線性代數(shù)教學(xué)改革探討

【摘要】線性代數(shù)是工程數(shù)學(xué)的重要組成部分，針對(duì)線性代數(shù)課程教學(xué)中存在的一些問(wèn)題，筆者提出了有針對(duì)性的改革措施，并在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行了實(shí)踐，切實(shí)提高了線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);教學(xué)改革;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

線性代數(shù)是工程數(shù)學(xué)的重要組成部分，是科學(xué)技術(shù)的語(yǔ)言，在理論研究和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，線性代數(shù)是計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、數(shù)值分析、控制理論、加密解密、圖像處理等技術(shù)的重要基礎(chǔ).近年來(lái)，線性代數(shù)也在向經(jīng)濟(jì)、金融、管理、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域滲透.線性代數(shù)是通過(guò)各種相關(guān)問(wèn)題的解決方法的總結(jié)和凝練，抽象出一系列概念、表達(dá)方法和計(jì)算方法，教師只是簡(jiǎn)單地向?qū)W生直接灌輸這些抽象的內(nèi)容，往往很難取得較好的教學(xué)效果.筆者認(rèn)為當(dāng)前線性代數(shù)教學(xué)面臨的問(wèn)題主要有以下幾個(gè)方面：教材內(nèi)容局限于抽象的概念和方法，未能通過(guò)應(yīng)用案例展現(xiàn)利用線性代數(shù)解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題的能力;教師教學(xué)主要以教授概念和理論為主，缺乏與相關(guān)背景知識(shí)、應(yīng)用場(chǎng)景、案例分析的結(jié)合;課堂教學(xué)手段單一，與現(xiàn)代化的手段結(jié)合得不好.課題組通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)這門(mén)課程進(jìn)行了改革，收到很好的教學(xué)效果.采取的主要措施有：

一、編寫(xiě)了《線性代數(shù)》教材

好的教材是保證教學(xué)效果的關(guān)鍵.翻看當(dāng)前主流線性代數(shù)教材，瀏覽眾多的線性代數(shù)網(wǎng)課，絕大部分都是“開(kāi)門(mén)見(jiàn)山”，從開(kāi)篇介紹線性方程組，到行列式、矩陣、矩陣變換等內(nèi)容，講的基本上都是抽象的定義、定理及其推理證明，內(nèi)容多、理論性強(qiáng)、枯燥乏味，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)熱情不高.為什么要學(xué)習(xí)線性代數(shù)？線性代數(shù)能夠解決哪些問(wèn)題？那些抽象概念是從何而來(lái)的？在教材中缺少配套的背景知識(shí)，書(shū)上習(xí)題也鮮有案例應(yīng)用，幾乎不涉及數(shù)值計(jì)算，這幾乎是大學(xué)數(shù)學(xué)教育共同的痛點(diǎn)，只是給學(xué)生灌輸抽象、枯燥的概念和理論，不聯(lián)系實(shí)際，導(dǎo)致學(xué)生應(yīng)用能力不足，對(duì)自己熟悉的領(lǐng)域不會(huì)用矩陣建模解題，基礎(chǔ)課成了純粹的“考研課”，不能學(xué)以致用，造成了教材和教學(xué)目標(biāo)有偏差.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，集成線性代數(shù)理論的工具軟件種類(lèi)繁多、功能強(qiáng)大，可以解決各種類(lèi)型的問(wèn)題.因此，如何在掌握線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)運(yùn)用工具軟件解決實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)用結(jié)合，提高大學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，適應(yīng)素質(zhì)教育和能力培養(yǎng)的有益嘗試.為此，我們編寫(xiě)了一部面向應(yīng)用，滿足廣大的非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的需要的線性代數(shù)教材，該教材在保留傳統(tǒng)線性代數(shù)理論體系的基礎(chǔ)上，克服了上述不足.主要特色是：（1） 引入大量應(yīng)用實(shí)例，使得課程具有實(shí)用性和趣味性;（2）把數(shù)學(xué)軟件MATLAB引入教材.教材在每章后面都加入了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容，要求學(xué)生以MATLAB為工具完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).使學(xué)生對(duì)MATLAB的使用有初步的了解以及加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和運(yùn)用;（3）引入知識(shí)縱橫，講述數(shù)學(xué)知識(shí)背后的故事，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教材的趣味性，使得學(xué)習(xí)更有“帶入感”.

