巧用二次函數(shù)圖像 解決一元二次方程、不等式問題

周艷

在八年級時，我們學(xué)習(xí)過“一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式”，同學(xué)們知道這三者雖然形式上有所差異，但卻存在一定的關(guān)系。尤其是借助一次函數(shù)的圖像來解決一元一次方程和一元一次不等式的某些問題時，我們會感嘆借助“形”來解決“數(shù)”的問題是那么直觀便捷。沿襲類似的研究思路，我們自然想到是不是借助二次函數(shù)的圖像也可以為解決一元二次方程和不等式的問題同樣提供直觀便捷的解決方法。下面通過同一個二次函數(shù)圖像的不同例子，給大家展示它有哪些妙用。

例1 已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖像如圖1所示，則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的另一解為x=。

圖1

【分析】同學(xué)們看到求方程的解的第一反應(yīng)往往都是解方程，但是這個方程中有一個字母m，下面就會集中“火力”去利用函數(shù)的圖像去求二次函數(shù)的解析式，想把m求出來。費了九牛二虎之力后發(fā)現(xiàn)m求不出來，思維就此中斷。

咱不妨換個思路，只看圖像，看圖像能告訴我們什么？通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，這個二次函數(shù)圖像的對稱軸是過點（1，0）且與y軸平行的一條直線，函數(shù)圖像與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0）。因此根據(jù)圖像的軸對稱性可推斷出圖像與x軸的另一個交點坐標(biāo)必為（-1，0）。這兩個交點的橫坐標(biāo)對應(yīng)的就是一元二次方程-x2+2x+m=0的兩個根，因此另一解為x=-1。

變式1 二次函數(shù)y=-x2+2x+m的圖像如圖2所示，那么關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m+2=0的根的情況是（）。

圖2

A.有兩個同號的實數(shù)根

B.有兩個異號的實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根

【分析】同學(xué)們看到題目中要對一元二次方程的根的情況進(jìn)行判斷，總會條件反射地去請根的判別式“b2-4ac”來幫忙，照著此路一路向前，最后一定會發(fā)現(xiàn)這是一條死胡同。

換個思路，咱們從圖像入手。我們可以利用例1中的結(jié)論將二次函數(shù)y=-x2+2x+m的圖像補全，并且在同一個平面直角坐標(biāo)系中作出整個圖像沿著y軸向上平移2個單位后的圖像（圖3中最上方的圖像即為y=-x2+2x+m+2的圖像）。通過觀察，我們得到圖像此時與x軸有兩個交點，并且這兩個交點的橫坐標(biāo)是異號。因此對應(yīng)著一元二次方程-x2+2x+m+2=0也有兩個異號的實數(shù)根。

圖3

變式2 函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖像如圖4所示，則關(guān)于x的不等式-x2+2x+m<0的解集為。

圖4

【分析】這個關(guān)于x的且含有字母m的不等式，我們沒有學(xué)過它的解法，因此欲解此題就需另辟蹊徑——觀察圖像。

首先還是由例1中的圖像對稱性出發(fā)，先把函數(shù)的圖像補全（圖5-2），然后將這個不等式y(tǒng)<0求解集問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖像中當(dāng)點的縱坐標(biāo)小于0時，直接寫出此時點的橫坐標(biāo)x的范圍問題。下面請同學(xué)們觀察圖5-2，可得當(dāng)點的縱坐標(biāo)小于0時，符合條件的函數(shù)圖像在x軸的下方，即如圖5-3中的兩段實線部分，這兩段實線部分的所有點的縱坐標(biāo)都滿足小于0，而這些點的橫坐標(biāo)滿足的條件是x<-1或x>3。

圖5-1圖5-2圖5-3

變式3 求關(guān)于x的不等式-x2+2x+3>0的解集。

【分析】同學(xué)們不能被此題的提問形式嚇倒，它的本質(zhì)就是一只“紙老虎”。戳破這層紙，你會發(fā)現(xiàn)其實就是上面的變式2擯棄了圖像的另一種問法而已。此題仍然借助二次函數(shù)圖像來解決，將求y>0時對應(yīng)的x的取值范圍轉(zhuǎn)化為：圖像上所有點的縱坐標(biāo)都大于0時，此時點的橫坐標(biāo)滿足什么條件。我們可以發(fā)現(xiàn)符合條件的所有點在圖5-3中間虛線部分的圖像上，這些點的橫坐標(biāo)滿足的條件為-1

變式4 已知直線y=mx+n（m≠0）與拋物線y=-x2+2x+m交于A（-0.5，p），B（2，q）兩點，則關(guān)于x的不等式mx+n>-x2+2x+m的解集為。

圖6

【分析】這種不等式直接去求解集肯定是沒辦法解的。因此我們?nèi)匀灰柚瘮?shù)圖像，將mx+n>-x2+2x+m的問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在二次函數(shù)上方時所有點的橫坐標(biāo)需滿足什么條件。我們結(jié)合圖像，通過A、B兩點向x軸作垂線，將圖像劃分為3個區(qū)域，如圖7，可見3個區(qū)域中只有①和③區(qū)域中的圖像滿足一次函數(shù)在二次函數(shù)上方的要求。下面只要寫出①和③兩個區(qū)域中所有點的橫坐標(biāo)滿足的條件即可，橫坐標(biāo)滿足的條件對應(yīng)著不等式中x的取值范圍。

圖7

二次函數(shù)圖像與一元二次方程

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），因此當(dāng)y=0時，得到ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0），這正是一元二次方程的一般式。反映到函數(shù)圖像上，當(dāng)y=0時，意味著點的縱坐標(biāo)為0，這個點會落在x軸上。當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點（x1，0）、（x2，0）時，對應(yīng)著ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）會有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有一個交點時，對應(yīng)著ax2+bx+c=0（a≠0）會有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點時，對應(yīng)著ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數(shù)根。

二次函數(shù)圖像與不等式

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），其圖像的“形”為一條拋物線。通過變式2、變式3、變式4，我們可以看出：當(dāng)y>m（m為常數(shù)），求x的取值范圍，對應(yīng)到函數(shù)圖像上可理解為：當(dāng)一個點的縱坐標(biāo)滿足一定的條件時，去求符合條件的所有的點的橫坐標(biāo)需要滿足什么條件。因此橫坐標(biāo)滿足的條件與x的取值范圍是相互對應(yīng)的。

通過對二次函數(shù)的圖像與一元二次方程、不等式的點滴探索，我們可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像是解決相關(guān)問題的有效手段，它直觀、便捷，可化繁為簡。通過例題的展示，我們對它們之間的關(guān)系有了更深入的了解，同時也為日后高中的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，提供了類似的研究方法。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)淳化初級中學(xué)）