時間周期線性擾動系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性分析

李 卓， 李 霞

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

穩(wěn)定性理論是研究時間趨于無窮時微分方程解的性態(tài)，它在自然科學(xué)、工程技術(shù)、環(huán)境生態(tài)、社會經(jīng)濟(jì)等方面有著廣泛的應(yīng)用[1]。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題較容易討論，也是研究一般非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。常系數(shù)線性系統(tǒng)具有兩個基本特征：系統(tǒng)是定常的、線性的。由于這兩個特點(diǎn)，常系數(shù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性幾乎可用線性代數(shù)的工具進(jìn)行處理。關(guān)于常系數(shù)線性擾動系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論如下：

令

其中ai，j是實(shí)數(shù)（i，j＝1，2，…，n），x＝（x1，x2，…，xn）T∈Rn。

定理1[2]設(shè)f（t，x）在I×U 上連續(xù)，關(guān)于x 滿足Lipschitz 條件，且對t 一致地有

非自治線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性比較復(fù)雜。在這方面的主要研究方法是根據(jù)系統(tǒng)的特征構(gòu)造相應(yīng)的Liapunov 函數(shù)（v 函數(shù)）：如用“類比方法”給出了一類非線性自治系統(tǒng)的Liapunov 函數(shù)，得到方程解漸近穩(wěn)定的充要條件[3]；利用一般分離變量型v 函數(shù)，證明了一般高維非線性自治微分方程組解的全局穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性定理[4]。對于非線性自治系統(tǒng)的擾動系統(tǒng)，借助于K 類函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，提出了控制函數(shù)對的概念，在此基礎(chǔ)上，討論其零解的穩(wěn)定性問題[5]；或是研究未擾系統(tǒng)或特殊擾動系統(tǒng)，如研討若干擾動微分系統(tǒng)的Lipschitz穩(wěn)定性和指數(shù)漸近穩(wěn)定性[6]。用矩陣的Lozinskii 測度的方法，得到線性常微分方程系統(tǒng)的某些穩(wěn)定性準(zhǔn)則，導(dǎo)出了關(guān)于線性系統(tǒng)=A（t）x 穩(wěn)定性的充要條件[7]；對于周期變系數(shù)常微分方程組描述的動力系統(tǒng)，建立了穩(wěn)定性分析的Liapunov 指數(shù)的判別準(zhǔn)則[8]。對微分方程零解穩(wěn)定性的研究極其廣泛，也有著重要的應(yīng)用[9-11]。

筆者對周期線性擾動系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性進(jìn)行研究， 是對常系數(shù)線性擾動系統(tǒng)零解穩(wěn)定性研究的推廣。文中主要結(jié)論是：在一定條件下，當(dāng)周期線性擾動系統(tǒng)的擾動項(xiàng)是關(guān)于||x||的高階無窮小時，周期線性擾動系統(tǒng)與未擾動系統(tǒng)的零解具有相同的穩(wěn)定性，而且將這個結(jié)論應(yīng)用于某一類具體的周期線性擾動系統(tǒng)中，取得了較好的結(jié)論。

1 主要結(jié)論

先考慮周期線性系統(tǒng)

其中A（t）＝（aij（t））n×n，滿足A（t+T）＝A（t），是以T 為周期的連續(xù)周期函數(shù)。記系統(tǒng)（2）的基本解矩陣為Φ（t）。

引理1[12]存在非奇異可微周期矩陣P（t），以及一個常數(shù)矩陣Q，使Φ（t）＝P（t）eQt。

證明容易驗(yàn)證Φ（t+T）也是系統(tǒng)（2）的一個基本解矩陣，所以有非奇異的常數(shù)矩陣C，使Φ（t+T）＝Φ（t）C。令Q 是滿足eQT＝C 的常數(shù)矩陣，再取P（t）＝Φ（t）e-Qt。由于P（t）是基本解矩陣Φ（t）和指數(shù)矩陣e-Qt的乘積，所以P（t）是可微的非奇異矩陣，且P（t）滿足

作變量替換，x＝P（t）y=Φ（t）e-Qty，由于

故新變量滿足的方程組為

即將系統(tǒng)（2）零解的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為線性常系數(shù)系統(tǒng)（3）零解的穩(wěn)定性問題。

定義1非奇異的常值矩陣C＝eQT的特征值λ1，…，λn稱為系統(tǒng)（2）的特征乘數(shù)，而把矩陣Q 的特征值ρ1，…，ρn稱為系統(tǒng)（2）的特征指數(shù)。

引理2[2]若矩陣Q 的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)（3）的零解漸近穩(wěn)定；若Q 的所有特征指數(shù)均具有非正實(shí)部，且其具有零實(shí)部的特征值僅對應(yīng)單重初等因子，則系統(tǒng)（3）的零解是穩(wěn)定的；若矩陣Q 有正實(shí)部的特征指數(shù)，或有對應(yīng)多重初等因子的零實(shí)部，則系統(tǒng)（3）的零解是不穩(wěn)定的。

