例說二次函數(shù)解題策略

楊紹平

二次函數(shù)知識是每年中考的重點(diǎn)知識，是每卷必考的內(nèi)容，主要考查二次函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及應(yīng)用，主要是為了考查同學(xué)們的綜合運(yùn)用能力及解決實(shí)際問題的能力。其中，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及其與幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點(diǎn)問題。

下面結(jié)合具體例題談?wù)劧魏瘮?shù)的解題策略。

一、確定函數(shù)解析式

例1 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，0）、（-4，0）、（-1，9），求此函數(shù)的解析式。

【解析】方法一：待定系數(shù)法。設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點(diǎn)（2，0）、（-4，0）、（-1，9）代入可求得y=-x2-2x+8。

方法二：交點(diǎn)式法。設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），將點(diǎn)（2，0）、（-4，0）代入得y=a（x-2）（x+4），再將點(diǎn)（-1，9）代入可求得y=-（x-2）（x+4）。

方法三：頂點(diǎn)式法。由函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，0）、（-4，0）可得函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=-1，從而得到點(diǎn)（-1，9）就是函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，于是設(shè)y=a（x+1）2+9，再將點(diǎn)（2，0）或（-4，0）代入得：y=-（x+1）2+9。

【點(diǎn)評】二次函數(shù)解析式可以通過待定系數(shù)法、交點(diǎn)式法、頂點(diǎn)式法等多種方法來解決，解題時選擇適當(dāng)?shù)姆椒〞_(dá)到事半功倍的效果。

二、函數(shù)圖像與性質(zhì)

例2 已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）。

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn);

（2）當(dāng)m取什么值時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

【解析】（1）方法一：根的判別式法?？吹健岸魏瘮?shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)”的個數(shù)問題自然聯(lián)想到計算“b2-4ac=4m2+16m+16=4（m+2）2”，所以不論m為何值，關(guān)于x的一元二次方程2（x-1）（x-m-3）=0總有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而判斷二次函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

方法二：交點(diǎn)式法。要求二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）的圖像與x軸的公共點(diǎn)個數(shù)問題，即求關(guān)于x的一元二次方程2（x-1）（x-m-3）=0（m為常數(shù)）的實(shí)數(shù)根的問題，此題很顯然得到方程的解x1=1，x2=m+3。當(dāng)m+3=1，即m=-2時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)m+3≠1，即m≠-2時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。故不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

而有些問題需要通過變形才能得到交點(diǎn)式，如：

已知二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m為常數(shù)，且a≠0）。

求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點(diǎn)。

此時若用根的判別式的方法進(jìn)行證明就顯得比較麻煩，而若想得到二次函數(shù)的交點(diǎn)式，此題計算就比較簡單：y=a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）。

（2）由題意得：只需求出圖像與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可。即當(dāng)x=0時，y=2（x-1）（x-m-3）=2m+6，所以該函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2m+6，故當(dāng)2m+6>0，即m>-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

【點(diǎn)評】二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的個數(shù)問題，從而可以用“根的判別式”這一通性通法加以解決，而有些題目也可從“形”的角度（函數(shù)的圖像）來解決。如：

已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+3（m是常數(shù)）。

求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)。

由于y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，

又a=1>0，函數(shù)圖像開口向上，當(dāng)x=m時，y最小值=3。

所以不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)。

三、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例3 某商品的進(jìn)價是每件40元，原售價每件60元。在進(jìn)行不同程度的漲價后，統(tǒng)計了商品調(diào)價當(dāng)天的售價和利潤情況，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)：

[售價（元/件） 60 61 62 63 … 利潤（元） 6000 6090 6160 6210 … ]

（1）當(dāng)售價為每件60元時，當(dāng)天可售出件;

當(dāng)售價為每件61元時，當(dāng)天可售出件。

（2）若對該商品原售價每件漲價x元（x為正整數(shù)）時，當(dāng)天售出該商品的利潤為y元。

①用所學(xué)過的函數(shù)知識直接寫出y與x滿足的函數(shù)表達(dá)式：。

②如何定價才能使當(dāng)天的銷售利潤不低于6200元？

【解析】（1）根據(jù)“銷售量=總利潤÷每件利潤”可得：當(dāng)售價為每件60元時，當(dāng)天可售出300件;當(dāng)售價為每件61元時，當(dāng)天可售出290件。

