數(shù)學(xué)概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的類型

崔寶蕊

【摘要】

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有關(guān)鍵地位.概念的建立不可能一蹴而就，需要一個(gè)心理加工的過(guò)程，這就為概念教學(xué)帶來(lái)了困難.情境化的概念教學(xué)，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念提供了緩沖的時(shí)間，是一種有效的教學(xué)途徑.基于曹廣福教授《變化率與導(dǎo)數(shù)》一課，結(jié)合實(shí)際教學(xué)內(nèi)容，分析概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的類型.在概念教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)可以創(chuàng)設(shè)日常生活問(wèn)題情境、學(xué)科問(wèn)題情境、數(shù)學(xué)問(wèn)題情境.

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué)；問(wèn)題情境；教學(xué)途徑

曹廣福教授為首屆（2003年）百名國(guó)家級(jí)教學(xué)名師之一，于2014年獲得首屆國(guó)家基礎(chǔ)教育教學(xué)成果二等獎(jiǎng)，2015年又成為國(guó)家“萬(wàn)人計(jì)劃”中的百名教學(xué)名師中一員.作為國(guó)家級(jí)教學(xué)名師，面向中學(xué)生講授課程是不多見(jiàn)的.曹教授面向中學(xué)生所講的《變化率與導(dǎo)數(shù)》一課，采用豐富新穎且多樣化的教學(xué)內(nèi)容，以一種利于學(xué)生理解的教學(xué)方式，成功地突出這一課的重點(diǎn)，并化解難點(diǎn).

《變化率與導(dǎo)數(shù)》一課的內(nèi)容位于人教版選修教材11和選修22.教材通過(guò)實(shí)際背景和具體應(yīng)用的實(shí)例，引入導(dǎo)數(shù)的概念，借助氣球膨脹率、高臺(tái)跳水等實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，認(rèn)識(shí)到瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù).然而，由于教材中所選擇的實(shí)際問(wèn)題已經(jīng)漸漸脫離學(xué)生的日常生活，教師直接采用教材中的教學(xué)內(nèi)容，往往無(wú)法達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.實(shí)際問(wèn)題的目的是幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)的背景、思想和作用.如果所選的實(shí)際問(wèn)題無(wú)法引起學(xué)生的興趣，帶動(dòng)學(xué)生的思考，就無(wú)法使學(xué)生理解，甚至阻礙學(xué)生的理解，這樣的實(shí)際問(wèn)題便形同虛設(shè).曹廣福教授以其豐富的學(xué)識(shí)，以及對(duì)導(dǎo)數(shù)深刻的認(rèn)識(shí)，采用多樣化的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)大量的問(wèn)題情境，巧妙地解釋了平均變化率、瞬時(shí)變化率、以及導(dǎo)數(shù)的思想與內(nèi)涵.借助問(wèn)題情境進(jìn)行概念教學(xué)，創(chuàng)造出另一種有效的教學(xué)途徑.

