樹立五種意識(shí) 破解恒成立問題

浙江金華第一中學(xué)(321015) 黃錦龍

既含參數(shù)又含變量的不等式恒成立問題之所以備受命題者的青睞,一方面是這類問題把不等式、函數(shù)、方程、幾何等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來,在知識(shí)的交會(huì)處命題,具有知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn),能體現(xiàn)出很好的區(qū)分度與選拔功能;另一方面是此類問題條件復(fù)雜,切入點(diǎn)難發(fā)現(xiàn),能很好地檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.學(xué)習(xí)解決好不等式恒成立問題,能鞏固基礎(chǔ)知識(shí),訓(xùn)練基本技能,感悟基本思想,豐富基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,促使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地開花.本文通過實(shí)例,以問題為導(dǎo)向,用五種意識(shí)對(duì)破解不等式恒成立問題作出解析,供讀者參考.

一、特值探路,驗(yàn)證結(jié)論快捷解

例1(2018年3月溫州適應(yīng)性考試)已知f(x)=x2-ax,|f(f(x))|≤2在x∈[1,2]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為

解析這是一道填空壓軸題,試題簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單,若采取“強(qiáng)攻”,勢(shì)必很快“敗下陣”來.不妨先思考問題成立的必要條件,取特殊值框定a的范圍,由

例2(2018年6月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考)設(shè)函數(shù)f(x)=3|ax|-(x+a)2,其中a∈R.

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;

(2)若對(duì)任意x∈[a,a+1],恒有f(x)≥-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

下面證明,當(dāng)a∈[-1,0],對(duì)任意x∈[a,a+1],恒有f(x)≥-1.

由此,對(duì)任意x∈[a,a+1],恒有f(x)≥-1.所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,0].

評(píng)注特殊化是把研究對(duì)象或問題從原有范圍縮小到較小范圍或個(gè)別情形進(jìn)行考察的思維方法,也就是說,當(dāng)數(shù)學(xué)問題的一般性不十分明顯時(shí),我們可以從特殊的數(shù)、形的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系入手,從而找到解題方法或構(gòu)成解題起點(diǎn).在解決不等式恒成立問題時(shí),通過代入特殊值(如端點(diǎn)值),可以縮小所求參數(shù)的范圍,甚至可以得到結(jié)果,如上述兩題,但特殊化所得結(jié)論是問題成立的必要條件,接下來論證其充分性即可,這樣就掌控了解題節(jié)奏,能大幅度提高成功解題的概率.

二、數(shù)形結(jié)合,借助圖象直觀解

例3(2018年4月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考)若不等式2x2-(x-a)|x-a|-2≥0對(duì)于任意x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值是

解析被一道學(xué)考試題難住了,讓不少學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上開始“懷疑人生”.

圖1

解析f(x)是分段函數(shù),想從“數(shù)”的角度破題無(wú)異于“與虎謀皮”,那就從“形”的角度入手,對(duì)任意的x∈[0,1]恒有f(x+a)≤f(x)成立,就是在區(qū)間[0,1]上,f(x+a)的圖象總在f(x)圖象的下方或者與之重合,而f(x+a)的圖象可以由f(x)的圖象經(jīng)過平移得到,當(dāng)a=0時(shí),符合題意;當(dāng)a＜0時(shí),如圖(2),可得a=-1;當(dāng)a＞0時(shí),如圖(3),可得a≥1,綜上所述,a≥1, a=0, a=-1.

圖2

圖3

評(píng)注華羅庚教授有詩(shī)云,“數(shù)無(wú)形時(shí)少自覺,形少數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)是形的抽象概括,形是數(shù)的直觀表現(xiàn),數(shù)形結(jié)合是指通過實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化,使抽象思維和形象思維相互作用,將抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來研究數(shù)學(xué)問題.上述兩題數(shù)量關(guān)系抽象難懂,尤其是例4,但將數(shù)量關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)后,就有一種“撥開云霧見月明”的感覺,很直觀地就將問題給解決了.

三、分離參數(shù),轉(zhuǎn)化問題簡(jiǎn)潔解

例5已知f(x)=ax3,g(x)=9x2+3x-1,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)≥g(x)恒成立,則a的取值范圍為( )

解析f(x)≥g(x)恒成立,即ax3≥9x2+3x-1恒成立.因?yàn)閤∈[1,2],所以對(duì)a實(shí)施分離,可得恒成立.令則當(dāng)時(shí),a≥9t+3t2-t3恒成立.令h(t)=9t+3t2-t3,則h′(t)=9+6t-3t2=-3(t-1)2+12.易知h′(t)在上是增函數(shù),得,所以h(t)在上是增函數(shù),從而a≥h(t)max=h(1)=11.故選A,這就是分離參數(shù)法解題的“套路”.

綜上所述,求并集得0＜b≤9,故實(shí)數(shù)b的最大值為9.

評(píng)注分離參數(shù)法通常是指對(duì)題設(shè)中含參不等式(方程)的參數(shù)進(jìn)行分離,使不等號(hào)(等號(hào))一端只含有參數(shù)(不含變量),另一端只含變量(不含參數(shù)),從而解決有關(guān)不等式恒成立、不等式或方程有解中參數(shù)的取值范圍或參數(shù)最值的一種方法.對(duì)于不等式恒成立問題,如能成功分離參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為易于求解的函數(shù)值域或最值問題,那么就能極大地優(yōu)化解題程序,使解題過程簡(jiǎn)潔明快.

四、變換主元,合理減元輕松解

例7(2017年湖州、衢州、麗水三地質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若存在實(shí)數(shù)a∈[1,2],對(duì)任意x∈[1,2],都有f(x)≤1,則7b+5c的最大值是

評(píng)注在日常解題中,我們總是習(xí)慣于將多元不等式轉(zhuǎn)換成x的不等式,視x為主元,這種思維定勢(shì)有時(shí)會(huì)增加問題解決的難度和復(fù)雜性.像例7,例8含多元的不等式恒成立問題,就需要緊扣問題目標(biāo),先選擇某已知變量為主元,x為參數(shù),就可以“掙脫”多元束縛,按層次有效減元消元,使問題由復(fù)雜不斷走向簡(jiǎn)單,直至迎刃而解.

五、構(gòu)造函數(shù),化歸最值容易解

例9當(dāng)x≥0時(shí),不等式ln(x+1)≥x-kx2恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值是

解析當(dāng)x=0時(shí),不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)k恒成立,無(wú)法縮小k的范圍;那就分離變量,當(dāng)x＞0時(shí),可得k≥恒成立,令g(x)=,求導(dǎo)后,發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)變得復(fù)雜,難以求g(x)的最大值,怎么辦?

直接構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x+kx2(x≥0),則由題意知x≥0時(shí),f(x)min≥0,首先f(wàn)(1)=k-1+ln2≥0,得k＞0.求導(dǎo)得,

例10已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx,

(2)存在實(shí)數(shù)k,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1,e],恒有f(x)≥(k+1)x+b成立,求k+b的最大值.

綜上所述,k+b的最大值為-1.

評(píng)注函數(shù)、方程、不等式是數(shù)學(xué)中的“三駕馬車”,根據(jù)解決問題的需要,在函數(shù)、方程、不等式三者之間進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,就能把尚未解決或難以解決的問題逐步歸結(jié)為已經(jīng)解決或易于解決的問題.上述兩題的解法,就是通過構(gòu)造函數(shù),把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)研究的問題,通過討論函數(shù)的單調(diào)性,計(jì)算函數(shù)在給定區(qū)間上的最值,從而實(shí)現(xiàn)問題的解決.