利用面積證明不等式探究

新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第九師龍珍高級中學(xué)(834600) 王宏剛

高考數(shù)學(xué)中,經(jīng)常出現(xiàn)一些證明不等式的問題,這類問題往往可以看成是數(shù)列不等式問題.與數(shù)列有關(guān)的不等式除用數(shù)學(xué)歸納法證明外,這類問題經(jīng)常涉及函數(shù),不等式等綜合知識,對數(shù)學(xué)知識技能,數(shù)學(xué)思想意識等的要求非常高.本文將以幾道高考題為例,探究如何利用面積的關(guān)系證明此類不等式.

一、數(shù)列的和比曲面圖形的面積小

例1(2014年高考陜西卷理科第21題)設(shè)函數(shù)F(x)=ln(1+x),G(x)=xF′(x),(x＞0),其中F′(x)是F(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1),(2)略.

(3)設(shè)n∈N*,比較G(1)+G(2)+···+G(n)與n-F(n)的大小,并加以證明.

解析(3)由條件知G(x)=故

要比較G(1)+G(2)+···+G(n)與n-F(n)的大小,只需要比較與F(n)的大小.

圖1

以上通過圖形與構(gòu)造代數(shù)式將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換,從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)與式的轉(zhuǎn)化,解決此類問題除了常規(guī)方法,還可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系問題,將面積關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為定積分問題,這種方法可以解決函數(shù)不等式問題.特殊地,可以解決數(shù)列不等式問題.上面的可以看作是調(diào)和數(shù)列求和問題.

例2(2012年高考天津卷)已知函數(shù)f(x)=x-ln(a+x)的最小值為0,其中a＞0.

(1),(2)略.

解析(3)欲證-ln(2n+1)＜2(n∈N*),即-ln(2n+1)＜2(n∈N*),即是ln(2n+1)(n∈N*),這個(gè)不等式可以利用上面的方法,將問題轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系來求證,過程略.

經(jīng)過上面的兩個(gè)例子,我們可以得到

性質(zhì)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,an=pn+q且an＞0,q＞0,為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,則

例3(2011年高考四川卷理科第22題)已知函數(shù)

(1),(2)略.

圖2

圖3

分析(3)如圖2所示,利用例1的方法,然后代入f(100)h(100)發(fā)現(xiàn)其值是負(fù)數(shù),則判斷f(100)h(100)但發(fā)現(xiàn)這與答案不符,究其原因,是因?yàn)槲覀儼训闹捣诺奶?導(dǎo)致最后的結(jié)果出錯了.經(jīng)過一番思考,我們發(fā)現(xiàn)了將矩形的面積可以轉(zhuǎn)化成梯形的面積,從而縮小了梯形面積的和與曲邊梯形面積的差距,從而把的值放的小了,問題得以解決,解法如