二、以數(shù)學(xué)建模為牽引，將應(yīng)用案例融入教學(xué)中

現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題紛繁復(fù)雜，要想利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，第一個(gè)步驟就是將問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，也就是數(shù)學(xué)建模.建模是數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用之間的橋梁，不會(huì)建模，只會(huì)算法是無(wú)法解決實(shí)際問(wèn)題的.在教學(xué)中，我們緊密結(jié)合具體的專(zhuān)業(yè)實(shí)際并結(jié)合生產(chǎn)、生活實(shí)踐，穿插講解一些應(yīng)用實(shí)例，例如，用可逆陣進(jìn)行保密編譯碼、交通流量問(wèn)題、投入產(chǎn)出模型、人口遷移問(wèn)題及基因問(wèn)題等.下面舉兩個(gè)具體應(yīng)用實(shí)例：

例1 用可逆陣進(jìn)行保密編譯碼.

為了實(shí)現(xiàn)英文文本的密文傳輸，可以利用一種簡(jiǎn)單的保密措施，就是把文本中的英文字母用一個(gè)對(duì)應(yīng)的整數(shù)來(lái)表示，然后傳送這組整數(shù).例如，26個(gè)英文字母A，B，…，Y，Z依次對(duì)應(yīng)數(shù)字1，2，…，25，26，若要發(fā)送單詞“battle”，則編碼是2，1，20，20，12，5.用這種簡(jiǎn)單的編碼方法，在一個(gè)長(zhǎng)文本中，根據(jù)編碼數(shù)字出現(xiàn)的頻率，能估計(jì)它所代表的字母，容易被破譯.因此，可以利用矩陣的乘法對(duì)編碼進(jìn)一步加密.

現(xiàn)任選一個(gè)行列式等于-1的整數(shù)矩陣，如

所以，將所收到的編碼寫(xiě)成兩個(gè)向量后，經(jīng)過(guò)乘A-1解碼，為2，1，20，20，12，5，最后，利用使用的代碼將編碼恢復(fù)為明碼，得到單詞“battle”.

教師在教學(xué)中引入這些應(yīng)用實(shí)例，灌輸數(shù)學(xué)建模思想，并把一些應(yīng)用問(wèn)題納入課程的習(xí)題，使學(xué)生深切地感受到線性代數(shù)確實(shí)有許多重要的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，在一定程度上克服畏難情緒，有效提升線性代數(shù)的教學(xué)效果.

三、將MATLAB引入線性代數(shù)教學(xué)中

在每章后面都加入了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容，圍繞線性代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容來(lái)介紹如何用MATLAB完成各種運(yùn)算.例如，投入產(chǎn)出模型矩陣形式AX+Y=X，解出總產(chǎn)品列向量X=（E-A）-1Y，當(dāng)列向量矩陣E-A階數(shù)很大時(shí)，靠手算這個(gè)高階矩陣的逆，相當(dāng)煩瑣與費(fèi)時(shí).但若用MATLAB算，輸入語(yǔ)句：X=inv（E-A）-1Y，則幾秒鐘就出結(jié)果了，使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的復(fù)雜運(yùn)算不再恐懼，并體會(huì)到數(shù)學(xué)軟件的強(qiáng)大功用.當(dāng)然，線性代數(shù)的整個(gè)理論體系并不因使用計(jì)算機(jī)而有所改變.但是若原有的線性代數(shù)教學(xué)沒(méi)有引入現(xiàn)代化的工具軟件，只教筆算，則就像明明有先進(jìn)的電動(dòng)工具，還讓大家拿手動(dòng)工具干活一樣，效率低而且缺少樂(lè)趣.將MATLAB軟件應(yīng)用引入教學(xué)實(shí)踐中，使學(xué)生通過(guò)工具軟件體驗(yàn)線性代數(shù)理論各種算法的實(shí)際應(yīng)用，做到了理論與實(shí)踐相結(jié)合.

下面舉一個(gè)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)完成的應(yīng)用題：

例2 在直流電路圖中，直流電源的電動(dòng)勢(shì)E1=15 V，E2=70 V，E3=5 V.各支路的負(fù)載電阻R1=6 Ω，R2=5 Ω，R3=10 Ω，R4=2.5 Ω，R5=15 Ω，求通過(guò)各支路的電流I1，I2，I3，I4，I5各是多少安培.

