混合次分數(shù)布朗運動下交換期權(quán)的定價

徐 峰，李潤澤

(1.蘇州市職業(yè)大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 蘇州 215104；2.湖南大學(xué) 經(jīng)貿(mào)學(xué)院，湖南 長沙 410006)

隨著期權(quán)定價模型研究的不斷深入，不少學(xué)者開始考慮用修正的分數(shù)布朗運動來描述股票價格的變化行為，如次分數(shù)布朗運動。T.Bojdecki等[1]、C.Tudor[2-3]先后研究了次分數(shù)布朗運動，并指出次分數(shù)布朗運動具有分數(shù)布朗運動類似的許多性質(zhì)，如自相似性、增量相關(guān)以及長記憶性等。由于次分數(shù)布朗運動的這些性質(zhì)，所以用次分數(shù)布朗運動也可以刻畫股票價格的行為模式。Yan Litan等[4]給出次分數(shù)布朗運動下的It?公式，并將之推廣到多維的情形。肖煒麟等[5]給出了次分數(shù)布朗運動下帶交易費用的備兌權(quán)證定價的公式，并通過數(shù)值模擬檢驗了長記憶性對定價結(jié)果有顯著的影響。N.C.El等[6]引入一個新的過程，即混合次分數(shù)布朗運動，它是由一個次分數(shù)布朗運動和一個布朗運動共同構(gòu)成的線性組合，并證明在次分數(shù)布朗運動和布朗運動獨立的情況下，當(dāng)Hurst參數(shù)H∈(3/4，1)時，混合次分數(shù)布朗運動是一個半鞅，等價于布朗運動。為了刻畫金融資產(chǎn)的長記憶性，本文假定股票價格遵循混合次分數(shù)布朗運動過程，利用隨機分析理論，得到混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下交換期權(quán)價格所滿足的Black-Scholes偏微分方程，并通過求解該偏微分方程，給出了交換期權(quán)的定價公式.本文假定1/2＜H＜1。

1 混合次分數(shù)型It?公式

在這一部分，將文獻[4]中給出的次分數(shù)型I t ?公式推廣到混合次分數(shù)型I t ?公式。記則過程{X(t)│t≥0}為混合次分數(shù)布朗運動，它的一些性質(zhì)參見文獻[6]。

定理1 假定且，均屬于L2(P)，則有

證明 由于根據(jù)泰勒展開并整理可得

由于，所可以近似地認為且和Bt獨立，所以，代入式(1)并忽略高階無窮小，則有

從而定理1成立。

2 混合次分數(shù)布朗運動環(huán)境下交換期權(quán)的定價模型

假設(shè)金融市場中有3種證券，1種是無風(fēng)險資產(chǎn)，即債券，其價格滿足

2種是風(fēng)險資產(chǎn)，如股票，i種風(fēng)險資產(chǎn)的價格滿足

式(3)中：r，μi，σi，εi(i=1，2)為常數(shù)；BH(t)為概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的Hurst參數(shù)為H的次分數(shù)布朗運動；B(t)為布朗運動，這里假設(shè)BH(t)和B(t)相互獨立。

定理2 隨機微分方程(3)的解為

式中i=1，2。

證明 記

定理3 假設(shè) F (? ,?,?)∈ C1,2,1(R × R × R →R)是未定權(quán)益的價值過程，則混合次分數(shù)布朗運動環(huán)境+下的Black-Scholes偏微分方程為

證明 假設(shè) Ft=F( t , S1,S2)，由定理1和定理2有

構(gòu)造一個自融資投資策略，則財富過程從而

比較式(6)和式(7)可得

根據(jù)可得從而定理3得證。

3 模型的求解

交換期權(quán)可視為T時刻到期的未定權(quán)益下面給出混合次分數(shù)布朗運動環(huán)境下交換期權(quán)的定價公式。

定理4 假設(shè)股票價格滿足式(3)，到期日為T，則交換期權(quán)V(t，S1，S2)在任意t時刻的價格為

證明 由定理3知，交換期權(quán)的價格V(t，S1，S2)滿足偏微分方程(5)，即初始條件為

下面采用變量替換將式(8)轉(zhuǎn)化成一個Cauchy問題，令通過計算得

將上式代入式(8)并整理可得

令x=lnZ，則式(9)可以寫成

進一步地，令U(Z，t)=u(η，τ)，η=x+α(t)，τ=ρ(t)，則有

將式(11)代入式(10)，則有

假設(shè)

則有

將式(13)代入式(12)，則有

式中邊界條件為

根據(jù)熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解理論，方程(14)存在唯一強解

通過計算可得

將變量反代入即可證得定理4成立。

4 結(jié)論

本研究采用混合次分數(shù)布朗運動刻畫股票價格的變化過程，研究混合次分數(shù)布朗運動環(huán)境下交換期權(quán)的定價模型，通過求解偏微分方程得到了期權(quán)定價公式的顯式解。該模型也可應(yīng)用于研究其他期權(quán)的定價，如利差期權(quán)、亞式期權(quán)等。

參考文獻：

[1]BOJDECKI T，GOROSTIZA L G，TALARCZYK A.Sub-fractional Brownian motion and its relation to occupation times[J].Statistics and Probability Letters，2004，69：405-419.

[2]TUDOR C.Some properties of the sub-fractional Brownian motion[J].Stochastics，2007，79(5)：431-448.

[3]TUDOR C.Inner product spaces of integrands associated to sub-fractional Brownian motion[J].Statistics and Probability Letters，2008，78(14)：2201-2209.

[4]YAN Litan，SHEN Guangjun，HE Kun.It?′s formula for the sub-fractional Brownian motion[J].Communication on Stochastic Analysis，2011，5(1)：135-159.

[5]肖煒麟，張衛(wèi)國，徐維軍.次分數(shù)布朗運動下帶交易費用的備兌權(quán)證定價[J].中國管理科學(xué)，2014，22(5)：1-6.

[6]EL N C，ZIL I M.On the sub-mixed fractional Brownian motion[J].Appl.Math.J.Chinese Univ.，2015，30(1)：27-43.