引理3[2]若矩陣A 的特征值λi均滿足λi+λj≠0（i，j＝1，2，…，n），則對任意的實(shí)對稱矩陣H，存在唯一的實(shí)對稱陣B 滿足ATB+BA=H，其中AT表示A 的轉(zhuǎn)置。

對于周期線性擾動系統(tǒng)

其中A（t）＝A（t+T），f（t，x）＝f（t+T，x），將用經(jīng)典的Liapunov 函數(shù)構(gòu)造法研究其零解的穩(wěn)定性。在此之前，給出兩個零解穩(wěn)定性的判別定理。

引理4[1]若有原點(diǎn)的鄰域U 以及正定函數(shù)V（x），使得沿系統(tǒng)軌道的全導(dǎo)數(shù)（x）負(fù)定，則該系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定。

引理5[2]若有原點(diǎn)的鄰域U 以及正定函數(shù)V（x），使得沿系統(tǒng)軌道的全導(dǎo)數(shù)（x）滿足（x）＝λV（x）+W（x），其中λ＞0，W（x），且V（x）不是半負(fù)定的，則該系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)定的。

定理2設(shè)f（t，x）在I×U 上連續(xù)，關(guān)于x滿足Lipschitz條件，關(guān)于t連續(xù)。若對于任意t滿足則當(dāng)系統(tǒng)（2）的特征指數(shù)沒有零實(shí)部的特征值時，系統(tǒng)（4）的零解和系統(tǒng)（2）的零解具有相同的穩(wěn)定性。

證明做變量替換x＝P（t）y ＝Φ（t）e-Qty（Φ（t）為系統(tǒng)（2）的基本解矩陣，P（t）為非奇異可微周期矩陣），由于

故新變量滿足的方程組為

若系統(tǒng)（2）的零解漸近穩(wěn)定，由于x＝P（t）y，其中P（t）是非奇異的可微周期矩陣，||P（t）||在（-∞，+∞）上都是有界的，則系統(tǒng)（3）的零解漸近穩(wěn)定。由引理2，Q 的特征值均有負(fù)實(shí)部。由引理3，對n 階單位矩陣E，存在唯一的矩陣B，滿足方程QTB+BQ=-E。容易證得V（y）＝y(tǒng)TBy 必是正定的。

將V（y）＝y(tǒng)TBy 沿系統(tǒng)（5）求全導(dǎo)數(shù)，可得

若系統(tǒng)（2）的零解不穩(wěn)定，由于x＝P（t）y，其中P（t）是非奇異的可微周期矩陣，||P（t）||在（-∞，+∞）上都是有界的，則系統(tǒng)（3）的零解不穩(wěn)定。由于Q 的特征值沒有零實(shí)部，由引理2，Q 的特征值中至少有一個為正實(shí)部，設(shè)為λ0，Reλ0>0。因此，可選取常數(shù)α>0 使得A-（α/2）E 的所有特征值滿足引理3 的假設(shè)，所以，存在唯一的矩陣B，滿足方程（A-α/2E）TB+B（A-α/2E）＝E。

令V（y）＝y(tǒng)TBy，沿系統(tǒng)（5）求全導(dǎo)數(shù)得

同上，可證得對ε>0 有δ>0，當(dāng)||y||<δ 時一致地有

所以當(dāng)系統(tǒng)（2）的特征指數(shù)沒有零實(shí)部的特征值時，系統(tǒng)（4）的零解和系統(tǒng)（2）的零解具有相同的穩(wěn)定性。

2 定理的應(yīng)用

在時間周期線性擾動系統(tǒng)中，因?yàn)樵黾恿藬_動項(xiàng)，在絕大多數(shù)情況下，無法求出其具體的解。下面的例子說明上述定理在高階擾動系統(tǒng)中的一個實(shí)際應(yīng)用。利用文中的定理，在不求出解的前提下，可以判斷其零解的穩(wěn)定性。

討論微分方程組

零解的穩(wěn)定性。

解首先考慮

經(jīng)過計(jì)算可求出方程組（7）的基本解矩陣為

Φ（t+2π）也是方程組（7）的基本解矩陣，且滿足Φ（t+2π）＝Φ（t）C，所以

所以滿足eQt＝C 的常數(shù)矩陣因?yàn)镼 的特征值為a-1，-1，所以當(dāng)a＜1 時，方程組（7）的零解漸近穩(wěn)定；當(dāng)a＞1 時，方程組（7）的零解不穩(wěn)定；當(dāng)a＝1 時，根據(jù)定理2，方程組（7）的零解穩(wěn)定性無法判斷。

由于

由定理2，方程組（6）與方程組（7）的零解有相同的穩(wěn)定性，即當(dāng)a＜1 時，方程組（6）的零解漸近穩(wěn)定；當(dāng)a＞1時，方程組（6）的零解不穩(wěn)定；當(dāng)a＝1 時，根據(jù)定理2，方程組的零解穩(wěn)定性無法判斷。