解題后的思考

劉永智

摘 要：千金難買回頭看，在問題解決之后，不能直接休息，最好多反思，多回頭看看，長此以往，才會(huì)有更大的進(jìn)步.

關(guān)鍵詞：拓展延伸;張角問題;二等分

問題是數(shù)學(xué)的心臟.數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解.著名數(shù)學(xué)家波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”因此，學(xué)數(shù)學(xué)除了介紹一些基本知識(shí)之外，最主要的學(xué)習(xí)就是解題.那么解題之后，我們應(yīng)該做一些什么呢？

在解題之后，我們不能覺得一切都結(jié)束了，繼續(xù)后面的學(xué)習(xí)就可以了.而是應(yīng)該思考一下，自己的求解有沒有失誤，能不能拓展延伸，使問題變得更為透徹，更為簡單，以后碰到類似的題目，甚至是沒有關(guān)聯(lián)的題目，也能聯(lián)系到一起去解決.

1 解題后的拓展延伸及應(yīng)用

對(duì)于有些問題，解決之后表面看上去沒有什么，但如果仔細(xì)地分析、研究，會(huì)對(duì)我們?cè)谇蠼馄渌麊栴}方面起到意想不到的作用.

例1 如圖1，在“世界杯”足球比賽中，甲隊(duì)員帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻，當(dāng)他帶球沖到點(diǎn)A時(shí)，同時(shí)本隊(duì)球員乙已經(jīng)沖到點(diǎn)B.現(xiàn)有兩種射門方式：第一種是甲直接射門，第二種是甲將球傳給乙，由乙射門.僅從射門角度考慮，應(yīng)選擇第種射門方式.

解析 如圖1，不考慮技術(shù)等因素，由甲或乙誰射門取決于∠PAQ和∠PBQ的大小，哪個(gè)角較大，由處在這個(gè)位置的隊(duì)員射門.也就是說，本題要比較∠PAQ和∠PBQ的大小.而從圖上看，點(diǎn)A位于點(diǎn)P，Q，B所確定的圓的外面，并且和點(diǎn)B均位于直線PQ的同側(cè).

設(shè)AQ和點(diǎn)P，Q，B所確定的圓相交于點(diǎn)C，連結(jié)PC，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠PBQ=∠PCQ;再由三角形的任意一個(gè)外角大于和它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角可得∠PCQ>∠PAQ，從而∠PBQ>∠PAQ，故而應(yīng)該由乙射門，即選擇第二種射門方式.

通過本題的求解，如果我們繼續(xù)往下思考，可以知道，如圖2所示，若線段AB為定長的線段，點(diǎn)C為線段AB所在的直線外一點(diǎn)，連結(jié)AC，BC.通過觀察和對(duì)本題的求解，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，似乎點(diǎn)C離線段AB越“遠(yuǎn)”，∠ACB越小.若使∠ACB的大小不變，聯(lián)想圓周角定理我們可以得出，滿足條件的點(diǎn)C在以AB為弦的圓弧上.

進(jìn)一步還可以得出，和點(diǎn)C在線段AB所在直線同側(cè)的點(diǎn)M若在弧ACB和線段AB所組成的圖形外，則∠AMB<∠ACB.其理由如下：

在∠AMB所夾的弧ACB上取一點(diǎn)D，連結(jié)AD并延長交∠AMB的邊BM于點(diǎn)E，連結(jié)BD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得：∠AMB<∠AEB，∠AEB<∠ADB，而∠ADB=∠ACB，因此，∠AMB<∠ACB.

和點(diǎn)C在線段AB所在直線同側(cè)的點(diǎn)N如果在弧ACB和線段AB所組成的圖形內(nèi)，則∠ANB>∠ACB.其理由如下：

延長AN交弧AC于點(diǎn)F，連結(jié)BF，則∠AFB<∠ANB，并且∠AFB=∠ACB，因此，∠ANB>∠ACB.

特別的，如果∠ACB=90°，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上;如果∠ACB<90°，則點(diǎn)C和弧ACB所在圓的圓心位于線段AB所在直線的同側(cè)，并且該圓的半徑越小，∠ACB越大;如果∠ACB>90°，則點(diǎn)C和弧ACB所在圓的圓心位于線段AB所在直線的兩側(cè)，并且該圓的半徑越大，∠ACB越大.

這些結(jié)論不僅僅可以幫助我們求解角度的大小比較問題，而且還可以完成好多計(jì)算方面的問題.下面我們通過問題來看看這些結(jié)論的應(yīng)用.

應(yīng)用1 如圖3，在矩形ABCD中，AD=3，AB=7，點(diǎn)E在邊AB上，∠DEC=120°.求AE的長.

