圓錐曲線等效判別式及其應(yīng)用

北京市育英學(xué)校(100036) 牛文政

北京市昌平區(qū)大東流中學(xué)(102211) 王素文

一、等效判別式

在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時,為了使直線與曲線的位置關(guān)系問題更易于處理,我們選用直線的一般式與有心圓錐曲線聯(lián)立,可以得到相應(yīng)一元二次方程的等效判別式,其形式優(yōu)美,并且在處理相切問題時比較有效.

1.1 有心圓錐曲線的等效判別式

命題1當(dāng)m2A2+n2B20時,設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2/=0),有心圓錐曲線=1(其中m,n＞0;或m＞0,n為實數(shù)或純虛數(shù);或n＞0,m為實數(shù)或純虛數(shù)),記,則

(1)直線l與有心圓錐曲線Γ相切?Δc=0;

(2)直線l與有心圓錐曲線Γ相交?Δc＞0;

(3)直線l與有心圓錐曲線Γ相離?Δc＜0.

我們有以下定義:

定義1當(dāng)m2A2+n2B20時,叫做直線l:Ax+By+C=與有心圓錐曲線=1(其中m,n＞0;或m＞0,n為實數(shù)或純虛數(shù);或n＞0,m為實數(shù)或純虛數(shù))聯(lián)立所得一元二次方程的有心圓錐曲線的等效判別式.

1.2 拋物線Γ:y2=2px(p0)的等效判別式

命題2設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2/0),拋物線Γ:y2=2px(p0),當(dāng)A/0時,

(1)直線l與拋物線Γ相切?Δp1=

(2)直線l與拋物線Γ相交?Δp1=

(3)直線l與拋物線Γ相離?Δp1=

當(dāng)A=0時,直線l與拋物線Γ有且只有一個交點.

定義2當(dāng)A/0時,叫做直線與拋物線Γ:y2=2px(p0)聯(lián)立所得一元二次方程的拋物線Γ:y2=2px(p/0)的等效判別式.

1.3 拋物線Γ:x2=2py(p0)的等效判別式

命題3設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2/0),拋物線Γ:x2=2py(p/0),當(dāng)B0時,

(1)直線l與拋物線Γ相切?Δp2=

(2)直線l與拋物線Γ相交?Δp2=

(3)直線l與拋物線Γ相離?Δp2=

當(dāng)B=0時,直線l與拋物線Γ有且只有一個交點.

定義3當(dāng)B/0時叫做直線與拋物線Γ:x2=2py(p0)聯(lián)立所得一元二次方程的拋物線Γ:x2=2py(p0)的等效判別式.

圓錐曲線等效判別式是變量的對應(yīng)系數(shù)相乘平方的代數(shù)和,形式優(yōu)美、簡潔、和諧.運用等效判別式,我們可以得到圓錐曲線的弦長公式與圓錐曲線的焦點弦長公式,并舉例說明它們的應(yīng)用.

二、等效判別式的應(yīng)用

2.1 有心圓錐曲線的弦長公式

運用橢圓的等效判別式,可得到有心圓錐曲線的弦長公式:

命題4當(dāng)m2A2+n2B20時,若直線l:Ax+By+C=0(A2+B2/0)與有心圓錐曲線(其中m,n＞0;或m＞0,n為實數(shù)或純虛數(shù);或n＞0,m為實數(shù)或純虛數(shù))相交于不同兩點P,Q,則有有心圓錐曲線的弦長公式(一):

證明設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線l代入有心圓錐曲線Γ,化簡整理得:當(dāng)時,其中則則

則

當(dāng)B=0時,可以驗證滿足上式.證畢.

