眾里尋“心”千百度 繁華落盡識(shí)真顏—確定多面體外接球球心位置的一般途徑與四個(gè)特殊模型

安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué)(246700) 朱賢良

當(dāng)多面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上時(shí),我們稱(chēng)該球?yàn)槎嗝骟w的外接球.有關(guān)外接球的立體幾何問(wèn)題能有效地考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng),是近年高考試題的熱點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容之一.鑒于此類(lèi)試題綜合性較強(qiáng),思維難度較大,形形色色、千姿百態(tài)的多面體常令學(xué)生望而生畏、束手無(wú)策、敬而遠(yuǎn)之.因此,非常有必要對(duì)多面體的外接球問(wèn)題作一梳理與總結(jié),從看似不規(guī)則的空間結(jié)構(gòu)中去尋找規(guī)則的求解思路,形成有法可依、有規(guī)可循的方法體系.

在求解外接球問(wèn)題時(shí),其關(guān)鍵步驟在于確定球心的位置.與外接球有關(guān)的特征與規(guī)律就是我們確定外接球球心位置的依據(jù),可以幫助我們透過(guò)多面體的重重繁華表象,從本質(zhì)的角度來(lái)形成規(guī)則的求解思路.首先,球心到球面上各點(diǎn)的距離都等于半徑,因此哪個(gè)點(diǎn)到多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,那么這個(gè)點(diǎn)就是球心.其次,球心與截面圓圓心的連線(xiàn)垂直于截面(球的截面圓性質(zhì)),因此球心必在過(guò)截面圓圓心且與截面垂直的直線(xiàn)上.根據(jù)這兩點(diǎn),即可形成確定外接球球心的一般方法,又或者利用一些特殊幾何體,進(jìn)而讓外接球球心畢露.

一、確定外接球球心位置的一般途徑:從外接圓到外接球

如前所述,球心在過(guò)截面圓圓心且與截面垂直的直線(xiàn)上,故多面體外接球球心必在過(guò)表面多邊形的外接圓圓心、且與表面垂直的直線(xiàn)上.如圖1所示,過(guò)兩表面多邊形外接圓圓心且垂直于兩表面的直線(xiàn)的交點(diǎn)即為多面體外接球的球心.這是確定外接球球心位置的一般途徑.

圖1

例1三棱錐A-BCD中,BD=4,AB=AD=BC=DC=,且平面ABD⊥平面BCD,則該三棱錐的外接球的表面積為( )

A.27π B.30π C.32π D.34π

解析如圖2,設(shè)△BCD,△ABD的外接圓半徑分別為r1,r2,外心分別為O1,O2,則r1= r2且O1,O2分別在中線(xiàn)CE,AE上.在△BCD中,sin∠DBC===由正弦定理得2r1==5,即則O1C=O2A=

圖2

過(guò)O1,O2分別作平面BCD和平面ABD的垂線(xiàn),則兩垂線(xiàn)的交點(diǎn)O就是多面體外接球的球心,且四邊形OO1EO2為正方形,故球心O到平面BCD的距離為d=OO1=O2E=所以,外接球的半徑為R=外接球的表面積為S=4πR2=34π.

點(diǎn)評(píng)多面體外接球球心在過(guò)表面多面形的外心、且與表面垂直的直線(xiàn)上,而在選擇表面多邊形時(shí)要注意選擇特殊形狀的多邊形,如正三角形、直角三角形、等腰三角形等,以比較容易地確定外心位置并求出外接圓半徑大小.本題中,△BCD,△ABD為全等的等腰三角形,其所在平面又垂直,這有助于分析外心位置、確定線(xiàn)面的位置關(guān)系.

例2在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,二面角S-AB-C的大小是120°,則此三棱錐的外接球的表面積為

解析如圖3,在△SAB中,SA=SB=AB=3,則SA2+AB2=SB2,故∠SAB為直角,△SAB的外心為斜邊SB的中點(diǎn)O1,且外接圓半徑為

圖3

點(diǎn)評(píng)本題中,△SAB與△ABC分別為直角三角形、等邊三角形,借助這兩個(gè)特殊形狀的三角形外心來(lái)確定外接球球心的位置,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想,實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而使得問(wèn)題迎刃而解.