（2）①根據(jù)“總利潤=每件利潤×銷售量”可得：

y=（60-40+x）（300-10x）=-10x2+100x+6000=-10（x-5）2+6250。

②題目要求使當(dāng)天的銷售利潤不低于6200元，即y≥6200，當(dāng)y=6200時，

-10（x-5）2+6250=6200。

解得x1=5-[5]，x2=5+[5]。

由-10<0，得該二次函數(shù)的圖像開口向下。

所以當(dāng)y≥6200時，5-[5]≤x≤5+[5]。

即當(dāng)y≥6200時，3≤x≤7（x為正整數(shù)）。

故定價為：63，64，65，66，67。

【點(diǎn)評】該題利用了二次函數(shù)模型進(jìn)行解決。函數(shù)是解決實(shí)際問題的有效模型，利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題往往經(jīng)歷：找到題目中的兩個變量;尋找變量之間的等量關(guān)系;依據(jù)變量之間的等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式;利用配方等方法求出頂點(diǎn)進(jìn)而求出最值;回到實(shí)際問題進(jìn)行檢驗(yàn)。

四、函數(shù)的幾何應(yīng)用

例4 如圖1，已知矩形ABCD中，A（3，2），B（3，-4），C（5，-4），點(diǎn)E是直線AB與x軸的交點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx-3過點(diǎn)E，且頂點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)M是直線CD與x軸的交點(diǎn)。

圖1

（1）求a，b的值。

（2）請你探索在矩形ABCD的四條邊上，是否存在點(diǎn)P，使得三角形AFP是等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在，請說明理由。

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q在∠EMC的平分線上？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在，請說明理由。

【解析】（1）由題意得E（3，0），[-b2a]=1，

由[9a+3b-3=0，b+2a=0，]得[a=1，b=-2。]所以a=1，b=-2。

（2）要使三角形AFP是等腰三角形，只要兩條邊相等，故分為PA=PF，AF=AP，AF=FP三種情況：

①當(dāng)PA=PF時（如圖2），點(diǎn)P在線段AF的垂直平分線上。

（i）方法一：設(shè)P1是線段AF的垂直平分線與AB的交點(diǎn)，

設(shè)BP1=x，由FP12=AP12可得x2+22=（6-x）2，得x=[83]，

得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（3，[-43]）。

圖2

方法二：設(shè)H是線段AF的垂直平分線與AF的交點(diǎn)，

由△AHP1∽△ABF可得AP1=[103]，

可得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（3，[-43]）。

（ii）方法一：設(shè)P2是線段AF的垂直平分線與CD的交點(diǎn)，

設(shè)CP2=y，由FP22=AP22可得y2+42=（6-y）2+22，得y=2，

得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（5，-2）。

方法二：設(shè)K是線段AF的垂直平分線與FC的延長線的交點(diǎn)，

由△KBP1∽△ABF可得KB=8，KC=6，CP2=2，可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（5，-2）。

②當(dāng)AF=AP時（如圖3），點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-4）。

③當(dāng)AF=FP時（如圖3），

設(shè)CP=m，可得m2+42=62+22，得m=[26]，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，[26]-4）。

圖3

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，[-43]）或（5，

-2）或（5，-4）或（5，[26]-4）。

（3）存在。

由（1）得y=x2-2x-3。

由于點(diǎn)Q在∠EMC的平分線上，即點(diǎn)Q到x軸和直線CD的距離相等。

令-（x2-2x-3）=5-x（x≥5時，不合題意），即x2-3x+2=0。

解得x=1或x=2。

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（1，-4），（2，-3）。

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理、角平分線的判定等，綜合性較強(qiáng)。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵。

總之，二次函數(shù)知識點(diǎn)較多，解題策略錯綜復(fù)雜，我們必須在平時解題中總結(jié)方法，真正達(dá)到“做一題，通一片”的效果。

（作者單位：江蘇省溧水高級中學(xué)附屬初級中學(xué)）