情形1若直線l:Ax+By+C=0 (A2+B20)與橢圓=1(a,b＞0,ab)相交于不同兩點P,Q,則有橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的弦長公式(二):

圓可以看作特殊的橢圓,根據(jù)圓的等效判別式,可得到圓的弦長公式:

情形2若直線l:Ax+By+C=0(A2+B20)與圓Γ:x2+y2=r2相交于不同兩點P,Q,則有圓的弦長公式(三):

情形3若直線l:Ax+By+C=0與雙曲線=1(a,b＞0)相交于不同兩點P,Q,則有焦點在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的弦長公式(四):

情形4若直線l:By+Ax+C=與雙曲線相交于不同兩點P,Q,則有焦點在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程弦長公式(五):

當(dāng)直線過圓錐曲線焦點時,其焦點弦長公式如下:

推論1當(dāng)m2A2+n2B2/0時,若直線l:Ax+By+C=0(A2+B2/0)與有心圓錐曲線(其中m,n＞0;或m＞0,n為實數(shù)或純虛數(shù);或n＞0,m為實數(shù)或純虛數(shù))相交于不同兩點P,Q,則有有心圓錐曲線的焦點弦長公式(六):

上面公式中,圓錐曲線退化為圓時,焦點弦退化為直徑.

情形5若直線l:Ax+By+C=0過橢圓的焦點,與橢圓Γ相交于不同兩點P,Q,則有橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點弦長公式(七):

情形6若直線過雙曲線=1(a,b＞0)的焦點,與雙曲線Γ相交于不同兩點P,Q,則有焦點在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點弦長公式(八):

情形7若直線過雙曲線=1(a,b＞0)的焦點,與雙曲線Γ相交于不同兩點P,Q,則有焦點在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點弦長公式(九):

2.2 拋物線的弦長公式

命題5當(dāng)A0時,若直線l:Ax+By+C=0(A2+B20)與拋物線Γ:y2=2px(p0)交于不同兩點P,Q,則有拋物線Γ:y2=2px(p/0)的弦長公式(十):

命題6當(dāng)B0時,若直線l:Ax+By+C=0(A2+B2/0)與拋物線Γ:x2=2py(p0)交于不同兩點P,Q,則有拋物線Γ:x2=2py(p/0)的弦長公式(十一):

推論2當(dāng)A0時,若直線l:Ax+By+C=0(A2+B2/0)與拋物線Γ:y2=2px(p0)交于不同兩點P,Q,則有拋物線Γ:y2=2px(p/0)的弦長公式(十二):

推論3當(dāng)B0時,若直線l:Ax+By+C=0(A2+B20)與拋物線Γ:x2=2py(p0)交于不同兩點P,Q,則有拋物線Γ:x2=2py(p0)的弦長公式(十三):

三、等效判別式的應(yīng)用舉例

3.1 等效判別式對蒙日圓的證明

在橢圓中,任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,它的圓心是橢圓中心,半徑等于長半軸與短半軸平方和的算數(shù)平方根,這個圓叫蒙日圓,是法國數(shù)學(xué)家、畫法幾何的創(chuàng)始人G.Monge(1745-1818)最先發(fā)現(xiàn)的,單墫教授將其命名為準(zhǔn)圓.

文[1]給出了兩種解析幾何、兩種平面幾何證明方法.文[2]給出了一種平面幾何證明方法,并得到了其逆命題.以下命題7-10,12,13出現(xiàn)在文[1],[2],[3]中.下面我們運用等效判別式,給出一種新的代數(shù)證明,進而得到其統(tǒng)一形式的命題及證明.

命題7橢圓(a,b＞0,a/b)的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓x2+y2=a2+b2.

命題8過圓x2+y2=a2+b2上任意點P作橢圓=1 (a,b＞0,ab)的兩條切線,則兩條切線相互垂直.

命題9雙曲線=1 (a＞b＞0)的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓x2+y2=a2-b2.

命題10過圓x2+y2=a2-b2上任意點P作雙曲線=1(a＞b＞0)的兩條切線,則兩條切線相互垂直.

對于焦點在y軸上的雙曲線,也有類似命題:

命題11雙曲線(a＞b＞0)的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓x2+y2=a2-b2.

命題12過圓x2+y2=a2-b2上任意點P作雙曲線=1(a＞b＞0)的兩條切線,則兩條切線相互垂直.

