分段函數(shù)可導(dǎo)性的一種新判法

【摘要】函數(shù)的可導(dǎo)性問題是高等數(shù)學(xué)中的一個重點和難點，尤其是分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性問題。本文以洛必達(dá)法則推得一個由導(dǎo)函數(shù)判斷分段函數(shù)分段點處可導(dǎo)性的新方法。

【關(guān)鍵詞】洛必達(dá)法則 可導(dǎo)性 導(dǎo)函數(shù)極限

高等數(shù)學(xué)中函數(shù)在某點處尤其是分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性判定是個重點也是難點，教材中多以定義判定，但定義法往往不是最簡便、最實用的方法?？紤]到分段點左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)一般都很容易得到，且很多情況下已知某點左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)，能否借助導(dǎo)函數(shù)來討論函數(shù)的可導(dǎo)性呢？學(xué)習(xí)完洛必達(dá)法則之后，可導(dǎo)出一種新的判定方法。

預(yù)備 洛必達(dá)法則的適用條件：

由于連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，不連續(xù)必不可導(dǎo)，連續(xù)不一定可導(dǎo)，下面我們由洛必達(dá)法則推得連續(xù)函數(shù)于某點處可導(dǎo)性的判定方法。

定理：設(shè)函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，且在x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。

證明：由導(dǎo)數(shù)的定義，考察函數(shù)在某點處可導(dǎo)性，需考察極限存在性。

∵函數(shù)f（x）在x=x0連續(xù)，

由洛必達(dá)法則

定理表明：連續(xù)函數(shù)在某點處的可導(dǎo)性問題可轉(zhuǎn)化為求該點去心鄰域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的極限問題。

∴f（x）在x=0處可導(dǎo)，且f'（0）=0。

用該定理討論分段函數(shù)分段點處的可導(dǎo)性時，常常需要考察分段函數(shù)在分段點處兩側(cè)鄰域內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)極限，左極限存在左可導(dǎo)，右極限存在右可導(dǎo)，左右極限都存在且相等則函數(shù)于該點可導(dǎo)。

∴函數(shù)f（x）在x=0處是連續(xù)的

因此f（x）在x=1處連續(xù)

以上由洛必達(dá)法則推得的一個借助導(dǎo)函數(shù)極限判斷函數(shù)可導(dǎo)性的方法還是較為實用的。提醒注意使用條件，不要死搬硬套。先看是否連續(xù)，不連續(xù)必不可導(dǎo)，若連續(xù)，再查兩側(cè)鄰域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的極限，極限存在則可導(dǎo);極限為∞則不可導(dǎo);極限不存在且非∞定理失效。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編? 高等數(shù)學(xué)（第五版，上冊）高等教育出版社

[2]馬志敏? 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)同濟(jì)大學(xué)（同濟(jì)五版） 中山大學(xué)出版社