脈沖微分系統(tǒng)的等度積分φ0－穩(wěn)定

王培光，劉曉靜

（1.河北大學 電子信息工程學院，河北 保定 071002；2.河北大學 數學與計算機學院，河北 保定 071002）

本文利用錐值Lyapunov函數和比較方法討論了如下脈沖微分系統(tǒng)零解的積分φ0 －穩(wěn)定性：

和它的擾動系統(tǒng)

其中f，h∈PC［R＋×S（ρ），Rn］，Ik，Mk∈C［S（ρ），Rn］，f（t，0）＝h（t，0）＝Ik（t，0）＝Mk（t，0）≡0，0≤t0＜t1＜t2＜…＜tk…，limk→∞tk＝∞，k＝1，2，….

近年來積分穩(wěn)定性理論得到了快速發(fā)展［1－6］，但是，到目前為止關于積分φ0 －穩(wěn)定性的研究并不多見［7－9］.本文主要討論了脈沖微分系統(tǒng)零解的等度積分φ0 －穩(wěn)定性.

1 預備知識

定義1 Rn中的子集K 稱為錐，如果滿足如下條件：（i）λK?K，λ≥0；（ii）K＋K?K；（iii）K＝（iv）K0≠Φ；（v）K∩（－K）＝0，其中，K0及?K 分別表示K 的閉包，內部和邊界.

定義2 稱集合K＊＝｛φ0：φ0∈Rn，對任意x∈K，（φ0，x）≥0｝為K 的伴隨錐，如果K＊滿足定義1中條件（i）－（v）.

通過以上定義可得x∈?K 當且僅當存在φ∈K＊0，K0＝K－｛0｝，（φ，x）＝0.

為方便起見，給出如下函數類：

S（ρ）＝｛x∈K：‖x‖＜ρ，ρ＞0｝.

K＝｛b∈C［［0，ρ），R＋］，b（0）＝0，且b（r）關于r是嚴格遞增的｝.

PC＝｛f：R＋×S（ρ）→Rn在區(qū)間（tk，tk＋1］×Rn上連續(xù)，且極限存在｝.

下面利用比較方法研究脈沖微分系統(tǒng)零解的等度積分φ0 －穩(wěn)定性準則.為此，考慮如下比較脈沖微分方程

和它的擾動微分方程

其中g∈PC［R＋×R＋，R＋］，p（t）∈PC［R＋，R＋］，Jk，Nk∈C［R＋，R＋］，R＋＝［0，＋∞），g（t，0）＝Jk（t，0）≡0，0≤t0＜t1＜t2＜…＜tk…，limk→∞tk＝∞，k＝1，2，….

下面給出函數類V0的定義：

V0＝｛V（t，x）∈PC［R＋×S（ρ），K］：V 在（tk，tk＋1］×S（ρ）上連續(xù)2，…，V（t，x）對任意的t關于x 滿足局部Lipshitzian條件｝.

定義3 設V∈V0，定義

定義4 稱系統(tǒng)（1）的零解

（IS1）是等度積分φ0 －穩(wěn)定的，如果對任意α≥0，t0∈R＋，存在函數β（t0，α）≥0，其中β在t0上是連續(xù)的，α，β∈K，使得當φ0∈，（φ0，x0）≤α，T＞0.

有（φ0，x＊（t））＜β，其中x＊（t）＝x＊（t，t0，x0）是系統(tǒng)（2）的右行最大解.

（IS2）是一致積分φ0 －穩(wěn)定的，如果（IS1）中的α，β都與t0無關.

（IS3）是φ0 －吸引的，如果對任意的ε＞0，α≥0，t0∈R＋，存在函數β（t0，α）≥0，其中β在t0上是連續(xù)的，T＝T（t0，α，ε），γ＝γ（t0，α，ε），使得當φ0∈K＊0，（φ0，x0）≤α，T＞0，

有（φ0，x＊（t））＜ε，t≥t0＋T，其中x＊（t）＝x＊（t，t0，x0）是系統(tǒng)（2）的右行最大解.

（IS4）是一致φ0 －吸引的，如果（IS3）中的T，γ都與t0無關.

（IS5）是等度漸近積分φ0 －穩(wěn)定的，如果（IS1），（IS3）都成立.

（IS6）一致漸近等度積分φ0 －穩(wěn)定的，如果（IS2），（IS4）都成立.

注1 稱系統(tǒng)（3）的零解是等度積分穩(wěn)定的，如果對任意α≥0，t0∈R＋，存在t0上連續(xù)的函數β（t0，α）≥0，α，β∈K，使得當‖x0‖≤α，T＞0，

有‖x（t）‖＜β，t≥t0，其中x（t）＝x（t，t0，x0）是系統(tǒng)（4）的解.其他積分穩(wěn)定定義可以類似給出，不再贅述.

為得到主要結果，可有如下引理.

引理1 令φ0∈，V∈V0，g∈PC（R＋×R＋，R＋），Jk（x）是單調非減的，若下列條件成立：

（L1）D＋（φ0，V（t，x））≤g（t，（φ0，V（t，x）））， t≠tk，

（L2）（φ0，V（t＋，x＋Ik（x）））≤Jk（φ0，V（t，x））， t＝tk，

（L3）（φ0，V（t0，x0））≤u0， k＝1，2…，

則（φ0，V（t，x（t）））≤u＊（t），t≥t0，其中u＊是系統(tǒng)（4）的右行最大解.