命題13當(dāng)m2+n2＞0時,有心圓錐曲線Γ:=1(其中m,n＞0;或m＞0,n為實數(shù)或純虛數(shù);或n＞0,m為實數(shù)或純虛數(shù))的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓x2+y2=m2+n2.

證明(1)設(shè)點P(x0,y0),兩條互相垂直的切線分別為:l1:Ax+By+C=0(A2+B20)與l2:Bx-Ay+C1=0,由命題1,知

(2)在圓x2+y2=m2+n2上任取點P1(x1,y1),則,過P1作曲線Γ的一條切線l3:Dx+Ey+F=0 (D2+E20),則由命題1,知m2D2+n2E2=F2.過P1作l3的垂線l4:Ex-Dy+F1=0,下面我們證明直線l4與曲線Γ相切:由兩式相加得:則()()則m2E2+n2(-D)2-F21=0,由命題1知,l4與橢圓Γ相切,即過圓x2+y2=a2+b2上任意點P1作橢圓Γ的兩條切線互相垂直.

由(1),(2)可知,命題13得證.

當(dāng)m2+n2＞0時,若m,n＞0;或m＞0,n為實數(shù)或純虛數(shù);或n＞0,m為實數(shù)或純虛數(shù)時,圓x2+y2=m2+n2就是單墫教授曾命名的(外)準(zhǔn)圓.

在上述證明中,其實蘊含了命題13的逆命題:

命題14過圓x2+y2=m2+n2(m,n＞0;或m＞0,n為實數(shù)或純虛數(shù);或n＞0,m為實數(shù)或純虛數(shù))上任意點P作有心曲線的兩條切線,則兩條切線相互垂直.

對于拋物線,有以下命題:

命題15拋物線的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線.

證明不妨設(shè)拋物線Γ:y2=2px(p0).

(1)設(shè)點P(x0,y0),兩條互相垂直的切線分別為:l1:Ax+By+C=0 (A2+B20)與l2:Bx-Ay+C1=0,由命題2知:兩式相加得:=2(AC+BC1),又點P(x0,y0)在l1,l2上,有則(A2+B2)x0+AC+BC1=0,則即拋物線Γ的兩條互相垂直的切線的交點P都在準(zhǔn)線上.

在上述證明中,其實蘊含了命題15的逆命題:

命題16過拋物線的準(zhǔn)線上任意點P作拋物線的兩條切線,則兩條切線相互垂直.

3.2 等效判別式的應(yīng)用舉例

例1(2016年高考全國新課標(biāo)理科II卷)已知橢圓的焦點在x軸上,A是E的左頂點,斜率為k(k＞0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA.(I)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;(II)當(dāng)2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍.

解(I)(II)由題意t＞3, k＞0,直線AM:由命題4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的弦長公式(二)知,同理可得:由2|AM|=|AN|得:則故

例2設(shè)直線l:Ax+By+C=0 (A2+B2/0)與橢圓=1(a＞b＞0)交于不同兩點P,Q,O為坐標(biāo)原點,試證:當(dāng)且僅當(dāng)a2A2+b2B2=2C2時,△OPQ有最大面積

證明由命題4知,

例3(2007武漢大學(xué)自主招生試題)過拋物線Γ:y2=8x上一點P(2,4)作傾斜角互補的兩條直線,分別與拋物線交于A,B兩點,(I)求直線AB的斜率;(II)如果A,B兩點均在y2=8x(y≤0)上,求△PAB面積的最大值.

(II)設(shè)直線AB的方程為:x+y+C = 0,由A,B兩點均在y2= 8x(y ≤ 0)上及命題2,得即C∈[0,2),由命題5,

圓錐曲線的等效判別式,形式優(yōu)美,應(yīng)用廣泛.其實不需要記憶,使用時用直線的一般方程與圓錐曲線聯(lián)立,很快能推導(dǎo)得到字母表達形式,再加以運用,有時會有很好的效果.