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    結(jié)合“洛必達(dá)法則”巧解2016年全國新課標(biāo)1卷壓軸題

    2016-07-27 14:13:57李曉波
    關(guān)鍵詞:洛必達(dá)法則洛必達(dá)壓軸

    李曉波

    1前言

    在全國高考試題中,與函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的難題,因?yàn)榫C合性強(qiáng)常常作為壓軸題出現(xiàn),求解此類問題時(shí),一般需要確定函數(shù)的值域和參數(shù)的范圍.今年也不例外,其中全國新課標(biāo)1卷理科壓軸題和文科壓軸題均需要確定參數(shù)的范圍.此題的傳統(tǒng)做法是構(gòu)建函數(shù)然后運(yùn)用分類討論,求導(dǎo),分析單調(diào)性,過程復(fù)雜繁瑣,而且分類的情況比較多,學(xué)生討論的過程比較復(fù)雜,容易丟解或者漏解.筆者采用參變分離后結(jié)合“洛必達(dá)法則”解題,簡化解題過程,幫助學(xué)生快速解題.

    2“洛必達(dá)法則”簡介

    法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)limx→af(x)=0及l(fā)imx→ag(x)=0;(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)可導(dǎo)且g′(x)≠0;(3)limx→af′(x)g′(x)=l,那么limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=l.

    法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)limx→∞f(x)=0及l(fā)imx→∞g(x)=0;

    (2)A>0,f(x)和g(x)在(-∞,A)與(A,+∞)上可導(dǎo),且g′(x)≠0;

    (3)limx→∞f′(x)g′(x)=l,那么limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f′(x)g′(x)=l.

    法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)limx→af(x)=∞及l(fā)imx→ag(x)=∞;

    (2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)可導(dǎo)且g′(x)≠0;(3)limx→af′(x)g′(x)=l,

    那么limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=l.

    3試題與解法分析

    (2016年全國1卷理21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;

    我們只研究第一問.

    解法一由已知得:f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

    ①若a=0,那么f(x)=0(x-2)ex=0x=2,f(x)只有唯一的零點(diǎn)x=2,不合題意;

    ②若a>0,那么ex+2a>ex>0,所以當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<1時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.故f(x)在(1,+∞)上至多一個(gè)零點(diǎn),在(-∞,1)上至多一個(gè)零點(diǎn).由于f(2)=a>0,f(1)=-e<0,則f(2)·f(1)<0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,f(x)在(1,2)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).而當(dāng)x<1時(shí),exe(x-2)+a(x-1)2=a(x-1)2+e(x-1)-e.

    則f(x)=0的兩根x1=-e-e2+4ae2a+1,x2=-e+e2+4ae2a+1,x10,故當(dāng)xx2時(shí),a(x-1)2+e(x-1)-e>0,因此,當(dāng)x<1且x0.

    又f(1)=-e<0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,f(x)在(-∞,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).此時(shí),f(x)在R上有且只有兩個(gè)零點(diǎn),滿足題意.

    ③若-e20,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)ln(-2a)eln(-2a)+2a=0,即f′(x)=(x-1)(ex+2a)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí),x-1>0,ex+2a>eln(-2a)+2a=0,即f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.而極大值f[ln(-2a)]=-2a[ln(-2a)-2]+a[ln(-2a)-1]2=a{[ln(-2a)-2]2+1}<0

    故當(dāng)x≤1時(shí),f(x)在x=ln(-2a)處取到最大值f[ln(-2a)],那么f(x)≤f[ln(-2a)]<0恒成立,即f(x)=0無解.而當(dāng)x>1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,至多一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)f(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

    ④若a=-e2,那么ln(-2a)=1,當(dāng)x<1=ln(-2a)時(shí),x-1<0,ex+2a0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1=ln(-2a)時(shí),x-1>0,ex+2a>eln(-2a)+2a=0,即f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,又f(x)在x=1處有意義,故f(x)在R上單調(diào)遞增,此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

    ⑤若a<-e2,則ln(-2a)>1,當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,ex+2a0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)10,ex+2aln(-2a)時(shí),ex+2a>eln(-2a)+2a=0,x-1>ln(-2a)-1>0,,即f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,故當(dāng)x≤ln(-2a)時(shí),f(x)在x=1處取到最大值f(1)=-e,那么f(x)≤-e<0恒成立,即f(x)=0無解,當(dāng)x>ln(-2a)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,至多一個(gè)零點(diǎn).此時(shí)f(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

    綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)a>0時(shí)符合題意,即a的取值范圍為(0,+∞).

    解法二(利用洛必達(dá)法則):顯然x=1不是函數(shù)f(x)的零點(diǎn).當(dāng)x≠1時(shí),方程f(x)=0等價(jià)于-a=x-2(x-1)2ex,設(shè)g(x)=x-2(x-1)2ex,則g′(x)=x2-4x+5(x-1)3ex,顯然x2-4x+5>0,所以g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.利用洛必達(dá)法則,

    limx→-∞g(x)=limx→-∞x-2(x-1)2ex=limx→-∞(x-2)′[(x-1)2e-x]′=limx→-∞1e-x(-x2+4x-3)=0.

    而limx→1-g(x)=limx→1-x-2(x-1)2ex=-∞,所以g(x)在(-∞,1)上的取值范圍是(-∞,0),同理g(x)在(1,+∞)上的取值范圍是(-∞,+∞).g(x)圖象如右圖.

    因此,當(dāng)-a<0即a>0時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以a的取值范圍為(0,+∞).

    評注解法一分類的情況比較多,討論的過程比較復(fù)雜,容易丟解或者漏解,以致于花費(fèi)大量時(shí)間還容易解錯(cuò).解法二在參數(shù)與變量分離后,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(值域),此時(shí),利用“洛必達(dá)法則”可輕松處理.

    4結(jié)束語

    高考是選拔考試,數(shù)學(xué)的區(qū)分度高,有利于高校選拔具有學(xué)習(xí)潛能的人才.從近年來全國各地高考試題來看,以高等數(shù)學(xué)為背景的“高觀點(diǎn)”中學(xué)數(shù)學(xué)問題“頻頻登場”,此類問題也可用初等方法求解,但是要么過程繁瑣,要么技巧性高,學(xué)生大都覺的高不可攀,望題興嘆,但是如果能運(yùn)用“高觀點(diǎn)”居高臨下地分析和處理此類問題,往往簡單易行.

    在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中,向?qū)W生滲透極限等高等數(shù)學(xué)思想,對以后學(xué)好高等數(shù)學(xué)具有很大的實(shí)際意義.而在極限的理論中,“洛必達(dá)法則”發(fā)揮著重要的作用.

    參考文獻(xiàn)

    [1]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義[M].高等教育出版社,2003.

    [2]學(xué)而思.2016年高考新課標(biāo)I卷理數(shù)試題解析[DB/OL].http://gaokao.zxxk.com/AttachDetail.aspx?InfoID=5359357

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