目前，有關(guān)概念教學(xué)和問(wèn)題情境的研究較多，例如，《數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生形成七種數(shù)學(xué)觀念》[1]提出，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生狀態(tài)變換觀念、本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念、時(shí)空坐標(biāo)觀念、依存關(guān)系觀念、系統(tǒng)集合觀念、量化測(cè)度觀念、無(wú)窮逼近和極限觀；《GeoGebra環(huán)境下基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究——以導(dǎo)數(shù)概念為例》[2]基于APOS理論，借助GeoGebra軟件設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)；《概念多元表征的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)概念學(xué)習(xí)的影響》[3]指出直接學(xué)抽象的數(shù)學(xué)概念是很困難的，用數(shù)學(xué)概念的多元表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是一種新理念和策略.《數(shù)學(xué)“情境——問(wèn)題”教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的思考》[4]指出“情境——問(wèn)題”教學(xué)的積極作用；《創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境應(yīng)關(guān)注的幾個(gè)關(guān)系》[5]提出創(chuàng)設(shè)情境過(guò)程中應(yīng)關(guān)注5組關(guān)系：形式和內(nèi)容，預(yù)設(shè)和生成，同一性與多樣性，生活化與數(shù)學(xué)化，繼承和創(chuàng)新；《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中情境的類型及作用與原則》[6]指出小學(xué)教材中情境的類型，情境對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，以及情境創(chuàng)設(shè)的原則等等.然而，這些研究關(guān)注的只是概念教學(xué)或問(wèn)題情境教學(xué)的其中之一，本文試圖將二者結(jié)合，在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境.相關(guān)研究[7-10]分別圍繞概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境的意義和注意問(wèn)題；創(chuàng)設(shè)情境的主要方式和原則；問(wèn)題情境與數(shù)學(xué)概念教學(xué)的關(guān)系；以及創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成問(wèn)題情境的方法等方面進(jìn)行了思考，但是對(duì)概念教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的類型尚未詳細(xì)介紹.本文以概念教學(xué)為背景，基于曹廣福教授的《變化率與導(dǎo)數(shù)》一課，對(duì)問(wèn)題情境的類型進(jìn)行初步研究.1日常生活問(wèn)題情境

曹教授所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境可以劃分成三種類型.第一種為生活情境，即從日常生活中挖掘問(wèn)題.數(shù)學(xué)情境是校外數(shù)學(xué)走向?qū)W校數(shù)學(xué)的中介[11]，就教學(xué)而言，從學(xué)生的生活經(jīng)歷出發(fā)，依據(jù)學(xué)生的日常體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，是一個(gè)非常好的教學(xué)角度.與生活相關(guān)的情境，尤其是學(xué)生每天親身經(jīng)歷的事情，可以減少學(xué)生對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的距離感.在《變化率與導(dǎo)數(shù)》的引入過(guò)程中，問(wèn)題1和問(wèn)題2都與學(xué)生的生活息息相關(guān).

問(wèn)題1

你的朋友從東莞開(kāi)車去深圳，與此同時(shí)，你從廣州開(kāi)車去深圳，理想狀態(tài)下，速度是均勻的（但是實(shí)際上是不可能的，路況比較復(fù)雜，一會(huì)快，一會(huì)慢，因此假設(shè)是理想狀態(tài)，兩人勻速）.你花了兩個(gè)小時(shí)十分鐘，你的朋友比你提前一個(gè)小時(shí)到，你能由此斷定誰(shuí)比誰(shuí)快嗎？

交流片段一

師：速度不僅和時(shí)間有關(guān)，還和距離有關(guān).假設(shè)從廣州到深圳的距離是s1，從東莞到深圳的距離是s2，你花的時(shí)間是t1，你朋友花的時(shí)間是t2，在勻速直線運(yùn)動(dòng)下，速度分別是多少？

生：v1=s1t1，v2=s2t2.

師：但是實(shí)際路況比較復(fù)雜，你在不同時(shí)段行駛的速度是不同的.假設(shè)你在t1時(shí)刻到了s1的位置，在t2時(shí)刻到了s2的位置，這個(gè)時(shí)候，你在t1時(shí)刻到t2時(shí)刻的這個(gè)時(shí)間段里，你行駛的速度是多少？

生：v=s2-s1t2-t1.

師：這個(gè)比值就是你在這個(gè)時(shí)間段的速度，這個(gè)就叫變化率.假如說(shuō)這個(gè)分母實(shí)際上正好是單位時(shí)間，比如說(shuō)一小時(shí)，一分鐘，一秒鐘，這個(gè)時(shí)候比值就是路程的差.所以我們?cè)谖锢砩隙x速度的時(shí)候，也可以這么講：在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)物體走過(guò)的路程就是速度.但是通常實(shí)際問(wèn)題中，自變量的改變量未必是一個(gè)單位，而可能是若干單位，這個(gè)時(shí)候，在自變量改變的范圍內(nèi)，函數(shù)值改變了多少？函數(shù)值關(guān)于自變量的變化率又應(yīng)該如何刻畫(huà)？

師生共同：假設(shè)自變量x從x0變到x1，而函數(shù)值f（x）從f（x0）變到f（x1），這個(gè)時(shí)候，比值f（x1）-f（x0）x1-x0就是變化率.

