公理化方法重建布朗運(yùn)動理論

【摘要】布朗運(yùn)動是一種具有連續(xù)時(shí)間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的隨機(jī)過程，其理論不僅在概率論與隨機(jī)過程中占有相當(dāng)重要的地位，而且也是自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)各學(xué)科研究動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具.本文指出了現(xiàn)有布朗運(yùn)動理論體系不完整、缺少樣本軌道性質(zhì)論述的理論缺陷，使用公理化方法從空間和時(shí)間兩個(gè)維度重建了布朗運(yùn)動理論，演繹推導(dǎo)出了布朗運(yùn)動隨機(jī)變量和樣本軌道性質(zhì)，從而可全面、系統(tǒng)地闡明布朗運(yùn)動現(xiàn)象、特征及規(guī)律.

【關(guān)鍵詞】布朗運(yùn)動;維納過程;樣本軌道

一、引?言

布朗運(yùn)動是物理學(xué)中的一個(gè)著名現(xiàn)象.1827年，英國植物學(xué)家布朗用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時(shí)，發(fā)現(xiàn)微粒總是在做無規(guī)則運(yùn)動.后來人們發(fā)現(xiàn)，這是一種廣泛存在于自然、工程和社會等領(lǐng)域中的隨機(jī)現(xiàn)象，如空氣污染擴(kuò)散、陀螺隨機(jī)游走和股票價(jià)格波動等.1905年，愛因斯坦首先使用概率方法對布朗運(yùn)動進(jìn)行了定量研究，為隨機(jī)過程基礎(chǔ)理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).維納在1923年將愛因斯坦的布朗運(yùn)動物理模型抽象為數(shù)學(xué)模型，為其他學(xué)科研究動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象提供了重要數(shù)學(xué)工具，因此布朗運(yùn)動也被稱為維納過程.

由于宏觀物理現(xiàn)象只與微觀粒子的統(tǒng)計(jì)規(guī)律有關(guān)，因此愛因斯坦并沒有研究單個(gè)布朗粒子的運(yùn)動規(guī)律，這樣導(dǎo)致布朗運(yùn)動理論缺少樣本軌道性質(zhì)描述.本文使用公理化方法從空間和時(shí)間兩個(gè)維度重建了布朗運(yùn)動理論，可全面、系統(tǒng)描述并揭示布朗運(yùn)動的現(xiàn)象、特征及規(guī)律.

上述維納過程定義存在下述三個(gè)缺陷：

（1）維納過程僅從狀態(tài)空間定義了布朗運(yùn)動隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，沒有定義和描述布朗運(yùn)動樣本軌道隨時(shí)間演變的特征及規(guī)律，不能全面反映布朗運(yùn)動的全過程.

（2）用時(shí)間函數(shù)符號X（t） 表示隨機(jī)變量，容易與樣本軌道混淆.數(shù)理金融學(xué)用隨機(jī)變量X（t）描述金融資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間的變化過程，導(dǎo)致研究對象發(fā)生錯位，使整個(gè)學(xué)科陷入嚴(yán)重的范式危機(jī).

（3）維納過程是歸納總結(jié)出的數(shù)學(xué)定義，而不是依據(jù)概念和公理演繹推導(dǎo)出的邏輯知識體系.

八、結(jié)?論

本文指出了現(xiàn)有布朗運(yùn)動理論缺少單個(gè)布朗粒子運(yùn)動規(guī)律描述的理論缺陷，使用公理化方法從空間和時(shí)間兩個(gè)維度重建了布朗運(yùn)動理論，演繹推導(dǎo)出了布朗運(yùn)動隨機(jī)變量和樣本軌道的模型及性質(zhì)，可全面、系統(tǒng)地闡明布朗運(yùn)動的現(xiàn)象、特征及規(guī)律.本文證明了在微觀上表現(xiàn)出隨機(jī)性和不可預(yù)測性的布朗運(yùn)動，在宏觀上具有總體的確定性和穩(wěn)定性，同時(shí)也驗(yàn)證了一個(gè)哲學(xué)命題：隨機(jī)性和確定性是對立統(tǒng)一的關(guān)系，隨機(jī)性是確定性的表現(xiàn)形式，確定性存在于隨機(jī)性之中.

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