例談中學(xué)生數(shù)學(xué)“說題”教研活動

中學(xué)生數(shù)學(xué)說題是指學(xué)生在解完一道數(shù)學(xué)題后，向被說題者（教師或?qū)＜以u委等），闡述自己解決試題的思維過程，主要包含如下幾個環(huán)節(jié)：一是說題目，即運(yùn)用數(shù)學(xué)語言說清題目所給的信息，已知條件有哪些，所求結(jié)論是什么，題目涉及哪些知識點(diǎn)；二是說解法，解決這道題目運(yùn)用什么方法，有哪些步驟，你是如何想到的，如何表述；三是說反思，解決這道題都運(yùn)用到哪些數(shù)學(xué)思想方法，有無其它解法，哪種解法最優(yōu)，所得結(jié)論或性質(zhì)在解題中有什么應(yīng)用，能否推廣？

【關(guān)鍵詞】學(xué)生說題；解后反思；說題教研

1問題的緣起

有這樣一個故事：有個孩子剛上高三時，他的數(shù)學(xué)成績很不理想，他的媽媽非常著急，就找了一位數(shù)學(xué)專家，問有什么好方法能讓她的孩子提高數(shù)學(xué)成績，這位專家給她支了一個點(diǎn)子：“叫孩子每次都給你講作業(yè).”家長說：“我聽不懂怎么辦？”專家說：“聽不懂也聽.”堅持了一兩個月后孩子有明顯進(jìn)步，并且數(shù)學(xué)的進(jìn)步會遷移，帶動其他學(xué)科，一年后考上了重點(diǎn)大學(xué)，這位專家就是采用了一個重要的方法“說題”.這個“說題”活動必須獨(dú)立完成作業(yè)，進(jìn)一步必須理清思路才能表達(dá)出來.

2015年4月25日～4月26日我市在市教師進(jìn)修學(xué)校舉行2015年中學(xué)生數(shù)學(xué)“說題”交流評比活動，比賽分初中組和高中組.全市由14個初中教研片和5個高中教研片分別推薦2～3名學(xué)生和6～8名學(xué)生參賽，比賽當(dāng)天，共有初中學(xué)生39人、高中學(xué)生34人參加本次交流評比活動，本次學(xué)生現(xiàn)場說題時間限制在8分鐘以內(nèi)，比賽現(xiàn)場精彩紛呈.下面筆者結(jié)合現(xiàn)場案例談?wù)剬W(xué)生說題活動的思考與認(rèn)識，以期達(dá)到拋磚引玉的效果.2學(xué)生說題內(nèi)容

結(jié)合本次市級教研活動學(xué)生現(xiàn)場說題及評委交流，筆者認(rèn)為一般的學(xué)生說題應(yīng)包含以下幾個環(huán)節(jié)：

2.1說審題分析

主要包含兩個方面，一是試題背景來源，如自編的原創(chuàng)題，中（高）考試題或其改編題，教材的例習(xí)題原題或改編題，期中、期末考題等；二是題目結(jié)構(gòu)分析，即運(yùn)用數(shù)學(xué)語言分析題目所給的信息，已知條件有哪些，所求結(jié)論是什么，題目涉及哪些知識點(diǎn).

案例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是菱形，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）.

（1）填空：菱形ABOC的周長為；

（2）若將菱形ABOC向右平移，使菱形的某個頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上，求菱形ABOC平移的距離.

學(xué)生說題本題是2014年石獅市質(zhì)檢的第24題，主要考查菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)、勾股定理、平移變換等知識，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力、推理論證能力及數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結(jié)合、分類整合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.題目已知的條件有點(diǎn)A、B的位置，點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABOC的形狀，要求的結(jié)論有兩個，一個是求該菱形的周長，一個是求菱形向右平移的距離.

2.2說解題思維

即解決這道題目運(yùn)用的什么方法，有哪些步驟，你是如何想到的，如何表述，如何實(shí)踐操作.這里主要包含兩個方面，一個是解決本試題學(xué)生思路分析，一個是解法展示，實(shí)際說題時側(cè)重點(diǎn)有所不同，如所說的題目解法比較常規(guī)或試題難度值較大，應(yīng)把重點(diǎn)放在思路分析上，若所說之題可一題多解，可適當(dāng)給一些時間在解法研究中，并指出比較有特色的解法.

