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    脈沖微分系統(tǒng)的等度積分φ0-穩(wěn)定

    2014-07-24 05:51:48王培光劉曉靜
    關鍵詞:零解微分脈沖

    王培光,劉曉靜

    (1.河北大學 電子信息工程學院,河北 保定 071002;2.河北大學 數學與計算機學院,河北 保定 071002)

    本文利用錐值Lyapunov函數和比較方法討論了如下脈沖微分系統(tǒng)零解的積分φ0 -穩(wěn)定性:

    和它的擾動系統(tǒng)

    其中f,h∈PC[R+×S(ρ),Rn],Ik,Mk∈C[S(ρ),Rn],f(t,0)=h(t,0)=Ik(t,0)=Mk(t,0)≡0,0≤t0<t1<t2<…<tk…,limk→∞tk=∞,k=1,2,….

    近年來積分穩(wěn)定性理論得到了快速發(fā)展[1-6],但是,到目前為止關于積分φ0 -穩(wěn)定性的研究并不多見[7-9].本文主要討論了脈沖微分系統(tǒng)零解的等度積分φ0 -穩(wěn)定性.

    1 預備知識

    定義1 Rn中的子集K 稱為錐,如果滿足如下條件:(i)λK?K,λ≥0;(ii)K+K?K;(iii)K=(iv)K0≠Φ;(v)K∩(-K)=0,其中,K0及?K 分別表示K 的閉包,內部和邊界.

    定義2 稱集合K*={φ0:φ0∈Rn,對任意x∈K,(φ0,x)≥0}為K 的伴隨錐,如果K*滿足定義1中條件(i)-(v).

    通過以上定義可得x∈?K 當且僅當存在φ∈K*0,K0=K-{0},(φ,x)=0.

    為方便起見,給出如下函數類:

    S(ρ)={x∈K:‖x‖<ρ,ρ>0}.

    K={b∈C[[0,ρ),R+],b(0)=0,且b(r)關于r是嚴格遞增的}.

    PC={f:R+×S(ρ)→Rn在區(qū)間(tk,tk+1]×Rn上連續(xù),且極限存在}.

    下面利用比較方法研究脈沖微分系統(tǒng)零解的等度積分φ0 -穩(wěn)定性準則.為此,考慮如下比較脈沖微分方程

    和它的擾動微分方程

    其中g∈PC[R+×R+,R+],p(t)∈PC[R+,R+],Jk,Nk∈C[R+,R+],R+=[0,+∞),g(t,0)=Jk(t,0)≡0,0≤t0<t1<t2<…<tk…,limk→∞tk=∞,k=1,2,….

    下面給出函數類V0的定義:

    V0={V(t,x)∈PC[R+×S(ρ),K]:V 在(tk,tk+1]×S(ρ)上連續(xù)2,…,V(t,x)對任意的t關于x 滿足局部Lipshitzian條件}.

    定義3 設V∈V0,定義

    定義4 稱系統(tǒng)(1)的零解

    (IS1)是等度積分φ0 -穩(wěn)定的,如果對任意α≥0,t0∈R+,存在函數β(t0,α)≥0,其中β在t0上是連續(xù)的,α,β∈K,使得當φ0∈,(φ0,x0)≤α,T>0.

    有(φ0,x*(t))<β,其中x*(t)=x*(t,t0,x0)是系統(tǒng)(2)的右行最大解.

    (IS2)是一致積分φ0 -穩(wěn)定的,如果(IS1)中的α,β都與t0無關.

    (IS3)是φ0 -吸引的,如果對任意的ε>0,α≥0,t0∈R+,存在函數β(t0,α)≥0,其中β在t0上是連續(xù)的,T=T(t0,α,ε),γ=γ(t0,α,ε),使得當φ0∈K*0,(φ0,x0)≤α,T>0,

    有(φ0,x*(t))<ε,t≥t0+T,其中x*(t)=x*(t,t0,x0)是系統(tǒng)(2)的右行最大解.

    (IS4)是一致φ0 -吸引的,如果(IS3)中的T,γ都與t0無關.

    (IS5)是等度漸近積分φ0 -穩(wěn)定的,如果(IS1),(IS3)都成立.

    (IS6)一致漸近等度積分φ0 -穩(wěn)定的,如果(IS2),(IS4)都成立.

    注1 稱系統(tǒng)(3)的零解是等度積分穩(wěn)定的,如果對任意α≥0,t0∈R+,存在t0上連續(xù)的函數β(t0,α)≥0,α,β∈K,使得當‖x0‖≤α,T>0,

    有‖x(t)‖<β,t≥t0,其中x(t)=x(t,t0,x0)是系統(tǒng)(4)的解.其他積分穩(wěn)定定義可以類似給出,不再贅述.

    為得到主要結果,可有如下引理.

    引理1 令φ0∈,V∈V0,g∈PC(R+×R+,R+),Jk(x)是單調非減的,若下列條件成立:

    (L1)D+(φ0,V(t,x))≤g(t,(φ0,V(t,x))), t≠tk,

    (L2)(φ0,V(t+,x+Ik(x)))≤Jk(φ0,V(t,x)), t=tk,

    (L3)(φ0,V(t0,x0))≤u0, k=1,2…,

    則(φ0,V(t,x(t)))≤u*(t),t≥t0,其中u*是系統(tǒng)(4)的右行最大解.

