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    G-布朗運動環(huán)境下歐式期權價格數值模擬

    2020-05-22 05:37:04陳毛毛薛紅王琪
    關鍵詞:布朗運動變差股票價格

    陳毛毛,薛紅,王琪

    (西安工程大學理學院,陜西西安710048)

    期權定價一直是金融數學的核心問題之一,最早可以追溯到1973 年,Black 和Scholes 發(fā)表了一篇題為“期權定價與公司債務”的論文,同時提出了著名的Black-Scholes 期權定價模型[1],得到了Black-Scholes 期權定價公式.但是Black-Scholes 公式中假設波動率為常數,這與實際金融市場并不相符,1985 年Rubinstein[2]首次發(fā)現實指和虛值期權的隱含波動率比較高,兩平期權的隱含波動率比較低,并將此現象稱為波動率微笑.為了解決這一問題,學者們提出了一系列隨機波動率模型,假設波動率是隨機過程,其中Scott[3]假定波動率服從指數過程,Hull 等[4]假定波動率服從平方根過程,Shanno[5]提出了不確定波動率模型.另一種對Black-Scholes 模型的修正是以Cox 等[6]、Geske[7]、Rubinstein[8]和Bensoussan 等[9]為代表,利用具有價格依賴型波動率的擴散過程來描述股票價格,認為波動率是股票價格和時間的函數.彭實戈[10]在2006 年引入了次線性期望空間,在G-框架下構造了相應的G-布朗運動.且得到了一系列重要結果,參見[11-14].文獻[15]討論了G-正態(tài)分布和G-布朗運動的數值模擬,文獻[16]討論了G-布朗運動二次變差的模擬,徐靜等[17]給出了G-框架下的歐式期權定價公式.但是并沒有學者利用G-布朗運動進行期權價格的模擬計算,上證50ETF 期權在2015 年2 月上市,研究其對于中國發(fā)展金融衍生品市場具有重要借鑒意義.本文在G-布朗運動環(huán)境下建立金融市場模型,假設股票價格服從由G-布朗運動驅動的隨機微分方程,利用蒙特卡洛方法以及保險精算方法數值模擬計算期權價格并用50ETF 進行實證分析.

    1 預備知識

    定義1(G-正態(tài)分布[12])在次線性期望空間中,如果一個隨機變量滿足

    定義2(G-布朗運動[12])次線性期望空間上的實值隨機過程稱為G-布朗運動,如果對每一個,有,且滿足兩條性質:

    (1)B0=0;

    (2)對每一個t,s>0,增量Bt+s-Bt服從,并且對每一個,增量

    定義3(二次變差過程[13])G-布朗運動的二次變差過程定義為

    引理1假設U 服從上的均勻分布,F 是一個嚴格遞增的連續(xù)分布函數,那么F-1(U)服從分布F[18].

    算法1模擬G-布朗運動及其二次變差過程的步驟如下:

    Step1:在方程

    Step2:生成n 個在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布的隨機數

    Step4:由于G-布朗運動的增量 Bti-Bti-1服從分布,且對每一個 i = 1,2,…,n,均獨立于把Step3 得到的xi, i = 1,2,… ,n 逐項累加就得到一條G-布朗運動的軌道;

    圖1 G-正態(tài)分布的分布函數 Fig.1 G-normal distribution function

    圖2 G-正態(tài)分布的密度函數Fig.2 G-normal density function

    G-布朗運動及其二次變差的軌道見圖3 和圖4.

    圖3 G-布朗運動的樣本軌道 Fig.3 Sample path of G-Brownian motion

    圖4 G-布朗運動二次變差的樣本軌道Fig.4 Sample path of <B>t

    2 基于G-布朗運動的歐式期權數值模擬

    2.1 股價基本模型

    假設股價滿足隨機微分方程

    式(2)中:St代表t 時刻股價,μ 為期望收益率,Bt為G-布朗運動,

    式(3)中:<B>t為G-布朗運動的二次變差過程.

    2.2 參數估計與數值模擬

    隨機微分方程(1)的離散形式為

    故有

    計算每個窗口的方差,取其中最大值為總窗口中的方差上界,即,取其中最小值為總窗口中的方差下界,即.在μ 已經被確定的情況下可以獲得關于下方差和上方差的最優(yōu)漸進無偏估計

    式(6)、式(7)中:風險資產按其期望回報率貼現,期望收益率無風險資產按無風險利率r 貼現.

    圖5 基于布朗運動的股價3 條樣本軌道 Fig.5 Three sample paths of stock prices based on Brownian motion

    圖6 基于G-布朗運動的股價3 條樣本軌道Fig.6 Three sample paths of stock price basedon G-Brownian motion

    圖7 不同模擬次數下的歐式看漲期權價 Fig.7 European call option price with different simulation times

    圖8 不同模擬次數下的歐式看漲期權價格Fig.8 European put option price with different simulation times

    3 實證分析

    選取50ETF 期權(標的物代碼為510050)來進行實證分析.選擇2018 年10 月23 日中到期日為11月28 日的全部合約,基本信息見表1.已知2018 年10 月23 日50ETF 的收盤價格為2.511 元,即S0=2.511,因此模擬接下來26 個交易日的股票價格走勢,無風險利率選取央行2018 年定期存款3 個月的利率,為1.1%,故r=0.011.所用到的數據來源于交易所行情數據借接口.

    表1 上證50ETF 的基本信息Tab.1 Basic information of SSE 50ETF

    3.1 參數估計

    對G-布朗運動的參數進行估計時選取滑動窗口法, 根據2018 年1 月2 日至2018 年10 月23 日50ETF 數據,將對數收益率序列看作總窗口M,子窗口長度N 設為24,共有171 個窗口,計算出上方差和下方差分別為

    同樣,對數收益率序列的均值

    在布朗運動環(huán)境下進行參數估計時計算得到對數收益率序列的均值μ 和波動率

    3.2 結果分析

    表2 為分別利用Black-Scholes 公式所計算的看漲、看跌期權價格與布朗運動環(huán)境下和G-布朗運動環(huán)境下的模擬計算的看漲、看跌期權價格對比分析.

    利用表2 數據,可得3 種方法計算結果與實際價格的均方誤差:

    (1)Black-Scholes 公式下均方誤差

    (2)布朗運動環(huán)境下均方誤差

    (3)G-布朗運動環(huán)境下均方誤差

    通過上面的分析可以看出,MSE3<MSE2<MSE1,G-布朗運動下模擬的期權價格較Black-Scholes 公式以及布朗運動環(huán)境下模擬的期權價格而言,能更好地刻畫市場運動,并得到較精確的市場定價,再次說明了G-布朗運動比布朗運動更適合描述復雜的金融市場.

    4 小結

    本文通過假設股票價格隨機微分方程由G-布朗運動所驅動,模擬股票價格軌道,利用保險精算方法模擬計算期權價格,同時用50ETF 真實數據進行實證分析,利用一系列模型進行對比,得出G-布朗運動環(huán)境下的期權定價模型比布朗運動環(huán)境下的期權定價模型偏差小, 故G-布朗運動能得到較合理的市場期權定價的結果.總體而言,G-布朗運動環(huán)境下的數值方法比布朗運動環(huán)境下的數值方法更具有優(yōu)越性.

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