高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點體會及翻轉(zhuǎn)式教學(xué)法探析

武躍祥 周雪艷 高卓艷

【摘要】本文先談了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點體會，然后結(jié)合大班授課、小班輔導(dǎo)的授課方式對大數(shù)據(jù)時代背景下翻轉(zhuǎn)課堂在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進行了探析.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);教學(xué)體會，翻轉(zhuǎn)式教學(xué)法

【基金項目】山西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題（GH—19033），山西財經(jīng)大學(xué)教學(xué)改革創(chuàng)新項目2019243

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點體會

高等數(shù)學(xué)一直在物理、化學(xué)、計算機等學(xué)科中起著重要作用，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及大數(shù)據(jù)時代的到來，高等數(shù)學(xué)更是在很多新興學(xué)科以及一些交叉學(xué)科中發(fā)揮著越來越重要的作用.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，筆者認(rèn)為應(yīng)注重以下幾方面的教學(xué).

1.目前有相當(dāng)一部分教師不太重視對數(shù)列極限和函數(shù)極限概念花很多時間去認(rèn)真仔細地給學(xué)生做講解，或者說重視程度不夠.我們認(rèn)為講解好極限概念是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中頭等重要的事.因為只有深刻理解了極限概念，才能進一步理解好后面的函數(shù)連續(xù)性、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、一元及多元的積分等概念，函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可導(dǎo)性以及函數(shù)的可積性等就是特殊形式的極限.

比如，極限概念的教學(xué)，我對數(shù)列極限或函數(shù)極限有深刻的體會，學(xué)生如果能對極限概念掌握得好，那么將對本課程后續(xù)知識的學(xué)習(xí)起到關(guān)鍵性作用.數(shù)列極限中的ε-N的定義，ε和N有著豐富的思想內(nèi)涵，其中正數(shù)ε既有任意性又有確定性，ε的任意性說明了ε“要有多小就有多小”，反映了數(shù)列an與常數(shù)a“想有多近就有多近”，但是在這個過程的任意一個階段，ε給定后又成為一個相對確定的數(shù).自然數(shù)N既具有與ε的對應(yīng)性又存在可變性，N的大小由ε確定，ε越小，N往往越大，但N又不是唯一的，ε的任意性和相對確定性深刻反映了極限概念中的靜止與運動、精確與近似、固定與變化、有限與無限之間的辯證關(guān)系，即用一系列的靜態(tài)去刻畫和把握動態(tài)，這種靜與動的辯證關(guān)系正符合事物發(fā)展變化的一般規(guī)律，ε的任意性表明極限是人們從近似中認(rèn)識精確的數(shù)學(xué)方法.

在高等數(shù)學(xué)中，極限是基礎(chǔ)，后續(xù)的許多概念都是以它為基礎(chǔ)的，如果這個概念理解不好或沒有理解，勢必影響后面的學(xué)習(xí)，所以，建議教師必須在這一部分多下功夫，必須讓學(xué)生對極限概念有一個很好的理解和認(rèn)識.除了對教材上的例子做講解外，對其中的習(xí)題也要做較多的講解，還可考慮從課外找些題來講.否則，將對他們以后的學(xué)習(xí)帶來不少麻煩.

2.對無窮小記號o（f（x））的理解，很多學(xué)生不理解這個記號的含義，它實際上是所有比f（x）高階無窮小的一個函數(shù)類，是一個集合的記號.另外，對無窮小代換方法求極限也要有足夠的重視.上課的時候，教師除給學(xué)生講解無窮小代換定理外，還需要強調(diào)一些應(yīng)用此定理的注意事項，乘除情況下一般沒啥問題，但和差情形下就得小心了，多用此定理做幾個例題，并指出幾個等價關(guān)系.講過此節(jié)以后，一定要強調(diào)讓學(xué)生學(xué)會和應(yīng)用好這個定理.有許多習(xí)題，如果用無窮小量代換方法求極限，就很簡單，但如果用洛必達法則來求則很麻煩，或者說求不出來，或者說雖然能求出來，但求的很費事.所以在教學(xué)中一定要注意這個問題.

