《簡(jiǎn)單數(shù)陣2》教學(xué)實(shí)錄與反思

閆文娟 狄 飛

【教學(xué)內(nèi)容】

《“學(xué)數(shù)學(xué) 長(zhǎng)智慧”超市》“構(gòu)建等式1”第35～40頁(yè)。

【學(xué)情分析】

根據(jù)《構(gòu)建等式1》本身的編排，我們切分出四節(jié)新授課，分別如下表——

選數(shù)字構(gòu)建等式1 第一課時(shí) 第二課時(shí) 第三課時(shí) 第四課時(shí)內(nèi)容 和相等 簡(jiǎn)單數(shù)陣1 簡(jiǎn)單數(shù)陣2小房子數(shù)陣簡(jiǎn)單數(shù)陣3正方形數(shù)陣樣例 □+□=□+□

因此，上本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)有了構(gòu)建和相等的式子及利用和相等的式子填寫(xiě)簡(jiǎn)單數(shù)陣的基礎(chǔ)，在這節(jié)課中，希望進(jìn)一步應(yīng)用和相等的知識(shí)解決數(shù)陣問(wèn)題，進(jìn)一步積累排除數(shù)陣形狀干擾，分析實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維的抽象性和靈活性。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：學(xué)生能夠抽象出數(shù)陣中的基本結(jié)構(gòu)□=□+□。

難點(diǎn)：在把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，能夠有序地得到更多答案。

【教學(xué)方法】

提問(wèn)法、討論法、示范法。

【教學(xué)過(guò)程】

一、引入課題

師：把4、5、6、7、8分別填在下圖的○里，使每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)數(shù)的和相等。

師：上節(jié)課我們填寫(xiě)過(guò)一個(gè)蝴蝶數(shù)陣（如上圖），你們還記得是怎么填的嗎？

生：左邊填4、7，中間填8，右邊填5、6。

生：我想這樣填，左邊填6、7，中間填4，右邊填5、8。

生：老師，他們的意思其實(shí)就要讓左邊○里兩個(gè)數(shù)的和等于右邊○里兩個(gè)數(shù)的和。

師：為什么只要左邊兩個(gè)數(shù)的和等于右邊兩個(gè)數(shù)的和就可以？

生：中間這個(gè)數(shù)是重復(fù)計(jì)算的數(shù)，只要左邊的和等于右邊的和，再加同一個(gè)數(shù)，和還是會(huì)相等。

生：因?yàn)橹虚g這個(gè)數(shù)是“重復(fù)數(shù)”。去掉重復(fù)數(shù)，剩下部分的和相等就可以了。

小結(jié)：看來(lái)大家都有了經(jīng)驗(yàn)，我們?cè)谔顚?xiě)數(shù)陣的時(shí)候，要注意分辨“重復(fù)數(shù)”和“朋友數(shù)”。

二、探索新知

1.明確題意。

從1～9這九個(gè)數(shù)中，選五個(gè)填在下面圖形的○內(nèi)，使三角形頂點(diǎn)上三個(gè)數(shù)的和與正方形頂點(diǎn)上四個(gè)數(shù)的和相等。

師：誰(shuí)能跟大家講一講，這個(gè)題目要我們做什么？

生：三角形頂點(diǎn)上三個(gè)數(shù)的和等于正方形頂點(diǎn)上四個(gè)數(shù)的和。

（教師依言演示課件）

師：大家能不能自己試著來(lái)填一填？看看誰(shuí)的方法好？

2.一次探究。

（1）學(xué)生自主嘗試三分鐘。

（2）反饋與交流。

師：閆老師挑選了幾個(gè)比較有意思的作業(yè)，大家一起來(lái)看看。

（展示下圖左）

生：他是錯(cuò)的。

師：你怎么知道他是錯(cuò)的？

生：因?yàn)樗娜切胃旅娴恼叫渭悠饋?lái)是不相等的。5+2+1=8，2+1+6+7肯定比8大。

師：我們?cè)賮?lái)讀一讀題目。

（展示下圖右）

生：對(duì)了！

師：你們?cè)趺礄z查出來(lái)他是對(duì)的？

生：三角形是8+1+2=11。正方形是1+2+3+5=11。三角形數(shù)的和等于正方形數(shù)的和。

生：老師，我還有一種檢查的方法，你們看上面的8正好等于下面的3+5，這樣三角形數(shù)的和肯定等于正方形數(shù)的和了。

師：大家琢磨琢磨，他說(shuō)三角形這個(gè)頂點(diǎn)上的8和正方形這條底邊上的3+5相等，整個(gè)三角形和整個(gè)正方形就相等，你們覺(jué)得這樣可以嗎？