如上述試題，學(xué)生說題是這樣作解題思路分析的：解決第一小題思路為：先由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用勾股定理可求得OC的長為5，再由菱形的四條邊相等求得其邊長為5，進(jìn)而可求出菱形的周長為20.解決第二小題的思路為：有關(guān)函數(shù)類型的題目，比較常用的方法是先求出函數(shù)解析式.在仔細(xì)分析各種條件之間的聯(lián)系后，我們發(fā)現(xiàn)可以利用待定系數(shù)法來求函數(shù)解析式.而求反比例函數(shù)的解析式只需要知道一個已知點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就順理成章地要先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出反比例函數(shù)的解析式，因此就找到解決這個題目的突破口.由這個題目的已知條件要能分析出：本小題的隱含條件有AC∥BO和圖形平移過程中的不變性.也就是AC垂直x軸，即點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，等于4，這是解決本小題的關(guān)鍵點(diǎn).結(jié)合點(diǎn)A橫坐標(biāo)大于零，AC=OC=5，可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)C的縱坐標(biāo)加上AC的長為8，所以A的坐標(biāo)為（4，8），這樣我們就可以用待定系數(shù)法先求出反比例函數(shù)的解析式，然后分兩種情況即①平移后點(diǎn)B落在反比例函數(shù)圖象上②平移后點(diǎn)C落在反比例函數(shù)圖象上進(jìn)行討論，再利用方程思想分別求出點(diǎn)B、C平移后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（圖形左右平移過程中縱坐標(biāo)保持不變），從而求得菱形ABOC平移的距離.

在做完解題思路分析后，解題過程展示則簡略地把規(guī)范的解答展示給現(xiàn)場教師及評委即可.

案例2（2009年江西文科高考改編題）如圖2，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1和F2，過F1作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，過F2作x軸的垂線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若四邊形ABQP為正方形，求橢圓C的離心率e.

學(xué)生說題本題可采用一題多解，先說常規(guī)解法思路分析：把已知的幾何條件轉(zhuǎn)化成含有a、b、c的關(guān)系式，再由公式b2=a2-c2消去b，然后再將等式兩邊同除以a或a2得到離心率e的方程，最后求解得之.

解法一由xF2=c代入橢圓方程可得yP=b2a，進(jìn)而得到坐標(biāo)P（c，b2a），再由Rt△PF1F2中PF2F1F2=12得到c=b2a，整理得ac=b2=a2-c2，兩邊同時除以a2得e2+e-1=0，解得e=-1±52，由于e∈（0，1）得e=-1+52.

點(diǎn)評上述的解法思路容易想到，但運(yùn)算量大，即使省略了一些運(yùn)算步驟，書寫的過程仍十分冗長.

再溯本追源，另辟蹊徑：本題有一個很重要的信息即點(diǎn)F1和F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，由橢圓的定義知PF1+PF2=2a，而焦距為F1F2=2c，利用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合離心率e=ca=2c2a，研究圖3可得如下解法二.

解法二設(shè)F1F2=2m，則在Rt△PF1F2中，知PF2=m，PF1=5m，所以離心率e=2c2a=F1F2PF1+PF2=2m5m+m=5-12.

2.3說解后反思

說反思，即解決這道題都運(yùn)用到哪些數(shù)學(xué)思想方法，有無其它解法，哪種思路最優(yōu)、所得結(jié)論或性質(zhì)是否具有規(guī)律性，能否進(jìn)行推廣？題目能否進(jìn)行其它變化？這里也大略可分為三個方面，一個是說自己在解決本試題時如何處理遇到的困惑，二是解題后對該試題解法的價值研究，如解法推廣、引申等，三是對試題本身價值研究，如對所說試題進(jìn)行簡單拓展變式等（這點(diǎn)對學(xué)生要求較高）.

如案例1中學(xué)生是這樣做解后反思的：

（1）本題的難度情況：作為質(zhì)檢卷的第24題，本題綜合性強(qiáng)，需要我們學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和很強(qiáng)的分析能力.第一小題作為填空題無需解題過程，相對比較簡單，容易做出；第二小題相對比較難，需要很強(qiáng)的推理能力.我覺得本題容易忽視的條件是反比例函數(shù)的自變量x>0，本題的難點(diǎn)之一容易忽視平移過程中縱坐標(biāo)保持不變的隱含條件，從而造成無從入手的局面，難點(diǎn)二是菱形向右平移過程中，頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上有兩種情形可能考慮不全面.

（2）試題拓展分析：

拓展1設(shè)直線BC與x軸交于點(diǎn)D，求△ACD的面積（圖4）.

分析我們可以先用待定系數(shù)法由點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)求直線BC的關(guān)系式，再求出該直線與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后求出△ACD的面積為15.

拓展2設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，請求出直線AB的函數(shù)關(guān)系式，并問當(dāng)x取何值時（x>0）反比例函數(shù)的函數(shù)值小于它的函數(shù)值.