3.此外就是如何正確使用微元法的問題.在談到這個話題時，要舉一個求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積問題，這個例子大部分教師沒給學(xué)生講過，可以說是一個失誤.因為不舉這個例子就說明不了正確使用微元法的問題.事實上，在一個小區(qū)間上所對應(yīng)的側(cè)面積不能看成圓柱的側(cè)面積.微元法問題貫串于一元和多元函數(shù)微積分的應(yīng)用中，如求面積、求體積、求做功、求長度、求質(zhì)心等許多問題.否則，學(xué)生會對微積分的應(yīng)用感到有些不相信，始終會抱有疑問.

4.關(guān)于微分方程問題，我們要特別注重與數(shù)學(xué)建模的聯(lián)系，要講解一些生動的數(shù)學(xué)模型.應(yīng)該特別注重對微分方程所求得的解做定性分析，研究這個解有何特性，在實踐中有何意義.這是目前在教學(xué)中所不太注意或者說欠缺的問題.也許是因為在講這一章時，已經(jīng)到了學(xué)期末，時間有點緊張.不管何種原因，學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解不夠好，失去了對這部分的興趣.

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中一定要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的教育，重視數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用的講解，避免一味地灌輸一些數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)公式，要合理地發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，適當(dāng)?shù)靥釂枌W(xué)生，提高學(xué)生的注意力和學(xué)習(xí)的積極性、主動性.

二、高等數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)式教學(xué)法

大數(shù)據(jù)時代背景下“翻轉(zhuǎn)課堂”在特定條件下因能比較有效地改善教學(xué)效果而廣受國內(nèi)外教育工作者的關(guān)注，當(dāng)前，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)已經(jīng)成為各大高校課堂的首選改革模式，作為多門學(xué)科中的重要工具的高等數(shù)學(xué)也應(yīng)該積極進行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)改革.

翻轉(zhuǎn)課堂模式在多個高等學(xué)校的部分課程中已經(jīng)積極開展起來，通過改變傳統(tǒng)教學(xué)中的師生角色和對課堂時間的重新規(guī)劃，實現(xiàn)了知識傳授和知識內(nèi)化的顛倒安排，完成了對傳統(tǒng)教學(xué)模式的改革創(chuàng)新.然而，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，目前大部分教師還不情愿進行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，他們在課堂上傳統(tǒng)講授已經(jīng)習(xí)慣了，覺得按自己的思路引導(dǎo)學(xué)生一步一步地學(xué)習(xí)知識就不錯，而進行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)單備課花的時間更多更費事不說，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性雖然強了，但學(xué)習(xí)效果對大部分學(xué)生來說并不一定好，他們說高等數(shù)學(xué)內(nèi)容有相當(dāng)大的難度，不是靠自學(xué)就能學(xué)好的.筆者認(rèn)為這些教師說的不是沒有一定道理，但也不是就完全沒必要進行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，個別內(nèi)容、個別知識還是可以進行翻轉(zhuǎn)教學(xué)的.目前，個別教師對高等數(shù)學(xué)的翻轉(zhuǎn)課堂實施情況也僅局限于傳統(tǒng)課堂上的講授時間的調(diào)整、師生互動次數(shù)上的調(diào)整.總之，高等數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂模式的應(yīng)用還遠遠不夠，如何推廣這種教學(xué)模式和推廣到什么程度使其效果發(fā)揮得更好必定還需我們做很多的努力.