二、四類(lèi)特殊幾何體的外接球:巧借特殊模型玩轉(zhuǎn)外接球

由多邊形的外心到多面體外接球球心是確定外接球球心的一般途徑,但其直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程顯得繁雜.實(shí)際上,雖然空間多面體形態(tài)各異,但不少多面體都可以轉(zhuǎn)化為幾類(lèi)特殊、簡(jiǎn)單的幾何體來(lái)確定其外接球的球心與半徑,通過(guò)透視特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可發(fā)現(xiàn)其外接球的秘密,進(jìn)而通過(guò)幾類(lèi)特殊模型來(lái)簡(jiǎn)化求解過(guò)程.

2.1 長(zhǎng)方體的外接球:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)即為外接球的直徑

從小學(xué)到高中,長(zhǎng)方體幾乎伴著我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全過(guò)程,是我們認(rèn)識(shí)空間結(jié)構(gòu)與空間關(guān)系的重要載體.我們知道,長(zhǎng)方體的四條體對(duì)角線(xiàn)具有長(zhǎng)度相等、相交于一點(diǎn)且互相平分等性質(zhì),其交點(diǎn)到長(zhǎng)方體八個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,故長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)即為外接球球心,其體對(duì)角線(xiàn)就是外接球的一條直徑.具體來(lái)說(shuō),如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,由勾股定理得其體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為故即外接球半徑為在求解外接球問(wèn)題時(shí),抓住長(zhǎng)方體這一特殊模型,借助長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行巧妙構(gòu)造,可以化難為易、化繁為簡(jiǎn).

例3(2019年高考全國(guó)I卷理科第12題)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,PB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為( )

解析由題意,三棱錐PABC為正三棱錐.如圖4,取AC中點(diǎn)D,連接PD,BD,則AC⊥PD,AC⊥BD,故AC⊥平面PBD,AC⊥PB.又∠CEF=90°,而PB//EF,故PB⊥CE.所以,PB⊥平面PAC,PB⊥PA,PB⊥PC.

圖4

由此可知,正三棱錐PABC的側(cè)面為等腰直角三角形,且PA=PB=PC=故此正三棱錐可視為棱長(zhǎng)為的正方體的一角,如圖5所示.設(shè)球O的半徑為R,則R=,故球O的體積為

圖5

點(diǎn)評(píng)本題求解的關(guān)鍵步驟有二:一是認(rèn)清三棱錐P-ABC的結(jié)構(gòu)特征(也可以由cos∠AEC=-cos∠PEC及余弦定理列式計(jì)算得到側(cè)棱長(zhǎng)為故側(cè)面為等腰直角三角形),二是通過(guò)構(gòu)造正方體來(lái)求取外接球問(wèn)題.事實(shí)上,當(dāng)三棱錐某一頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直時(shí),可將此三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體,進(jìn)而借助長(zhǎng)方體的外接球來(lái)簡(jiǎn)化求解過(guò)程.

例4(2018年河北預(yù)賽高二試題)若△A1A2A3的三邊長(zhǎng)分別為8,10,12,三條邊的中點(diǎn)分別是B,C,D,將三個(gè)中點(diǎn)兩兩連結(jié)得到三條中位線(xiàn),此時(shí)所得圖形是三棱錐A-BCD的平面展開(kāi)圖,則此三棱錐的外接球的表面積是

圖6

圖7

解析根據(jù)題意繪制圖形,如圖6,將△A1A2A3分別沿BC,CD,DB進(jìn)行折疊后,得到圖7中的三棱錐A-BCD.因?yàn)槿忮FA-BCD的三對(duì)對(duì)棱長(zhǎng)分別對(duì)應(yīng)相等,聯(lián)系到長(zhǎng)方體的上下面、前后面、左右面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別對(duì)應(yīng)相等,故可將此三對(duì)棱分別視為長(zhǎng)方體三對(duì)面的對(duì)角線(xiàn).