證明：令m（t）＝（φ0，V（t，x）），因為m（t0）≤u0，通過第二比較定理［10］，有

又由Jk（x）單調非減及引理1（L2），條件（5）得

可得m（t）≤u＊（t），t0≤t≤t2.

由數學歸納法知

2 主要結果

定理1 假設V（t，x）∈V0，引理1的所有條件都成立并且滿足下列條件：

則系統(tǒng)（3）零解的等度積分穩(wěn)定蘊含系統(tǒng)（1）零解的等度積分φ0 －穩(wěn)定.

證明：因為系統(tǒng)（3）的零解是等度積分穩(wěn)定的，則對α≥0，t0∈R＋，存在β（t0，α）≥0，α，β∈K，使得當T＞0，

其中u＊（t）＝u＊（t，t0，u0）是系統(tǒng)（4）的右行最大解.

令‖h（t，x＊）‖＝M1p（t），‖Mk（x＊）‖＝M2Nk（u），其中M1，M2＞0為常數，u0＝（φ0，V（t0，x0）），φ0∈，因此

其中x＊（t）＝x＊（t，t0，x0）為系統(tǒng)（2）的右行最大解.

由引理1知

由引理1的條件（L1）和定理1的條件（H2）可得

對φ0∈，由式（9），（10）得

因此通過條件（H1）和不等式（7），（11）得

令α＊＝min｛α，M1α，M2α｝，當T＞0，

有（φ0，x＊）＜β＊.因此系統(tǒng)（1）的零解是等度積分φ0 －穩(wěn)定的.

定理2 假設V（t，x）∈V0，引理1的所有條件都成立，定理1的條件（H2）成立，φ0∈K＊0，（t，x）∈R＋×S（ρ），且還滿足下列條件：

（H3）a（（φ0，x））≤（φ0，V（t，x）），a－1（q）＝q，a∈K，

（H4）b（‖x‖）≤（φ0，V（t，x）），b∈K，

則系統(tǒng)（3）零解的等度漸近積分穩(wěn)定蘊含系統(tǒng)（1）零解的等度漸近積分φ0 －穩(wěn)定.

證明：因為（H3）蘊含（H1），系統(tǒng)（3）的零解是等度漸近積分穩(wěn)定的，首先，由定理1知系統(tǒng)（1）的零解是積分φ0 －穩(wěn)定的.其次，系統(tǒng)（3）的零解是吸引的，對ε＞0，t0∈R＋，存在

α＝α（t0）＞0，T＝T（t0，ε）＞0，γ＝γ（t0，α，ε），

使得當u0≤α，

其中u＊（t）＝u＊（t，t0，u0）是系統(tǒng)（4）的右行最大解.

當（φ0，V（t0，x0））≤u0時，有‖x‖→0（t→∞）.

假設上式不成立，則存在一個序列｛t（n）｝，t（n）≥t0＋T，使得當t（n）→0（t→∞）時，有

由引理1得

由（H4），式（12），（13），（14）得

b（ε）≤b（‖x（t（n））‖）≤（φ0，V（t（n），x（t（n），t0，x0））≤u＊（t（n），t0，u0）＜b（ε），

產生矛盾，因此‖x‖→0（t→∞），從而有（φ0，x）→0（t→∞）.

令‖h（t，x＊）‖＝N1p（t），‖Mk（x＊）‖＝N2Nk（u），其中N1，N2＞0為常數，因此

其中x＊（t）＝x＊（t，t0，x0）是系統(tǒng)（2）的右行最大解.

令γ＊＝min｛N1γ，N2γ｝，當T＞0，

時，有（φ0，x＊）＜ε.因此系統(tǒng)（1）的零解是等度漸近積分φ0 －穩(wěn)定的.

［1］ LAKSHMIKANTHAM V，LEELA S.Differential and integral inequalities［M］.New York：New York Academic Press，1969.

［2］ HRISTOVA S G.Integral stability in terms of two measures for impulsive functional differential equations［J］.Math Comput Modelling，2010，51：100－108.

［3］ HRISTOVA S G.Integral stability in terms of two measures for impulsive differential equations with“supremum”［J］.Comm Appl Nonlinear Anal，2009，16（3）：37－49.

［4］ 郭飛.脈沖混合微分系統(tǒng)關于兩側度的穩(wěn)定性分析［D］.濟南：山東師范大學，2003.GUO Fei.Stability analysis for impulsive differential hybrid systems in terms of two mesaures［D］.Ji'nan：Shandong Normal University，2003.

［5］ VRKOC I.Integral stability［J］.Czechoslovak Math，1959，09（1）：71－129.

［6］ MARTYNYUK A A.On integral stability and Lipschitz stability of motion［J］.Ukrainian Math J，1997，49（1）：84－92.

［7］ HRISTOVA S G，RUSSINOV I K.φ0－Integral stability in terms of two measures for differential equations［J］.Math Balkanica，2009，23（1－2）：133－144.

［8］ 樊永艷，張靜.脈沖交混合系統(tǒng)的積分φ0－穩(wěn)定［J］.滄州師范學院學報，2013，29（2）：2095－2910.

［9］ SOLIMAN A A，ABDALLA M H.Integral stability criteria of nonlinear differential systems［J］.Math Comput Modelling，2008，48：258－267.

［10］ 尤秉禮.常微分方程補充教程［M］.北京：人民教育出版社，1981.