兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的一個(gè)泛函對(duì)數(shù)律

張晴晴， 劉永宏

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

布朗運(yùn)動(dòng)也可稱為維納過(guò)程，作為具有連續(xù)時(shí)間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，是隨機(jī)過(guò)程學(xué)科中最簡(jiǎn)單、最基本、最常見(jiàn)的隨機(jī)過(guò)程之一[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，人們?cè)絹?lái)越意識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中影響某種隨機(jī)現(xiàn)象的因素不是單一的，如天氣變化，除了緯度位置，還與大氣環(huán)流、海陸分布等因素相關(guān)。這促使學(xué)者尋找某種途徑，把單參數(shù)情形所得到的結(jié)論推廣到更為復(fù)雜的多參數(shù)情形。在多參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)中，兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)最具代表性[2]。

布朗運(yùn)動(dòng)與兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的重對(duì)數(shù)律[3]問(wèn)題研究最為廣泛。畢秋香等[4]證明了在一定的假設(shè)條件下，廣義布朗運(yùn)動(dòng)服從重對(duì)數(shù)律，得到并證明了相應(yīng)的結(jié)果；文獻(xiàn)[5-8]利用布朗運(yùn)動(dòng)在H?lder范數(shù)下的大偏差，得到了布朗運(yùn)動(dòng)增量在H?lder范數(shù)下的局部Strassen重對(duì)數(shù)律。文獻(xiàn)[9-10]通過(guò)建立兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的大偏差結(jié)果，得到了在矩形集上兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)大增量和小增量的Cs?rg?-Révész型增量Strassen重對(duì)數(shù)律；許杰等[11]利用兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的大偏差，得到了一類兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程的連續(xù)模的情形。

鑒于此，針對(duì)兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)數(shù)律問(wèn)題，給出了兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的大偏差，得到了兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的泛函對(duì)數(shù)律，并進(jìn)行了證明。

1 預(yù)備知識(shí)

C0={f∈C;f(0,t)=f(s,0)=0}，

設(shè)函數(shù)I:C0→[0,∞]，定義如下：

設(shè)au:(0,∞)→(0,∞)為非減連續(xù)函數(shù)，滿足：

1)au≤u，對(duì)任何u∈(0,∞)；

2)u/au非減；

定義

Δ(s,t,aux,auy)=w(s+aux,t+auy)-

w(s+aux,t)-w(s,t+auy)+w(s,t)，

0≤s≤u-au,0≤t≤u-au,(x,y)∈[0,1]2。

設(shè)

K={f∈H;2I(f)≤1}。

定義

Zs,t,u(x,y)=γuΔ(s,t,aux,auy)。

2 主要結(jié)果

定理1若1)～3)成立，則有

(1)

且對(duì)任意的f∈K，

(2)

3 若干引理

引理1[10]對(duì)任何閉集F?C0，

對(duì)任何開(kāi)集G?C0，

引理2[10]對(duì)任何0

引理3設(shè)f∈H，定義

f*(·,·)=f(λ·,λ′·)，

其中λ,λ′<1，則

‖f-f*‖≤{((1-λ)(1-λ′))1/2+(1-λ)1/2+

(1-λ′)1/2}‖f‖H。

‖f(·,·)-f*(·,·)‖=

{((1-λ)(1-λ′))1/2+

(1-λ)1/2+(1-λ′)1/2}‖f‖H。

引理4[12](博雷爾-坎特利引理) 若

則

證明

引理5[13]設(shè){ξn}n≥1為隨機(jī)變量序列，若

則存在子列{ξnk}，使得

因此

4 定理1的證明

4.1 式(1)的證明

引理6若1) ～3)條件成立，則存在un→∞，使得

(3)

證明設(shè)A={g:‖g-K‖≥ε}，則A為閉集，存在任意小的δ>0，使得

由引理2，有

故有

由引理5，可得

故引理6得證，從而式(1)得證。

4.2 式(2)的證明

引理7若1) ～3)條件成立，則對(duì)任意f∈K，存在子列{un=θn,θ>1,n≥1}，使得

(5)

證明設(shè)si=iaun,tj=jaun,i,j=0,1,…,

若n足夠大，則有

(6)

若n足夠大，則由大偏差可得

因此，

(7)

若n足夠大，則由式3)有

故有

exp(-4log logun),

(8)

由Borel-Cantelli引理可得：

引理8若1) ～3)條件成立，則對(duì)任何f∈K，有

(9)

證明設(shè)un如引理7中定義，對(duì)u∈(un-1,un]，

有

(10)

則有

可得

(11)

(12)

令θ→1，由式(10)～(12)和引理7，可得式(9)，從而式(2)得證。

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)增量的重對(duì)數(shù)律有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了研究，將兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和單參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)可以將單參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的對(duì)律推廣到兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的情形。通過(guò)對(duì)兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量在一致范數(shù)下的對(duì)數(shù)律的探討，今后還可以進(jìn)一步探究?jī)蓞?shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量在H?lder范數(shù)下的對(duì)數(shù)律以及兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的鐘型重對(duì)數(shù)律。