    證明:令m(t)=(φ0,V(t,x)),因為m(t0)≤u0,通過第二比較定理[10],有

    又由Jk(x)單調非減及引理1(L2),條件(5)得

    可得m(t)≤u*(t),t0≤t≤t2.

    由數學歸納法知

    2 主要結果

    定理1 假設V(t,x)∈V0,引理1的所有條件都成立并且滿足下列條件:

    則系統(tǒng)(3)零解的等度積分穩(wěn)定蘊含系統(tǒng)(1)零解的等度積分φ0 -穩(wěn)定.

    證明:因為系統(tǒng)(3)的零解是等度積分穩(wěn)定的,則對α≥0,t0∈R+,存在β(t0,α)≥0,α,β∈K,使得當T>0,

    其中u*(t)=u*(t,t0,u0)是系統(tǒng)(4)的右行最大解.

    令‖h(t,x*)‖=M1p(t),‖Mk(x*)‖=M2Nk(u),其中M1,M2>0為常數,u0=(φ0,V(t0,x0)),φ0∈,因此

    其中x*(t)=x*(t,t0,x0)為系統(tǒng)(2)的右行最大解.

    由引理1知

    由引理1的條件(L1)和定理1的條件(H2)可得

    對φ0∈,由式(9),(10)得

    因此通過條件(H1)和不等式(7),(11)得

    令α*=min{α,M1α,M2α},當T>0,

    有(φ0,x*)<β*.因此系統(tǒng)(1)的零解是等度積分φ0 -穩(wěn)定的.

    定理2 假設V(t,x)∈V0,引理1的所有條件都成立,定理1的條件(H2)成立,φ0∈K*0,(t,x)∈R+×S(ρ),且還滿足下列條件:

    (H3)a((φ0,x))≤(φ0,V(t,x)),a-1(q)=q,a∈K,

    (H4)b(‖x‖)≤(φ0,V(t,x)),b∈K,

    則系統(tǒng)(3)零解的等度漸近積分穩(wěn)定蘊含系統(tǒng)(1)零解的等度漸近積分φ0 -穩(wěn)定.

    證明:因為(H3)蘊含(H1),系統(tǒng)(3)的零解是等度漸近積分穩(wěn)定的,首先,由定理1知系統(tǒng)(1)的零解是積分φ0 -穩(wěn)定的.其次,系統(tǒng)(3)的零解是吸引的,對ε>0,t0∈R+,存在

    α=α(t0)>0,T=T(t0,ε)>0,γ=γ(t0,α,ε),

    使得當u0≤α,

    其中u*(t)=u*(t,t0,u0)是系統(tǒng)(4)的右行最大解.

    當(φ0,V(t0,x0))≤u0時,有‖x‖→0(t→∞).

    假設上式不成立,則存在一個序列{t(n)},t(n)≥t0+T,使得當t(n)→0(t→∞)時,有

    由引理1得

    由(H4),式(12),(13),(14)得

    b(ε)≤b(‖x(t(n))‖)≤(φ0,V(t(n),x(t(n),t0,x0))≤u*(t(n),t0,u0)<b(ε),

    產生矛盾,因此‖x‖→0(t→∞),從而有(φ0,x)→0(t→∞).

    令‖h(t,x*)‖=N1p(t),‖Mk(x*)‖=N2Nk(u),其中N1,N2>0為常數,因此

    其中x*(t)=x*(t,t0,x0)是系統(tǒng)(2)的右行最大解.

    令γ*=min{N1γ,N2γ},當T>0,

    時,有(φ0,x*)<ε.因此系統(tǒng)(1)的零解是等度漸近積分φ0 -穩(wěn)定的.

    [1] LAKSHMIKANTHAM V,LEELA S.Differential and integral inequalities[M].New York:New York Academic Press,1969.

    [2] HRISTOVA S G.Integral stability in terms of two measures for impulsive functional differential equations[J].Math Comput Modelling,2010,51:100-108.

    [3] HRISTOVA S G.Integral stability in terms of two measures for impulsive differential equations with“supremum”[J].Comm Appl Nonlinear Anal,2009,16(3):37-49.

    [4] 郭飛.脈沖混合微分系統(tǒng)關于兩側度的穩(wěn)定性分析[D].濟南:山東師范大學,2003.GUO Fei.Stability analysis for impulsive differential hybrid systems in terms of two mesaures[D].Ji'nan:Shandong Normal University,2003.

    [5] VRKOC I.Integral stability[J].Czechoslovak Math,1959,09(1):71-129.

    [6] MARTYNYUK A A.On integral stability and Lipschitz stability of motion[J].Ukrainian Math J,1997,49(1):84-92.

    [7] HRISTOVA S G,RUSSINOV I K.φ0-Integral stability in terms of two measures for differential equations[J].Math Balkanica,2009,23(1-2):133-144.

    [8] 樊永艷,張靜.脈沖交混合系統(tǒng)的積分φ0-穩(wěn)定[J].滄州師范學院學報,2013,29(2):2095-2910.

    [9] SOLIMAN A A,ABDALLA M H.Integral stability criteria of nonlinear differential systems[J].Math Comput Modelling,2008,48:258-267.

    [10] 尤秉禮.常微分方程補充教程[M].北京:人民教育出版社,1981.

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