生：老師，我覺(jué)得可以。我發(fā)現(xiàn)中間這條邊是重復(fù)加的。

生：它是重復(fù)數(shù)。它們兩個(gè)是重復(fù)數(shù)！

生：房頂上這個(gè)數(shù)和下面的底邊是朋友數(shù)。

小結(jié)：把蝴蝶數(shù)陣?yán)锏暮棉k法搬過(guò)來(lái)了。原來(lái)中間是——重復(fù)數(shù)，而房頂上的○和底邊上兩個(gè)○是——朋友數(shù)。

師：這樣的話，我們可以怎么檢查？

引導(dǎo)檢查部分新作品——

師：那我們填寫(xiě)可以用上什么竅門？

生：朋友數(shù)相等，重復(fù)數(shù)隨便填。

生：和蝴蝶數(shù)陣一樣，先填和相等的部分，再把剩下的數(shù)填在重復(fù)的地方。

3.二次探究。

師：我們發(fā)現(xiàn)了重復(fù)數(shù)和朋友數(shù)的秘密了，那大家是不是能填得更好了？再試一次，我們還用三分鐘，比比誰(shuí)的答案又多又好。

（學(xué)生嘗試，組織反饋）

師：好了，時(shí)間到！你們填了幾個(gè)？5個(gè)？6個(gè)？還要多？

師：我們請(qǐng)?zhí)畹枚嗟耐瑢W(xué)先來(lái)介紹一下，為什么大家都掌握了重復(fù)數(shù)和朋友數(shù)的小秘密，他們會(huì)比我們填得多呢？

生：我先寫(xiě)好上面的9，下面寫(xiě)1和8；再寫(xiě)好9，下面寫(xiě)2和7；再寫(xiě)好 9，下面寫(xiě) 3和 6；再寫(xiě)好9……

師：誰(shuí)聽(tīng)懂他的意思了？他是怎么做的呀？

生：老師，我知道了，這個(gè)同學(xué)先分解9，上面是9，下面換朋友。

師：那你猜猜他接下來(lái)準(zhǔn)備分解誰(shuí)？上面寫(xiě)誰(shuí)？下面呢？

生：我也知道，我也知道。這個(gè)同學(xué)接下來(lái)上面會(huì)寫(xiě)8，下面寫(xiě)1和7；上面再寫(xiě)8，下面寫(xiě)2和6……把8分解完。

師：然后呢？

生：上面寫(xiě)7……

師：那你們覺(jué)得這個(gè)辦法好不好，好在哪里？

生：我覺(jué)得很好，他是有順序的來(lái)找一個(gè)數(shù)，然后拆成兩個(gè)數(shù)的和。

生：我要向他學(xué)習(xí)，這樣就不會(huì)重復(fù)了。9、8、7、6……

師：這個(gè)秘密知道的人還不少呢！這個(gè)同學(xué)也用到了有順序定頂點(diǎn)數(shù)的辦法，可是他比剛才的這位寫(xiě)得還多，這又是為什么呢？（出示部分?jǐn)?shù)陣圖）

生：我發(fā)現(xiàn)了,他頂點(diǎn)數(shù)和底邊數(shù)不變的時(shí)候，中間在換數(shù)。

生：他中間換的時(shí)候也是有順序的，有規(guī)律的。2和3，3和4，4和5，一個(gè)一個(gè)大起來(lái)。

師：這個(gè)同學(xué)除了找朋友數(shù)有規(guī)律，還有什么訣竅？

生：找重復(fù)數(shù)也有規(guī)律，有順序。

師：那我們照著他的樣子寫(xiě)一組7好不好。上面寫(xiě)7，下面可以寫(xiě)？這時(shí)候中間——

4.課堂總結(jié)。

師：想想我們今天這節(jié)課遇到了什么問(wèn)題？我們是怎么來(lái)解決今天這個(gè)問(wèn)題的？這節(jié)課你有什么收獲？

生：我們發(fā)現(xiàn)頂上的1個(gè)○等于底下的2個(gè)○。朋友數(shù)可能是一對(duì)一對(duì)的，也可能是一個(gè)對(duì)幾個(gè)的。

