基于不動點理論的二階微分-積分方程零解的漸近穩(wěn)定性

朱紅英

(廣西財經學院 應用數(shù)學系，廣西 南寧 530003)

100多年來,Liapunov直接法一直是處理常微分方程和泛函微分方程穩(wěn)定性和有界性最常用的方法。但是, 當方程有無界的項或者時滯是無界的[1-3],或者時滯的導數(shù)不小[4],這時利用Liapunov直接法證明微分-積分方程的穩(wěn)定性問題時就會嚴重困難。近年來, 多位專家如Becker、Burton等[1-3,5-21]利用不動點定理克服這個困難。而且運用不動點理論解決穩(wěn)定性等問題還有其他優(yōu)勢[2]。

最近, Burton[6]討論了下列方程零解的穩(wěn)定性：

其中L是一個正常數(shù),利用不動點定理得到了每個解x(t)滿足(x(t),x(t))→0的充分條件。

Pi[7]研究了帶有一個變時滯的方程

得到了在t-τ(t)嚴格遞增前提下方程零解的漸近穩(wěn)定性。而且要求g(x)滿足:存在l>0使得g(x)滿足在[-l,l]上的Lipschitz條件;g(x)在[-l,l]上是奇函數(shù)和嚴格單調遞增的;x-g(x)在[0,l]上不遞減。

2015年, Pi[8]討論了方程

得到了在t-τ(t)嚴格遞增前提下方程零解的漸近穩(wěn)定性，并且要求g(x)滿足:g(0)=0,g(x)和g(x)-x滿足在局部Lipschitz條件, 存在一個正常數(shù)L使得

|g(x)-g(y)|≤L|x-y|;?x,y∈[-l,l]。

討論一類二階微分-積分方程

d(t)g′(x(t-τ(t)))x′(t-τ(t))=0

(1)

的漸近穩(wěn)定性。

方程(1)可寫成

(2)

1 定義和引理

定義1若對任意給定的ε>0, 存在δ=δ(ε,t0)，使得當任一φ滿足φ(t)∈C(t0)和‖φ‖<δ時, 方程(1)由初始條件φ確定的解(x(t,t0,φ)對一切t>t0均有(x(t,t0,φ)<ε，則稱方程(1)的零解是穩(wěn)定的。

定義2若方程(1)的零解是穩(wěn)定的, 且存在δ1=δ1(t0)使得φ(t)∈C(t0)和‖φ‖<δ1成立, 則當t→ +∞時, 滿足初始條件的解(x(t,t0,φ)均有(x(t,t0,φ)→0。稱方程(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

定理1假設下列條件成立,

成立。

H2:g(0)=0,g(×)滿足Lipschitz條件: 對于任意的u、v∈R, 存在一個Lipschitz常數(shù)L>0，使得|g(u)-g(v)|≤L|u-v|成立。

H3:當Γ是一個正常數(shù)時, 核函數(shù)

H4:對于t0≥0連續(xù)函數(shù)h(s):[t0,+∞)→R有

存在一個常數(shù)α∈(0,1)和一個連續(xù)函數(shù)a(t):R+→R+使得當t≥0,x∈R,y∈R時f(t,x,y)≥a(t),

2 定理1的證明

利用不動點理論證明定理1。首先列出解的表達式。

引理1方程(1)等價于

d(t)g′(x(t-τ(t)))x′(t-τ(t))。

(3)

證明計算方程(2)的第二項得

(4)

(5)

其中

D(s)=

(6)

(7)

注意到

(8)

和

(9)

分步積分得

(10)

并且

(11)

把方程(8)～(11)代入到方程(7), 得到方程(5)。引理2得證。

對于給定的連續(xù)初始函數(shù)φ, 定義集Cφ?C為

Cφ={φ:[t0,∞)→R|φ∈C,φ(t)=φ(t),

t∈(-∞,t0]}

和它的子集

定理1的證明：

(12)

根據A(t)=g(t,x(t),y(t))≥a(t)≥0得

對于給定的ε>0, 存在T1>Q+t0，使得ea0t0- a0T1T1和t0

當t>T1時，得

那么當t→ +∞時，第二項(Pφ)(t)→0。同理, 當t→ +∞時，有I4,I5,I6→0成立。那么

當t→ +∞時,φ(t-τ(t))→0。對于t>T2, 存在一個T2>t0使得φ(t-τ(t))<ε,所以 對于t≥T2有

τ(u))|du+αε。

因此,當t→ +∞時，I15→0。

可以用同樣的方法證明當t→ +∞時,方程(12)中其余的項都趨向于零。

如果(x(t),x′(t))是方程(2)的一個解, 其中‖φ‖+x′(t0)|<δ, 那么對任意的t≥t0，有x(t)<ε。注意到當t∈(-∞,t0]時，有x(t)<ε。如果存在t*>t0，使得x(t*)=ε以及當-∞≤s≤t*時,x(s)<ε, 那么根據方程(5)得

容易計算得到

所以x(t*)<ε, 這與|x(t*)|的定義矛盾。因此,

x(t)<ε,?t≥t0。

(13)

由方程(2)的第二項得

(14)

那么

根據(H1)得

所以

因此, 方程的零解是穩(wěn)定的,而且證明了當t→ +∞時，有x(t)→0。所以方程的零解是漸近穩(wěn)定的，完成了充分性的證明。

成立。選擇一個正常數(shù)ξ, 使得

簡記

由條件H4得

于是有

這里β∈R+, 選擇一個正整數(shù)m足夠大，使得

其中δ0>0滿足

(1-α)。

當tn≥tm時, 根據方程(5)和|x(t)|≤1，有

(15)

另外,若方程(2)的零解是漸進穩(wěn)定的,則當t→0時，有x(t)→0。假如當n→∞時,tn-τ(tn)→∞,由中值定理得

顯然當tn→∞時,|x(θ)|→0。所以

因此，這與方程(15)矛盾,所以條件H4是方程(2)零解漸近穩(wěn)定的必要條件。

3 結束語

方程(1)是帶有無窮時滯的二階微分方程，如果使用李亞普諾夫直接法來研究方程(1)的零解的漸近穩(wěn)定性，那么無窮時滯項只能限定為有界，所以實際上不能使用最常用的李亞普諾夫直接法來證明這類方程零解的穩(wěn)定性。而本文利用不動點定理,得到了方程(1)零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件?？傊?，不動點定理不僅解決了方程的零解的漸近穩(wěn)定性問題,其結果解除了以往對無窮時滯的嚴格限制,而且也明顯減少對函數(shù)g的限制。不動點定理可用來研究帶有無界的項或者無窮時滯的微分方程零解的漸近穩(wěn)定性問題，當然這里的不動點不局限于Banach不動點定理，還可以是Krasnoselskii不動點定理、Shauder不動點定理等等。