問(wèn)題2

在一個(gè)寒冷的早晨，你爸爸開(kāi)車送你上學(xué)，由于交通擁堵，路況復(fù)雜等原因，一路走走停停，好不容易將你按時(shí)送到學(xué)校，為了報(bào)答你爸爸送你上學(xué)時(shí)的辛苦，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)方法描述一下你爸爸送你上學(xué)時(shí)的狀況.

提示：汽車行走涉及哪些因素？

（1）能不能用牛頓定律描述路程、速度與時(shí)間的關(guān)系？為什么？

（2）汽車在任意時(shí)刻的速度有沒(méi)有發(fā)生變化？假如時(shí)間間隔很短，速度的變化會(huì)不會(huì)很大？如何描述在某個(gè)很短的時(shí)間間隔內(nèi)汽車的平均速度？

（3）如何描述汽車在任意時(shí)刻的速度？

交流片段二

師：把我們生活中出現(xiàn)的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法表示出來(lái)的同時(shí)，要清楚數(shù)學(xué)上的模型和生活中的問(wèn)題是有誤差的，不是精確的表達(dá)方式，是一個(gè)大概的表達(dá)方式.換句話說(shuō)，影響你爸開(kāi)車速度的因素很多，但是真正有關(guān)的最主要的因素是什么？

生：速度和時(shí)間.

師：比如路變窄，或者有很多車，主要影響的還是你的速度和時(shí)間，我們?cè)谟懻撨@類問(wèn)題的時(shí)候，通常是首先假設(shè)一個(gè)關(guān)鍵的變量，比如說(shuō)，我們假設(shè)路程和時(shí)間有關(guān).s=s（t），另外速度是在變的，題目中說(shuō)的很清楚，由于交通擁堵，一路走走停停，速度是不斷變的，速度也和時(shí)間有關(guān)v=v（t）.實(shí)際上，如果速度發(fā)生變化，你想想看，這意味著什么？你們學(xué)過(guò)物理的牛頓三大定律.

生：加速度.

師：實(shí)際上還有一個(gè)加速度，它和時(shí)間有關(guān)系a=a（t），所有的這些量都和時(shí)間有關(guān)，而且隨著時(shí)間不斷變化.我們剛才說(shuō)，你朋友從東莞到深圳，你從廣州到深圳，我們是做了一個(gè)假設(shè)，你假設(shè)在這條路上我是勻速行駛，但實(shí)際上是在變的.大家想想看，一開(kāi)始汽車是靜止的，然后你爸開(kāi)始發(fā)動(dòng)汽車，然后汽車行走，從靜止?fàn)顟B(tài)到開(kāi)始行走，這個(gè)中間是有加速度的.速度是在變化的，但是這個(gè)變化是突然變化嗎？還是漸漸變化的？

生：漸漸變化.

師：我們可以用剛才的比值s（t2）-s（t1）t2-t1得到平均速度.現(xiàn)在要想求他在每一時(shí)刻的速度是多少？這要怎么算？我們剛剛有一句話很重要，這個(gè)速度不管快慢，它是漸漸變化的，就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)間間隔很短時(shí)，它的變化會(huì)很大嗎？

生：不會(huì)很大.

師：比如1秒到11秒這個(gè)時(shí)間段之間，這時(shí)速度變化不會(huì)很大.就是說(shuō)，當(dāng)t2和t1的時(shí)間很接近時(shí)，這個(gè)式子（比值）就非常接近t1時(shí)刻的速度.你們覺(jué)得這個(gè)說(shuō)的通嗎？

生：說(shuō)的通.