分析滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法.

拓展3設(shè)直線AB方程為y=mx+n，請利用函數(shù)圖象直接寫出不等式32x

分析利用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.

（3）解題策略反思：通過平時做過的函數(shù)類題目，發(fā)現(xiàn)它們經(jīng)常與幾何圖形、圖形的變換、實(shí)際應(yīng)用等問題相結(jié)合，因此綜合性強(qiáng)，需要扎實(shí)的基礎(chǔ)、比較強(qiáng)的分析能力、準(zhǔn)確計算的能力，同時又需要靈活運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，所以我們要想很好地掌握這類型的題目，平時就要多訓(xùn)練，多總結(jié)，多比較，進(jìn)一步地提高我們的解題思維水平.

案例3（國光中學(xué)高二上學(xué)期期中考試題）

已知f（x）=lnx-x，g（x）=-lnxx.求證：當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）

學(xué)生說題本題采用的方法可適用于如下兩道高考試題：

（2012年高考山東卷）已知f（x）=lnx+1ex，設(shè)g（x）=xf′（x）.求證：對任意的x>0，都有g(shù)（x）<1+e-2.（該題可采用加強(qiáng)命題或分解命題的方法處理）.

（2012年高考新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=ex-x-2.當(dāng)x>0時，（x-k）f′（x）+x+1>0，求整數(shù)k的最大值.（該題需采用深化命題的方法處理）.

備注

解題策略解題方法解題反思

加強(qiáng)命題轉(zhuǎn)化為證明f（x）max

分解命題轉(zhuǎn)化為證明g（x）<-x+elnx+lnxx-12在x∈（1，e]恒小于0.定義域適當(dāng)縮?。河桑?，e]縮小為（1，e]；函數(shù)式適當(dāng)放大，由lnx放大為elnx

深化命題局部-x2+x+1-lnx二次求導(dǎo)，設(shè)而不求分析其極值點(diǎn).導(dǎo)數(shù)的局部可以進(jìn)行二次求導(dǎo)進(jìn)一步分析，根可以采用設(shè)而不求方法進(jìn)行處理.

3若干思考

第一次舉行市級中學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)場說題比賽，難免粗陋，但我們事先有提供“中學(xué)生數(shù)學(xué)說題活動”的學(xué)習(xí)資料，大部分參賽學(xué)生對說題的流程及框架有所了解，因此整個活動開展得有條不紊，學(xué)生現(xiàn)場表現(xiàn)比我們事先預(yù)期的更好.通過上述案例分析，我們可大致了解中學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)場說題的含義及流程：中學(xué)生數(shù)學(xué)說題是指學(xué)生在解完一道數(shù)學(xué)題后，向被說題者（教師或?qū)＜以u委等），闡述自己解決試題的思維過程，主要包含如下幾個環(huán)節(jié)：一是說題目，即運(yùn)用數(shù)學(xué)語言說清題目所給的信息，已知條件有哪些，所求結(jié)論是什么，題目涉及哪些知識點(diǎn)；二是說解法，解決這道題目運(yùn)用什么方法，有哪些步驟，你是如何想到的，如何表述；三是說反思，解決這道題都運(yùn)用到哪些數(shù)學(xué)思想方法，有無其它解法，哪種解法最優(yōu)，所得結(jié)論或性質(zhì)在解題中有什么應(yīng)用，能否推廣？

總之，學(xué)生說題有利于敦促教師轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)方式，從而更充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，這也是我們開展本次比賽的一個主要出發(fā)點(diǎn).學(xué)生說題不僅能訓(xùn)練學(xué)生的口頭表達(dá)、數(shù)學(xué)語言交流能力，還能提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).通過現(xiàn)場比賽前后評委間的交流我們意識到，學(xué)生說題的對象還應(yīng)從說題對象是學(xué)生還是教師專家的角度來進(jìn)行評價更有效.鑒于我們開展這項活動的初衷是想轉(zhuǎn)變教師課堂滿堂灌的模式，鼓勵學(xué)生課堂上講題、說題，因此，下次說題教研活動開展可側(cè)重于從被說題對象是學(xué)生的角度以及讓學(xué)生說題進(jìn)課堂兩方面進(jìn)行嘗試.

作者簡介陳俊斌，男，1984年10月生，福建南安人，中學(xué)一級教師，南安市數(shù)學(xué)學(xué)會理事，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.發(fā)表多篇論文，輔導(dǎo)的學(xué)生參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽多人次獲得省市二、三等獎，獲全國數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員、校級優(yōu)秀教師、南安市“教學(xué)研究積極分子”等榮譽(yù)稱號，參與省、市級課題研究多項.