圓錐曲線中一類等角性質(zhì)的再推廣

佛山市南海區(qū)黃岐高級中學(528248) 熊向前

廣州市廣東華僑中學(510000) 楊墁

由文[1]知在橢圓中存在如下性質(zhì):

性質(zhì)1已知橢圓=1(a＞b＞0),P(m,0)(-a＜m＜a且m/=0)是橢圓C內(nèi)一點,過P點的直線l與C交于A、B兩點,點M的坐標為則有∠AMP=∠BMP.

性質(zhì)2已知橢圓=1(a＞b＞0),P(m,0)(m＞a或m＜-a)是橢圓C外一點,過P點的直線l與C交于A、B兩點,點M的坐標為則有∠AMP=180°-∠BMP.

同樣在雙曲線和拋物線中也有類似的性質(zhì).

上述性質(zhì)反映了過圓錐曲線的對稱軸上一定點的動直線和圓錐曲線的兩個交點與另一定點形成的等角性質(zhì),結(jié)論無疑是非常優(yōu)美的,且在高考題中常有運用,如2018年全國I卷理數(shù)第19題、2015年全國I卷理數(shù)第20題、2013年陜西卷理數(shù)第20題.但仔細觀察,筆者發(fā)現(xiàn)該定理僅將定點P限制在圓錐曲線的對稱軸上,那么當P點不在圓錐曲線的對稱軸上時是否仍有類似的性質(zhì)呢？筆者借助于GeoGebra軟件進行了實驗探究,發(fā)現(xiàn)了如下更為一般情況下的定理:

定理1已知橢圓=1(a＞b＞0),是橢圓C內(nèi)一點,過P點作直線的垂線,垂足為M,過P點的任一直線l與橢圓C交于A,B兩點,則有∠AMP=∠BMP.(如圖1所示)

圖1

圖2

定理2已知橢圓1(a＞b＞0),是橢圓C外一點,過P點作直線=1的垂線,垂足為M,過P點的任一直線l與橢圓C交于A、B兩點,則有∠AMP=180°-∠BMP.(如圖2所示)

定理1和定理2的證明過程基本一樣,下面僅對定理1進行證明,定理2類似可證.

證明過A、B兩點分別作直線m的垂線,垂足分別為C、D,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

同理可得:

同理有

在Rt△AMC中,

在Rt△BMD中,

綜上所述∠AMP=∠BMP.

類比以上性質(zhì),在雙曲線和拋物線中,我們可以得出如下性質(zhì):

定理4已知雙曲線=1(a＞0, b＞0),是雙曲線C兩支內(nèi)側(cè)一點,過點P點作直線=1的垂線,垂足為M,過P點的直線l與雙曲線C交于A、B兩點,若A、B位于雙曲線的同一支,則有∠AMP=180°-∠BMP;若A、B位于雙曲線的不同支,則有∠AMP=∠BMP.

定理5已知拋物線C :y2= 2px,P(x0,y0)()是拋物線C內(nèi)一點,過點P作直線m:p(x+x0)-yy0=0的垂線,垂足為點M,過P點的直線l與拋物線C交于A、B兩點,則有∠AMP=∠BMP.

定理6已知拋物線C :y2= 2px,P(x0,y0)()是拋物線C外一點,過點P作直線m:p(x+x0)-yy0=0的垂線,垂足為M,過P點的直線l與拋物線C交于A、B兩點,則有∠AMP=180°-∠BMP.

定理3和定理4的證明過程與定理1的證明類似,此處從略,下面對定理5進行證明,定理6類似可證.

圖3

當直線l與x軸垂直時x1=x2=x0,則3○式可化為,同理○4式可化為由拋物線的對稱性可知|y1|=|y2|,所以tan∠AMC=tan∠BMD?∠AMC=∠BMD,從而得∠AMP=∠BMP.

綜上所述∠AMP=∠BMP.

在以上結(jié)論中,直線m實際上是P點關(guān)于圓錐曲線對應(yīng)的極線,因而M點本質(zhì)上是過P點與其對應(yīng)極線垂直的垂線與極線的交點,因此,本文中的定理1～6可以進一步統(tǒng)一概括為:

定理7已知圓錐曲線Γ,P是一個不在Γ上的定點,P點關(guān)于Γ的極線為m,過P點作直線m的垂線,垂足為M,過P點的任一直線l與Γ交于A,B兩點,則有∠AMP=∠BMP或∠AMP=180°-∠BMP.