師：這個(gè)（式子）稱為平均變化率，或者說(shuō)是時(shí)刻t1到時(shí)刻t2的平均速度.當(dāng)時(shí)刻t2和時(shí)刻t1越來(lái)越接近時(shí)，在這個(gè)小區(qū)間上速度的變化就很小，近似為時(shí)刻t1的速度，這時(shí)就是瞬時(shí)速度，或者說(shuō)是瞬時(shí)變化率.那怎么得到最后的精確速度呢？我們暫時(shí)不管，至少我們直觀上已經(jīng)了解了平均速度或者平均變化率和瞬時(shí)速度或者瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系.

曹教授從日常生活這一角度，引入問(wèn)題，進(jìn)行問(wèn)題情境教學(xué)，它包括兩個(gè)方面.一方面是從日常生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用這種問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境進(jìn)行教學(xué).另一方面是，把抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，賦予某種生活含義，從而使所講內(nèi)容更有利于學(xué)生的理解和接受.

問(wèn)題1和問(wèn)題2都是常見(jiàn)的生活問(wèn)題，情境中主體都是學(xué)生.曹教授借助問(wèn)題1揭示了什么是“變化率”，這是這節(jié)課的起點(diǎn)，也是基礎(chǔ)部分.而后借助問(wèn)題2引出平均變化率和瞬時(shí)變化率的含義，這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念是這節(jié)課的重點(diǎn)，需要學(xué)生的理解和掌握.曹教授在分析問(wèn)題情境的過(guò)程中，沒(méi)有把具體的數(shù)學(xué)符號(hào)或者概念直接給學(xué)生，而是讓學(xué)生逐步參與進(jìn)來(lái)，不斷地去發(fā)現(xiàn)概念，接受概念，進(jìn)而對(duì)這兩個(gè)概念有深刻感知.

同時(shí)，這兩個(gè)問(wèn)題情境之間也有一定的內(nèi)在聯(lián)系.例如，在解釋問(wèn)題2的過(guò)程中，借助問(wèn)題1的情境讓學(xué)生明白“變化”不僅是突然發(fā)生的，也可能是逐步的.同時(shí)向?qū)W生傳遞一種辯證法思想，即“變是絕對(duì)的，不變是相對(duì)的”，萬(wàn)事萬(wàn)物都是在不斷變化的.這種思想的滲透使學(xué)生更好地接受變化，理解平均變化率和瞬時(shí)變化率的含義，為之后導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

不難發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)設(shè)日常生活問(wèn)題情境要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際需求，不能隨意編造，要和學(xué)生的真實(shí)經(jīng)歷與生活體驗(yàn)相聯(lián)系.同時(shí)，情境之間可以互相映襯，共同解決問(wèn)題.創(chuàng)設(shè)情境的過(guò)程中要注意，不要將情境一味的生活化，讓情境“喧賓奪主”，從而失去了數(shù)學(xué)的味道.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的目的是理解數(shù)學(xué)概念，應(yīng)該以概念為中心，借助生活問(wèn)題情境開(kāi)展概念教學(xué).

2 相關(guān)學(xué)科問(wèn)題情境

曹教授所創(chuàng)設(shè)的第二種問(wèn)題情境，是從其他相關(guān)學(xué)科中挖掘問(wèn)題.研究表明[12]，恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)相關(guān)學(xué)科問(wèn)題情境，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果有積極影響，在《變化率與導(dǎo)數(shù)》的教學(xué)過(guò)程中，問(wèn)題3、問(wèn)題4、問(wèn)題5都是利用相關(guān)學(xué)科問(wèn)題情境，間接化解這節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).

問(wèn)題3

如果大米與水的價(jià)格均上漲或下降了，大米與水的需求量將發(fā)生什么樣的變化？你能粗略模擬出大米和水的需求量與價(jià)格的關(guān)系曲線嗎？它們揭示了什么道理？

提示：人沒(méi)有了水能不能活？人沒(méi)有了大米能不能活？

交流片段三

師：人沒(méi)有了水能不能活？

生：不能.

