎刃而解了.

解 （2）∵在Rt△ABO中，tan∠ABO= AO BO = 1? 3? ，∴∠ABO=30°.

作線段AB的垂直平分線，交y軸于點Q，以點Q為圓心、QB為半徑畫圓，交拋物線的對稱軸于點E，F，如圖5.

∴∠QAB=∠ABO=30°，

∴∠AQO=∠QAB+∠ABO=60°，

∠AQB=180°-∠AQO=120°，

∴∠AEB=∠AFB= 1 2 ∠AQB=60°.

∵在Rt△AQO中，tan∠AQO= AO QO .

∴OQ= AO tan∠AQO =? 3? 3 ，即Q的坐標為0，-? 3? 3 ，

QB=OB-OQ= 2 3? 3 =QE.

過Q作QH垂直拋物線對稱軸于點H.由拋物線的對稱性可知其對稱軸為直線x= -1+2 2 = 1 2 ，

∴EH= QE2-QH2 =? 39? 6 =FH，

∴E，F的坐標為 1 2 ，-? 3? 3 +? 39? 6 ， 1 2 ，-? 3? 3 -? 39? 6 .

所以，若∠AMB不小于60°，則t的取值范圍是-? 3? 3 -? 39? 6 ≤t≤-? 3? 3 +? 39? 6 .

雖然這題比較難，但是我們利用“要解不等關系先解相等關系”的思路成功找到了“隱形圓”，解決了關鍵問題.

三、圖解不等式在廣州中考題中的呈現

（一）圖解不等式的直接呈現

例5 將直線y=3x+1向下平移1個單位長度，得到直線y=3x+m，若反比例函數y= k[]x 的圖像與直線y=3x+m相交于點A，且點A的縱坐標是3.（1）求m和k的值;（2）結合圖像求不等式3x+m> k[]x 的解集.

這是2017年廣州市中考數學卷的第22題，其中第（2）問直接要求“結合圖像” 求不等式，是對圖解不等式方法的直接考查.

（二）圖解不等式思路的呈現

例6 已知平面直角坐標系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0） 過點A，B，頂點為C.點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點.（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標;（2）當∠APB為鈍角時，求m的取值范圍.

分析 本題是節(jié)選2014年廣州中考數學卷第24題的前兩問.作為中考卷的倒數第2題，是有相當大的難度的.第（1）問相對比較簡單，很容易得到拋物線的解析式為y= 1 2 x2- 3 2 x-2，頂點坐標為 3 2 ，- 25 8 .第（2）問是當∠APB為鈍角時， 求m的取值范圍.我們知道鈍角、銳角是以直角為分界線的，大于直角小于平角的角是鈍角，那我們就先找到當∠APB為直角時 m的取值情況.由于本題的拋物線上剛好存在一個特殊點D，又∠ADB為直角，這個題目的難度就降低了很多，然后利用“隱形圓”就可以輕松解決問題.

解 （2）由（1）知拋物線為y= 1 2 x2- 3 2 x-2，頂點坐標為 3 2 ，- 25 8 ，所以其對稱軸為直線x= 3 2 ，交y軸于點D（0，-2）.

∵AD2=OA2+OD2=5，BD2=OB2+OD2=20，AB2=25，

∴AD2+BD2=AB2，即∠ADB=90°.

設△ABD的外接圓交拋物線于另一點E，則AB是外接圓的直徑，∠AEB=90°.由拋物線和圓的對稱性，可知點E的坐標為（3，-2）.

當∠APB為鈍角時，點P在外接圓的圓內，所以m的取值范圍為-1

四、總結

我們在圖解不等式的教學過程中不僅要讓學生學會直接利用圖像去解不等式，更重要的是讓學生掌握圖解不等式的思路，并把它作為我們處理類似問題的一般方法.數學課程內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法.數學課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系.