生：我們把中間的兩個(gè)數(shù)有順序換一換，原來(lái)的一種答案就變成很多種了

生：我知道了填寫(xiě)數(shù)陣不能光湊數(shù)，還是要先看一看有什么秘密，有沒(méi)有重復(fù)數(shù)和朋友數(shù)，這樣填起來(lái)又快又輕松。

小結(jié)：當(dāng)我們用火眼金睛看出數(shù)陣?yán)锏摹爸貜?fù)數(shù)”和“朋友數(shù)”，數(shù)陣就變簡(jiǎn)單了，所以觀察題目很重要。另外，知道了原理以后，有序的思考和填寫(xiě)，可以幫我們找到更多答案。

三、教學(xué)效果分析

為了驗(yàn)證教學(xué)的有效性，我們進(jìn)行了前后測(cè)。

1.課前在未作特別說(shuō)明的情況下，使用前測(cè)題目以了解學(xué)生在自發(fā)狀態(tài)下會(huì)如何應(yīng)對(duì)“小房子”數(shù)陣，以便確定教學(xué)的起點(diǎn)和序列。

前測(cè)題目是：從1～9這九個(gè)數(shù)中，選五個(gè)填在“小房子”數(shù)陣的○內(nèi)，使三角形頂點(diǎn)上三個(gè)數(shù)的和與正方形頂點(diǎn)上四個(gè)數(shù)的和相等。

2.課后立即完成后測(cè)題目，以了解本節(jié)課的落實(shí)度，以及學(xué)生仍感到困難的是什么？

后測(cè)題目是：從 2，3，4，6，7，9中選五個(gè)數(shù)填在“小房子”數(shù)陣的圓內(nèi)，使三角形頂點(diǎn)上三個(gè)數(shù)的和與正方形頂點(diǎn)上四個(gè)數(shù)的和相等。

3.我們根據(jù)學(xué)生作品中使用的解題策略，把他們的解題水平描述為五個(gè)等級(jí)——

零級(jí)策略 不會(huì)寫(xiě)，都是錯(cuò)的一級(jí)策略個(gè)別答案是對(duì)的，但都是通過(guò)完整地計(jì)算三角形數(shù)的和與正方形數(shù)的和得到的，沒(méi)有有效的策略。二級(jí)策略 已經(jīng)概括出一個(gè)頂點(diǎn)數(shù)=兩個(gè)底邊數(shù)，但書(shū)寫(xiě)答案非常隨意。三級(jí)策略不僅發(fā)現(xiàn)一角形頂點(diǎn)數(shù)=正方形底邊數(shù)，而且能有序變化這組朋友數(shù)。四級(jí)策略概括出三角形頂點(diǎn)數(shù)=正方形底邊數(shù)，不僅朋友數(shù)是有序變化的，而且重復(fù)數(shù)也是有序更替的。

按上述五個(gè)等級(jí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)生的前測(cè)和后測(cè)情況發(fā)現(xiàn)——

可見(jiàn)，即使后測(cè)題目較前測(cè)題目在數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)上明顯增加了難度，達(dá)到三級(jí)和四級(jí)策略水平的學(xué)生數(shù)仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于前測(cè)。這不僅說(shuō)明抽象結(jié)構(gòu)和有序思考不是兒童原生態(tài)的思維方式，而且說(shuō)明，通過(guò)合適的訓(xùn)練和交流，兒童能夠很快地學(xué)習(xí)到這樣的思維方式，從而大大提升思維水平，提高解題效率。

4.加權(quán)平均分。

進(jìn)一步使用加權(quán)平均分的方法整體比較學(xué)生在學(xué)習(xí)前后的解題水平。

4級(jí)策略權(quán)重 0 10% 20% 30% 40%0級(jí)策略1級(jí)策略2級(jí)策略3級(jí)策略前測(cè) 后測(cè)加權(quán)平均分 8.8 17.2

學(xué)生的加權(quán)平均分顯著提升，前測(cè)和后測(cè)差異顯著，說(shuō)明學(xué)生整體的策略水平都有了提升。

新思維數(shù)學(xué)一貫主張，不僅要關(guān)注兒童學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)性，還要開(kāi)發(fā)兒童學(xué)習(xí)的可能性，我們?cè)谔顢?shù)陣的系列訓(xùn)練中，再次看到，如果設(shè)計(jì)合適的學(xué)習(xí)任務(wù)，兒童的思維是有潛力的，可訓(xùn)練的。