圖8

點(diǎn)評(píng)當(dāng)三棱錐的三對(duì)對(duì)棱長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等時(shí),將其補(bǔ)形成長(zhǎng)方體的思路較為隱蔽,解題時(shí)要注意判斷與識(shí)別.比如正四面體,可以通過(guò)這種思路將其補(bǔ)形成正方體進(jìn)行求解.

2.2 直棱柱的外接球:上、下底面外心連線(xiàn)段的中點(diǎn)即為外接球球心

除長(zhǎng)方體外,一般直棱柱的外接球問(wèn)題也是十分常見(jiàn).如圖9,設(shè)直棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為h,上、下底面的外心分別為O1,O2,外接圓半徑為r,根據(jù)球心的特征(球心到球面上每一點(diǎn)的距離均為半徑R)及球的截面圓性質(zhì)(球心與截面圓圓心的連線(xiàn)垂直于截面),不難判斷,線(xiàn)段O1O2的中點(diǎn)O即為外接球的球心.顯然,球心O到底面的距離d等于側(cè)棱長(zhǎng)h的一半,故外接球的半徑為

圖9

例5(2018年甘肅預(yù)賽)已知△PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2, ∠APD=60°,若點(diǎn)P,A,B,C,D都在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為

圖10

圖11

解析如圖10,作出四棱錐P-ABCD.過(guò)點(diǎn)P作平面PAD的垂線(xiàn)段,且長(zhǎng)度與AB相等,可將四棱錐補(bǔ)形成正三棱柱,如圖11所示.由題意,正三棱柱底面△PAD的邊長(zhǎng)為2,則其外接圓半徑r滿(mǎn)足即又正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為h=2,故外接球的半徑為其表面積為

點(diǎn)評(píng)將空間幾何體補(bǔ)形成特殊幾何體的前提是對(duì)空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的清楚理解與準(zhǔn)確把握,特別是線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面及面面的垂直關(guān)系.

例6(2016年高考北京卷理科第6題改編)某三棱錐的三視圖如圖12所示,則該幾何體的外接球的體積為

圖12

解析根據(jù)三視圖,不難想象知該幾何體為如圖13所示的三棱錐A-BCD,△ABC的三邊長(zhǎng)分別為BC=1,AB=AC=,CD⊥平面ABC,且CD=1.根據(jù)此幾何特征,分別過(guò)A,B作平面ABC的垂線(xiàn)段,且長(zhǎng)度均與CD相等,進(jìn)而將三棱錐A-BCD補(bǔ)形成以△ABC為底的直三棱柱,如圖14所示.由解三角形知識(shí),易得則△ABC的外接圓半徑r滿(mǎn)足即又棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為h=CD=1,故外接球的半徑為其體積等于

圖13

圖14

點(diǎn)評(píng)高考原題是求三棱錐的體積,改編為本題后,在求解時(shí)需要突破兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是根據(jù)三視圖,準(zhǔn)確還原幾何體的結(jié)構(gòu)特征,這是補(bǔ)形的出發(fā)點(diǎn);二是根據(jù)幾何體的重要結(jié)構(gòu)特征“CD⊥平面ABC”,靈活通過(guò)補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為直三棱柱求解其外接球問(wèn)題.

2.3 含有共斜邊的兩個(gè)直角三角形的三棱錐:公共斜邊就是外接球的直徑

如前所述,外接球的球心到球面上每一點(diǎn)的距離均為半徑R,抓住外接球球心的這一特征可以迅速確定球心的位置.如圖15所示,在四面體ABCD中,△ABC與△ABD均為直角三角形,AB為公共的斜邊,O為AB的中點(diǎn).