解析 （構(gòu)造外接圓法）本題中如果直接求解，感覺很麻煩，但如果利用上面的結(jié)論，以CD為弦，圓周角∠DEC=120°的圓和AB的交點(diǎn)為點(diǎn)E，從而解決問題.為此，有如下求解方法：

作△DEC的外接圓⊙O，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，交DC于點(diǎn)F.連結(jié)OC，OD，OE（如圖4所示）.

因?yàn)?∠DEC=120°，所以 ∠COD=120°.

在矩形ABCD中，因?yàn)?AB//CD，OG⊥AB，

所以 ∠DOG=60°，∠OGE=∠OFD=90°，DF=CF，四邊形ADFG是矩形，F(xiàn)G= AD=3.

因?yàn)?AB=CD=7，所以 DF=AG=72.

在Rt△FOD中，因?yàn)?∠FOD=60°，DF=72，

所以 OF=DF3=7 36，OD=2OF=7 33.

因?yàn)?FG=AD=3，所以 OG=OF+FG= 13 36.

在Rt△OEG中，OE=OD= 7 33，OG= 13 36，由勾股定理可得，EG= OE2-OG2= 32.

所以 AE=AG-EG=2或者AE=AG+EG=5.

應(yīng)用2 點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）使∠APB=30°的點(diǎn)P有個(gè);

（2）若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？若有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說明此時(shí)∠APB最大的理由;若沒有，也請(qǐng)說明理由.

解析 （1）由上面的結(jié)論可知，以AB為弦，使圓周角等于30°的圓弧上的點(diǎn)均滿足條件，這樣的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，因此，本題答案為：無數(shù).

（2）本題中要求出圓弧與y軸的交點(diǎn)，要使圓周角等于30°，該圓弧所對(duì)的圓心角應(yīng)該是60°，為此，以AB為邊作等邊△ABC，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點(diǎn)P1，P2.在優(yōu)弧AP1B上任取一點(diǎn)P，如圖5.

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，即點(diǎn)C在第一象限，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，如圖5.

因?yàn)辄c(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（5，0），所以 OA=1，OB=5.

所以 AB=4.

因?yàn)辄c(diǎn)C為圓心，CG⊥AB，所以AG=BG=12AB=2.所以O(shè)G=OA+AG=3.

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AC=BC=AB=4.所以CG=AC2-AG2=2 3.

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2 3）.

如圖5，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，連接CP2，因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2 3），所以CD=3，OD=2 3.

因?yàn)镻1，P2是⊙C與y軸的交點(diǎn)，

所以∠AP1B=∠AP2B=30°.

因?yàn)镃P2=CA=4，CD=3，

所以DP2=42-32=7.

因?yàn)辄c(diǎn)C為圓心，CD⊥P1P2，

所以P1D=P2D=7.

所以P2（0，2 3-7）.P1（0，2 3+7）.

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)C在第四象限，同理可得P3（0，-2 3-7），P4（0，-2 3+7）.

綜上：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有（0，2 3-7），（0，2 3+7），（0，-2 3-7），（0，-2 3+7）.

（3）要使∠APB最大，就要使過A，B兩點(diǎn)的圓盡可能小，因此，圓與y軸相切時(shí)，滿足條件.具體解法如下：

當(dāng)過點(diǎn)A，B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大.

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，連接EA，作EH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，如圖6.

因?yàn)椤袳與y軸相切于點(diǎn)P，所以PE⊥OP.

因?yàn)镋H⊥AB，OP⊥OH，

所以∠EPO=∠POH=∠EHO=90°.

所以四邊形OPEH是矩形.

所以O(shè)P=EH，PE=OH=3.

所以EA=3.

因?yàn)椤螮HA=90°，AH=2，EA=3，

所以EH=EA2-AH2=5.

所以O(shè)P=5.

所以P（0，5）.

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得P（0，-5）.

理由：（i）若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，在y軸的正半軸上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連接MA，MB，交⊙E于點(diǎn)N，連接NA，如圖6所示.

因?yàn)椤螦NB是△AMN的外角，

所以∠ANB>∠AMB.

因?yàn)椤螦PB=∠ANB，所以∠APB>∠AMB.

（ii）若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，同理可證得：∠APB>∠AMB.

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）和（0，-5）.

從以上的應(yīng)用可以看出，對(duì)于數(shù)學(xué)問題，求解之后，我們要多思考、多總結(jié)、多拓展，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果，并且會(huì)得到許多解題的方法，這也是提高數(shù)學(xué)解題能力的比較好的方法之一.