在教學(xué)內(nèi)容方面，現(xiàn)今的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)仍然過于注重數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)與證明、數(shù)學(xué)計算以及解題的技巧，使數(shù)學(xué)知識變得更加抽象和枯燥，與現(xiàn)實生活中的實際問題有一定的距離.在授課過程中，任課教師過分強調(diào)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性， 使學(xué)生無法完全理解抽象的數(shù)學(xué)知識， 從而對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去一定的興趣.尤其在課堂上，任課教師和學(xué)生的互動一般都較少.

傳統(tǒng)的“大班授課、小班輔導(dǎo)”模式，主要是由主講教師對高等數(shù)學(xué)內(nèi)容進行大班講授，人數(shù)在90～200人不等;由助教或青年教師開設(shè)小班輔導(dǎo)課，40～50人，主要是通過歸納總結(jié)課堂知識、講解課后習(xí)題、課堂討論、叫學(xué)生上黑板做題等方式進行輔導(dǎo)，從做題中掌握高等數(shù)學(xué)知識.這種傳統(tǒng)的模式，在20世紀(jì)八九十年代曾經(jīng)普遍應(yīng)用過，當(dāng)時招生規(guī)模比較小，教學(xué)效果也非常好.但隨著招生規(guī)模的擴大，師資力量嚴(yán)重不足，就逐漸行不通了.許多學(xué)校因?qū)W生人數(shù)眾多，不得不把剛剛進校任教的青年教師拉上講臺主講高等數(shù)學(xué)，就這樣還常常顯得師資力量不足，更不用說給學(xué)生上小班輔導(dǎo)課了.自此以后，大多數(shù)高校就基本上沒有輔導(dǎo)課了，給學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)或多或少帶來了一些負(fù)面影響.

筆者認(rèn)為并不是高等數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容都適合用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)來取得好效果，比如極限概念、極限存在準(zhǔn)則、無窮小與無窮大、導(dǎo)數(shù)與微分概念、隱函數(shù)求導(dǎo)、泰勒公式、定積分、曲線積分與曲面積分等許多內(nèi)容就不適宜用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法，而個別內(nèi)容如極限運算法則、高階導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性判斷、向量及其運算、收斂級數(shù)性質(zhì)等不妨一試，即便使用翻轉(zhuǎn)教學(xué)法也得預(yù)先精心設(shè)計.進而如何將翻轉(zhuǎn)課堂應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)的部分學(xué)習(xí)內(nèi)容引便發(fā)了筆者的積極思考，對教授高等數(shù)學(xué)的一線任課教師來說也是一個極大的挑戰(zhàn)，經(jīng)過一段較長時間的分析、調(diào)研和總結(jié)，筆者將翻轉(zhuǎn)課堂需要注意的幾點闡述如下，以供讀者參考.

1.教師多方面發(fā)布學(xué)習(xí)內(nèi)容.

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)首先需要教師進行學(xué)習(xí)內(nèi)容的傳遞，可以通過課件、微課等來進行.教師要提前準(zhǔn)備視頻、課件等教學(xué)資源，這些資源可以由課程主講教師親自錄制或者查找，多渠道地搜集與教學(xué)內(nèi)容相符的視頻、網(wǎng)絡(luò)上優(yōu)秀的教育資源等.督促學(xué)生根據(jù)自己的條件和喜好選擇適合自己的方式進行學(xué)習(xí).這樣不僅提高了資源的利用率，還節(jié)省了人力、物力和財力，也使學(xué)生感受到眾多教師的教學(xué)方法和授課技巧，開闊學(xué)生的視野，給學(xué)生耳目一新的感覺，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

2.課中明確學(xué)習(xí)任務(wù).

分為三步：第一步，引導(dǎo)學(xué)生對收獲和疑問進行記錄;第二步，及時將遇到的疑難問題通過QQ、微信等方式傳送給老師，以便老師在課上做到心中有數(shù);第三步，根據(jù)學(xué)生反饋的情況，老師需要歸納整理，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識解決新問題，從而完成向新知識的過渡.

3.當(dāng)堂答疑，及時糾正學(xué)生理解上的錯誤，講解重難點問題.

