應(yīng)用微積分研究對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)及其主要性質(zhì)

劉曉莉 戎海武 韓曉茹 苗晴

【摘要】對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是一對(duì)描述自然規(guī)律的重要基本初等函數(shù)，也是可用多種方法定義的數(shù)學(xué)概念之一.本文應(yīng)用微積分給出指數(shù)函數(shù)的定義，再給出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，研究和證明函數(shù)的主要性質(zhì)，助力學(xué)生以高視角來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義方法和運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)，了解微積分的更多應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;微積分;積分上限函數(shù);對(duì)數(shù)函數(shù);指數(shù)函數(shù)

一、引 言

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，數(shù)學(xué)定義是對(duì)事物本質(zhì)特征的內(nèi)涵和外延的確切而簡(jiǎn)要的說(shuō)明，其邏輯方法是數(shù)學(xué)的思維形式的具體表現(xiàn).數(shù)學(xué)的基本思維形式的判斷與推理通常以定理、法則、公式等方式表現(xiàn)出來(lái)，其基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)格定義.學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)定義，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展論證能力和空間想象能力的前提，也是增強(qiáng)智力的支撐點(diǎn).

歷史上，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù).16世紀(jì)末到17世紀(jì)初的歐洲，隨著天文學(xué)和航海的發(fā)展，需要處理的數(shù)據(jù)越來(lái)越大，計(jì)算也相對(duì)越來(lái)越復(fù)雜，改進(jìn)和簡(jiǎn)化數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急.數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾（John Napier，1550～1617）在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù).恩格斯曾經(jīng)將對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始及微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.

納皮爾在討論對(duì)數(shù)概念時(shí)，并沒(méi)有使用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，主要原因是在當(dāng)時(shí)還沒(méi)有明確的指數(shù)概念，指數(shù)符號(hào)也是在20多年后的1637年，由法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒開始使用和推廣的.直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系.

二、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的一般定義

現(xiàn)今，初等數(shù)學(xué)教材一般是先給出指數(shù)函數(shù)的定義，再給出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.首先回顧目前我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.

四、幾點(diǎn)說(shuō)明

有許多數(shù)學(xué)概念可以用多種方法定義，其函數(shù)表達(dá)式也有多種表示方式.例如，一般函數(shù)可以用冪級(jí)數(shù)表示，也就能以函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為基礎(chǔ)，給出函數(shù)的定義，并以微積分的相關(guān)理論探討函數(shù)的特征，推導(dǎo)其性質(zhì).又如，常微分方程初值問(wèn)題也可以確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系，以及含參量的積分和含參變量的數(shù)列極限都可以確定函數(shù)關(guān)系等，這些定義函數(shù)的新方法都是微積分應(yīng)用的拓展.

指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一，其概念和性質(zhì)無(wú)論在中學(xué)數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中都具有承前啟后的作用，是應(yīng)用范圍較廣的基礎(chǔ)內(nèi)容.關(guān)于指數(shù)函數(shù)的概念，直至大學(xué)數(shù)學(xué)中，也未給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，對(duì)無(wú)理指數(shù)冪的情形進(jìn)行深入探討，分析相關(guān)的原理.

大學(xué)數(shù)學(xué)作為一個(gè)完整的課程體系，應(yīng)讓學(xué)生在接受數(shù)學(xué)理論時(shí)，了解其背景知識(shí)，以及更多的數(shù)學(xué)分支，并能主動(dòng)地探索新知識(shí)的來(lái)龍去脈和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.本文應(yīng)用微積分定義和研究對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，利用變上限積分對(duì)指數(shù)函數(shù)重新進(jìn)行定義，以及推導(dǎo)相關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算法則，挖掘出隱藏其中的問(wèn)題，可使學(xué)生對(duì)微積分學(xué)的應(yīng)用有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，從而提高其思維能力和分析問(wèn)題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

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