2 解題后碰到其它問題的突發(fā)奇想

有些時(shí)候，求解一個(gè)數(shù)學(xué)問題之后，面對(duì)其它的數(shù)學(xué)問題，我們不能畏首畏尾，要敢于去嘗試，即使錯(cuò)誤了，也沒有什么.可能在敢想敢做的過程中，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)一些問題的求解思路，最后通過嚴(yán)密的推理論證，使我們的想法得到證明是正確的.其實(shí)這種突發(fā)奇想是我們發(fā)現(xiàn)未知結(jié)論的比較好的方法之一，也是科學(xué)研究之中常用的方法之一.這要求我們?cè)诮忸}的時(shí)候要敢想，并且敢于去行動(dòng).但記得最后一定要經(jīng)過嚴(yán)密的推理論證.

例2 如何用一條直線把如圖7所示梯形ABCD的面積二等分？

解析 要用一條直線任意將梯形的面積二等分，如果從腰上考慮問題，將會(huì)變得很麻煩.我們考慮沿著底邊連線來二等分.既然要二等分，連結(jié)兩底中點(diǎn)的直線，為此，設(shè)AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF.考慮EF能否將梯形ABCD的面積二等分.我們發(fā)現(xiàn)，所得的兩個(gè)新梯形ABFE和梯形CDEF不僅兩底對(duì)應(yīng)相等，而且高線也相等，從而面積相等.也就是說梯形兩底中點(diǎn)的連線將梯形的面積兩等分.

有了對(duì)上面問題的求解，我們發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候在解題時(shí)要敢于想，并且敢于去做，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的解題能力就會(huì)比原先有所提升.尤其在做幾何的等分問題時(shí)，考慮中點(diǎn)是我們常用的方法之一.

突發(fā)奇想一 如何過任意四邊形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線把四邊形ABCD的面積二等分？

解析 連結(jié)四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.如果AC平分BD（如圖8所示），則對(duì)角線AC所在的直線即為滿足要求的直線.

如果AC不平分BD，不妨設(shè)BD的中點(diǎn)為點(diǎn)M，點(diǎn)M在線段BO上（在線段CO上可類似地作圖），連結(jié)AM，CM（如圖9所示），則可以知道折線AMC可以平分四邊形ABCD.過點(diǎn)M作AC的平行線，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.連結(jié)AF，則直線AF所在的直線即為滿足要求的直線.

突發(fā)奇想二 如何把任意一個(gè)四邊形ABCD的紙片剪兩刀（如圖10），使所剪成的四塊能拼成一個(gè)平行四邊形？并說明理由.

解析 對(duì)于此問題，好像無法下手.但是仔細(xì)分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)要拼成平行四邊形，拼在一起的邊必須長度相等.為此，我們可考慮連結(jié)四邊形ABCD的各對(duì)邊中點(diǎn)，然后沿對(duì)邊中點(diǎn)剪開（如圖10所示）.設(shè)四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，H，E.連結(jié)EF，GH相交于點(diǎn)O，然后沿EF，GH將四邊形ABCD剪開，得到四個(gè)四邊形.保持四邊形AGOE不動(dòng);將四邊形OGBF繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得四邊形O1GAF1;將四邊形EODH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得四邊形EO2AH1;平移四邊形OFCH至四邊形O3F1AH1，則得到的四邊形OO1O3O2即為平行四邊形.

要說明這樣做是平行四邊形的理由，我們發(fā)現(xiàn)從邊上去說明問題似乎很難，但如果看角的變化，則問題會(huì)很簡單.從旋轉(zhuǎn)變換和平移變換可以知道，點(diǎn)O1，G，O在同一直線上，點(diǎn)O1，F(xiàn)1，O3在同一直線上，點(diǎn)O3，H1，O2在同一直線上，點(diǎn)O2，E，O在同一直線上.再根據(jù)對(duì)頂角相等和平移與旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)圖形全等可知，∠O3O1O=∠GOF=∠EOH=∠O3O2O，∠O2O3O1=∠FOH=∠O1OO2，因此，四邊形OO1O3O2對(duì)角相等，從而鄰角互補(bǔ)，因此，對(duì)邊互相平行，四邊形OO1O3O2即為平行四邊形.

解決問題之后的思考，不僅僅是看問題解決的對(duì)錯(cuò)，而是對(duì)問題拓展及延伸.當(dāng)我們遇到類似的問題時(shí)，思維的電路會(huì)瞬間導(dǎo)通，使我們順利地解決其它問題.從這個(gè)角度看，它不僅僅是解題之后的思考，而是我們?cè)跒榍蠼馄渌麊栴}積蓄能量，這種思考越多，我們積蓄的能量就會(huì)越多，解題就會(huì)越來越自如.還有解題后的思考不僅僅是發(fā)生在解題之后，有時(shí)會(huì)發(fā)生在我們?cè)俅斡龅狡渌麊栴}之時(shí)，思維的瞬間閃現(xiàn)的火花之上，而且解題后的思考有時(shí)甚至發(fā)生在解題之前，有了知識(shí)的積累，相信我們解起題來會(huì)更加自如.

（收稿日期：2019-08-22）