洛必達(dá)法則的合理應(yīng)用

隋姜昊

【摘要】本文全面闡述了如何使用洛必達(dá)法則，以及在使用的過(guò)程中存在的問(wèn)題，并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明和分析.

【關(guān)鍵詞】極限；洛必達(dá)法則；數(shù)學(xué)

一、常規(guī)洛必達(dá)求解極限問(wèn)題

L′Hospital法則（洛必達(dá)法則）：

設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域U0（a，δ）內(nèi)有定義，且滿足：

（1）limx→af（x）=0（∞）及l(fā)imx→ag（x）=0（∞）；

（2）f（x）和g（x）在U0（a，δ）內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；

（3）limx→af′（x）g′（x）=A（A為常數(shù)，或?yàn)椤蓿?，則有l(wèi)imx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A.

其中第三個(gè)條件極為重要.在求極限時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限或者兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限，這類(lèi)極限有的存在，有的不存在，通常稱這種類(lèi)型的極限式為未定式.以下是常見(jiàn)的情形.

二、分析并解決問(wèn)題

（一）變形求解

洛必達(dá)法則作為如此重要的法則，是不是可以解決所有的問(wèn)題，答案是否定的，例如limx→+∞e-1x2x100，使用洛必達(dá)法則，得到limx→+∞e-1x2200x102，看到這個(gè)式子，我們完全不能繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算，但通過(guò)觀察，運(yùn)用換元法，易得令t=1x2，可以得到limx→0e-1x2x100=limt→∞t50et=0，上式是經(jīng)過(guò)了簡(jiǎn)單的變形，順利使用了洛必達(dá)法則求解問(wèn)題.

以上的問(wèn)題很顯然需要經(jīng)過(guò)變形輔助求解極限，可以作為洛必達(dá)法則的變形分析，同樣可以運(yùn)用這種方式求解limx→-∞x1+x2，分子分母同時(shí)除以x，可以求得如limx→-∞11+1x2=1.

（二）使用洛必達(dá)法則需謹(jǐn)慎

洛必達(dá)在求解極限問(wèn)題時(shí)存在著較大的優(yōu)勢(shì).但洛必達(dá)法則是否是萬(wàn)能的呢？

xx=limx→+∞1+cosx1，其極限不存在，那么可以得到不可使用洛必達(dá)法則.出現(xiàn)這種問(wèn)題主要是由于求導(dǎo)后的式子無(wú)法求極限或者不能繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

三、總結(jié)

通過(guò)上述分析，洛必達(dá)法則使用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（1）滿足定理?xiàng)l件下的某些計(jì)算無(wú)法解決計(jì)算問(wèn)題；（2）洛必達(dá)法則需要和其他數(shù)學(xué)方法進(jìn)行結(jié)合使用，比如換元法，結(jié)合使用才能發(fā)揮作用；（3）被求極限的式子必須為未定式才可以使用洛必達(dá)法則；（4）若limf′（x）F′（x）不存在，不能使用洛必達(dá)法則.