師：可是人沒(méi)有了大米呢？

生：能.

師：為什么？

生：可以吃面粉、肉、玉米等等.

師：大米有許多替代產(chǎn)品，但是沒(méi)有水就無(wú)法生存.有人說(shuō)喝牛奶，但是牛奶也是由水構(gòu)成.那么我們能夠得到什么？顯然，需求量和價(jià)格之間是有關(guān)系的，比如說(shuō)價(jià)格上升，那么我們就節(jié)儉一點(diǎn)，假如價(jià)格下降，我們可能就會(huì)浪費(fèi).但是有一點(diǎn)是肯定的，人沒(méi)有了水會(huì)不能活，你每天對(duì)水的最低需求量是一定的，假如水的價(jià)格上升，人對(duì)水的最低需求量會(huì)變少嗎？

生：不會(huì).

師：對(duì)水的需求量有一個(gè)最低限，價(jià)格再高，對(duì)水的需求量也不能減少.假設(shè)價(jià)格是P，這個(gè)P通常是離散的，我們現(xiàn)實(shí)生活中，通常是賣多少塊一斤，不可能是一個(gè)連續(xù)不變的量.但是大家要注意，如果你今后從事經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的話，經(jīng)濟(jì)學(xué)出現(xiàn)的東西很多是離散的.一般都是按一天算，一個(gè)小時(shí)算，或者是一個(gè)月算，一年算.GDP就是這么算的.但是我們利用數(shù)學(xué)來(lái)研究經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，你是可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)研究的.現(xiàn)在我們假設(shè)價(jià)格是P，這個(gè)P是可以連續(xù)變化的，假定它的需求量是Q，那么P和Q之間有一個(gè)函數(shù)關(guān)系Q=Q（P）.現(xiàn)在我們假設(shè)Q1是水，Q2是大米，它們都是價(jià)格的函數(shù)，則有Q1=Q（P1），Q2=Q（P2）.根據(jù)我們剛才的分析，大米的價(jià)格曲線和水的價(jià)格曲線相比會(huì)是什么樣子的？粗略地把他們模擬出來(lái).

生：嘗試畫(huà)出粗略的函數(shù)圖像.

師：進(jìn)行引導(dǎo).當(dāng)價(jià)格是P1時(shí)，有一個(gè)需求量Q（P1），當(dāng)價(jià)格是P2的時(shí)候，也有一個(gè)需求量Q（P2），在這個(gè)價(jià)格變化范圍內(nèi)，變化有多大？Q（P2）-Q（P1）P2-P1是水的需求變化大還是大米的需求變化大？

生：Q水（P2）-Q水（P1）P2-P1

師：這個(gè)比率在經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要，它叫敏感度.什么叫敏感度？就是需求量關(guān)于價(jià)格的敏感程度的大小.從這個(gè)式子可以看出，水相對(duì)大米來(lái)說(shuō)，價(jià)格是不敏感的，價(jià)格提的再高，最終還是要有這么多的需求量.但是大米相對(duì)于水來(lái)說(shuō)是比較敏感的.這揭示了一個(gè)什么樣的道理？水是一個(gè)不可替代的生活必需品，這樣的商品是不可以市場(chǎng)化的，必須由政府調(diào)控，而大米是可以有替代品的，它的價(jià)格彈性很大，敏感度相對(duì)很高，所以它可以市場(chǎng)化.