4.課后通過電腦、QQ、微信等網(wǎng)絡(luò)平臺并利用現(xiàn)有手中的資源，及時地進行溝通輔導(dǎo)，因材施教.充分利用電腦、手機、QQ、微信等平臺課后解答學(xué)生的疑難問題，對學(xué)生隨手可及的資源有針對性地輔導(dǎo)，以加強對學(xué)習(xí)內(nèi)容的鞏固和對疑難問題的理解.

5課堂教學(xué)效果評價.

為了展示學(xué)習(xí)效果，在學(xué)生完成翻轉(zhuǎn)課堂學(xué)習(xí)之后，按照知識重點、難點等內(nèi)容合理地劃分時間段，適時組織學(xué)生在課堂上進行報告，分享取得成果的心得和體會，交流學(xué)習(xí)體驗.在成果交流中，報告人和非報告人之間最好能進行辯論和交流，且辯論得越激烈越好，教師一定不要打斷他們.在課堂直接進行匯報之后，教師和同學(xué)可在課堂上進行討論、評價，綜合打分.

6.學(xué)生自評，記錄整個學(xué)習(xí)過程，建立學(xué)習(xí)檔案.

首先，學(xué)生要進行自評.翻轉(zhuǎn)課堂不僅涉及學(xué)生的自學(xué)能力、獨立性，還涉及學(xué)生的合作能力、表達能力等.其次，老師要對學(xué)生整個的學(xué)習(xí)過程進行記錄，并建立學(xué)習(xí)檔案.記錄、建檔、評價的內(nèi)容涉及多個方面，在自學(xué)過程和小組學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)、學(xué)習(xí)時間安排、效果和成果展示等，真正的評價的作用在于提醒學(xué)生對知識和技能的掌握程度，強調(diào)學(xué)生在翻轉(zhuǎn)課堂學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)，強調(diào)了平時學(xué)習(xí)的重要性.

筆者認(rèn)為新時代背景下學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不能單純地依靠死記硬背，親自動手練習(xí)、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要方式.在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中，更加注重的是學(xué)生的主動性，是教師和學(xué)生之間的互動，是將課堂的主動權(quán)交給了學(xué)生，讓學(xué)生成為課堂的主人.有的人認(rèn)為，翻轉(zhuǎn)式學(xué)習(xí)是小學(xué)、中學(xué)的事，高等數(shù)學(xué)中還能進行翻轉(zhuǎn)式學(xué)習(xí)？事實上，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中進行翻轉(zhuǎn)式學(xué)習(xí)確實是很困難的，但有些內(nèi)容有些知識有時通過翻轉(zhuǎn)式學(xué)習(xí)，一方面能夠使學(xué)生獲得一些必要的數(shù)學(xué)知識，另一方面能夠培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的自信心，使學(xué)生在以后的發(fā)展中受益.

例如，在求∫dxx2x2-1的教學(xué)中，可首先把學(xué)生分成若干小組，讓他們先自主討論，然后分組匯報學(xué)習(xí)成果，最后分析其中的不足，選取較優(yōu)的解題方法.這樣我們把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，教師成為學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和組織者，從而較大地提高學(xué)習(xí)效率，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.以下是幾種代表性解法.

傳統(tǒng)教學(xué)中則是教師直接去講解，學(xué)生處于被動接受的地位，不便于發(fā)揮學(xué)生的主動性和積極性，翻轉(zhuǎn)式學(xué)習(xí)不僅激發(fā)了學(xué)生的興趣，還培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維和合作能力.

總之，新時代背景下把新的教育教學(xué)理念運用到高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中是至關(guān)重要的，這不僅要求教師要有淵博扎實的專業(yè)知識，還要改變教育教學(xué)觀念，有過硬的教學(xué)基本功，這就要求我們努力學(xué)習(xí)專業(yè)知識和教育理論，真正使自己更上一層樓.

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