根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半的結(jié)論可知,OC=OD=OA=OB,即點(diǎn)O到A,B,C,D四點(diǎn)的距離相等,故點(diǎn)O就是四面體ABCD外接球的球心,公共的斜邊AB就是外接球的一條直徑.

圖15

例7矩形ABCD中,AB=6,AD=8,沿對(duì)角線(xiàn)AC將△ABC折起,得到四面體ABCD,則四面體ABCD外接球的體積為

解析如圖16,折疊后形成的四面體中,△ABC與△ACD均為直角三角形,且AC為其公共斜邊,故AC為外接球的直徑,即半徑所以,四面體ABCD外接球的體積為

圖16

點(diǎn)評(píng)折疊問(wèn)題需要認(rèn)清折疊前后的哪些量與位置關(guān)系變或不變,其不變性是才是新空間幾何體的重要特征.

例8如圖17,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PB⊥平面ABCD,O為對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn).若PB=1,則三棱錐P-BCO的外接球的表面積為( )

A.2π B.4π C.6π D.8π

圖17

解析因?yàn)镻B⊥平面ABCD,則PB⊥AC.而底面ABCD為菱形,則BD⊥AC.故而有AC⊥平面PBD,則AC⊥PO.于是,三棱錐P-BCO的兩個(gè)面△PBC與△POC皆為直角三角形,且PC為其公共斜邊,故PC為三棱錐外接球的一條直徑,外接球的半徑=PB=1,外接球的表面積為S=4πR2=4π,正確選項(xiàng)為B.

點(diǎn)評(píng)實(shí)際上,三棱錐P-BCO的四個(gè)側(cè)面皆為直角三角形,也可以將其補(bǔ)形成長(zhǎng)方體或直三棱柱后再確定外接球球心的位置.

2.4 側(cè)棱長(zhǎng)相等的棱錐:外接球球心在棱錐的高所在的直線(xiàn)上

當(dāng)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)相等時(shí),棱錐頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的外心,而外接球球心與底面多邊形外心的連線(xiàn)也與底面垂直,故外接球球心恰好在棱錐的高所在的直線(xiàn)上.如圖18所示,若棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)相等,且其高為h,底面外接圓半徑為r,設(shè)其外接球半徑為R(h≥R),根據(jù)勾股定理得R2=(h-R)2+r2,故同理,如圖19,當(dāng)h＜R時(shí),R2=(R-h)2+r2,也可得到所以,不論h與R的大小關(guān)系如何,總有

圖18

圖19

例9(2018年山西預(yù)賽)四面體ABCD中,有一條棱長(zhǎng)為3,其余五條棱長(zhǎng)皆為2,則其外接球的半徑為

解析如圖20,設(shè)AB=AC=AD=BC=BD=2,CD=3,且E為棱CD的中點(diǎn),F為點(diǎn)A在底面BCD上的射影,則

圖20

點(diǎn)評(píng)當(dāng)棱錐側(cè)棱長(zhǎng)相等時(shí),只須求出棱錐的高h(yuǎn)與底面外接圓半徑r,代入公式即可一蹴而就求得外接球半徑.

例10(2017年福建預(yù)賽)三棱錐P-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,PB=且二面角P-BC-A的大小為45°,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為

圖21

解析如圖21,取BC中點(diǎn)為D,連接PD,AD,則二面角P-BC-A的平面角為∠PDA=45°.在△PAD中,AD=3,PD=由余弦定理得所以,三棱錐P-ABC為正三棱錐.設(shè)△ABC外接圓半徑為r,則=4, r=2,棱錐的高為h==1,故外接球半徑為=外接球的表面積為S=4πR2=25π.

點(diǎn)評(píng)解決外接球問(wèn)題的第一步是識(shí)別多面體的結(jié)構(gòu)特征,如本題要從條件出發(fā)判斷出P-ABC為正三棱錐這一特殊幾何體,再借助特殊模型進(jìn)行求解.因此,特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決立體幾何問(wèn)題的立足點(diǎn),在解題時(shí)要注意把握.