于是解得I1=5A，I2=8A，I3=1A，I4=-6A，I5=2A.I4為負(fù)值，表明其方向與圖示相反.

上面這類(lèi)例子能增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，學(xué)生在形成良好的數(shù)學(xué)思維前提下，對(duì)數(shù)學(xué)軟件的靈活使用為專(zhuān)業(yè)課題研究及數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)做了必要的準(zhǔn)備.

四、綜合運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)手段，增強(qiáng)課程吸引力

傳統(tǒng)教學(xué)中，教師僅通過(guò)板書(shū)和口述進(jìn)行講解，表現(xiàn)形式單一，很難讓學(xué)生持續(xù)保持專(zhuān)注度.在教學(xué)中求新、求變是保持“吸引力”的不二法門(mén)，將多媒體演示與MATLAB數(shù)學(xué)軟件展示等手段引入課堂，在學(xué)生產(chǎn)生疲倦情緒之前，通過(guò)動(dòng)畫(huà)展示、軟件編程演示、與學(xué)生互動(dòng)交流等方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心、參與感和成就感，讓學(xué)生在不知不覺(jué)中接受了本來(lái)枯燥的概念和理論，同時(shí)積極思考、積極參與解決問(wèn)題，取得了非常好的教學(xué)效果.

五、改革考核方式，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升

為了將培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)值計(jì)算能力落到實(shí)處，將實(shí)踐教學(xué)的結(jié)果納入線性代數(shù)課程的考核中，除了原有的考核方式外，還增加撰寫(xiě)一篇小論文（題目可由老師擬定，也可自定），成績(jī)占總評(píng)成績(jī)的10[WTB3]%[WTBX]，要求學(xué)生根據(jù)論文題目從建立數(shù)學(xué)模型入手，聯(lián)系所學(xué)的線性代數(shù)知識(shí)，利用MATLAB軟件編制簡(jiǎn)單的程序，完成求解，并將完整的過(guò)程編制成小論文.這種考核方式可以較好地鍛煉學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì).

課題組編寫(xiě)的教材于2012年1月由機(jī)械工業(yè)出版社出版發(fā)行，我校已使用7個(gè)學(xué)期，任課教師和學(xué)生普遍反映良好.教材的知識(shí)體系合理，學(xué)生能由淺入深地理解概念和掌握知識(shí)，對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用有一個(gè)比較深刻的理解，在使用該教材之前的線性代數(shù)教學(xué)中經(jīng)常有同學(xué)問(wèn)線性代數(shù)有什么用處，任課教師只能泛泛地談，在該教材中有大量應(yīng)用方面的例子，這些例子和實(shí)際結(jié)合得比較緊密，通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)生都能感到線性代數(shù)課程在以后的學(xué)習(xí)和工作中有很大的用處.教學(xué)中加強(qiáng)了概念與理論的背景和應(yīng)用介紹，在一定程度上克服了理論學(xué)習(xí)的抽象性和枯燥性，理論和實(shí)際結(jié)合得比較緊密，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣.把MATLAB軟件引入線性代數(shù)教學(xué)，使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的煩瑣運(yùn)算不再懼怕.學(xué)生在掌握了線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還通過(guò)實(shí)際操作初步掌握了這個(gè)強(qiáng)大的計(jì)算工具，熟練運(yùn)用這個(gè)“強(qiáng)大武器”必將在其他各門(mén)功課的學(xué)習(xí)乃至今后的工作中發(fā)揮更大的作用.在計(jì)算中運(yùn)用MATLAB解題，提高了學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力及理論與實(shí)踐相結(jié)合的能力.對(duì)四屆試點(diǎn)班的學(xué)生調(diào)查顯示，他們都反對(duì)只教筆算，對(duì)試點(diǎn)中自己學(xué)會(huì)機(jī)算很自豪.其主要好處有：①學(xué)以致用，有目的，有興趣;②節(jié)省了算題時(shí)間，可以多看書(shū)和思考;③會(huì)解任意高階題目，對(duì)后續(xù)課程很有用處.試點(diǎn)班學(xué)生的實(shí)踐能力遠(yuǎn)高于普通班，普通班學(xué)生只能筆算四階及以下簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)方程組，也給后續(xù)課的機(jī)算創(chuàng)造了條件.我們將在線性代數(shù)教學(xué)改革之路上繼續(xù)前進(jìn)，并爭(zhēng)取在今后的教學(xué)中取得更大的效果.

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