問(wèn)題4

牛頓當(dāng)年在干什么？

眾所周知，牛頓發(fā)明了三大定律，你是否知道牛頓處理的非勻速運(yùn)動(dòng)？蘋果砸在牛頓的頭上讓牛頓領(lǐng)悟到了什么？他得到了什么重要公式？

交流片段四

師：大家都知道，牛頓發(fā)明了三大定律.你在物理上學(xué)過(guò)的都是勻速運(yùn)動(dòng)，還有加速度是一定的常加速運(yùn)動(dòng)，只有這兩種情況.但實(shí)際上，自然界的運(yùn)動(dòng)中，速度都是在逐漸變化的，而實(shí)際上，牛頓所研究的是非勻速運(yùn)動(dòng).好，那么蘋果砸到牛頓的頭上，牛頓領(lǐng)悟到了什么？蘋果為什么不往上掉呢？

生：萬(wàn)有引力.

師：他得到了萬(wàn)有引力.他是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的？他得益于誰(shuí)的工作？

生：伽利略.

師：對(duì)，伽利略.蘋果從蘋果樹(shù)上落下來(lái)，它是什么運(yùn)動(dòng)？

生：自由落體.

師：這與伽利略的自由落體有關(guān)：H=12gt2.伽利略做實(shí)驗(yàn)，使用兩個(gè)質(zhì)量不同的鐵球，然后從同一高處放下，如果是同時(shí)放下，一定是同時(shí)落地，和它們的質(zhì)量沒(méi)有關(guān)系.當(dāng)然我們都知道，如果是紙片的話就有問(wèn)題了，紙片為什么不能同時(shí)落地呢？

生：空氣阻力.

師：因?yàn)橛锌諝庾枇?現(xiàn)在大家想想看，那如果落到牛頓頭上的不是蘋果，而是伽利略實(shí)驗(yàn)的鐵球，結(jié)果如何？有同學(xué)說(shuō)鐵球太重，如果鐵球比蘋果重十倍，但是從頭上方很低的地方落下去，也不會(huì)把牛頓砸死.這跟什么有關(guān)系？

生：高度.

師：跟高度有關(guān)系.為什么鐵球從很高的地方落下來(lái)后，有可能會(huì)把牛頓砸死？如果球或者蘋果足夠高的話，它落下來(lái)，越接近地面，速度會(huì)怎么樣？

生：越大.

師：速度會(huì)產(chǎn)生什么？動(dòng)量，也可以叫沖量.動(dòng)量越大，對(duì)你的沖擊力越大，最終取決于速度.所以說(shuō)為什么鐵球落到牛頓頭上會(huì)把牛頓砸死，因?yàn)殍F球落得位置比較高，落到地面上時(shí)速度比較快.現(xiàn)在已經(jīng)知道了高度的公式，那么在時(shí)刻t的速度是多少呢？我們根據(jù)下一個(gè)問(wèn)題算一算.

問(wèn)題5

假設(shè)伽利略的鐵球從50米高的天臺(tái)上落下，請(qǐng)問(wèn)在鐵球下落一秒時(shí)距離地面還有多高？這個(gè)時(shí)刻的速度是多少？下落兩秒時(shí)情況如何？這時(shí)的速度會(huì)發(fā)生變化嗎？

交流片段五

H=12gt2，g=9.8，t=1，則1秒時(shí)的高度為H1=50-H（1）=50-12g.這個(gè)時(shí)候的速度是多少呢？據(jù)我們剛才的分析，他從1s再往下落，如果時(shí)間間隔很短，比如說(shuō)在1s與在10001s，這兩個(gè)時(shí)刻的速度則差別不大.現(xiàn)在令t0=1，

在t0到t這個(gè)時(shí)刻，物體分別下落H（t），H（t0）.自由落體的平均速度是多少？

生：H（t）-H（t0）t-t0.

師：如果t和t0接近，那么這個(gè)速度就是瞬時(shí)速度.這個(gè)結(jié)論很重要，用極限來(lái)表示接近，極限用英文字母前三位lim表示，記為limt→t0H（t）-H（t0）t-t0，即當(dāng)t和t0接近時(shí)，這個(gè)速度就是瞬時(shí)速度.現(xiàn)在我們把時(shí)間帶入，就能得到1秒時(shí)自由落體的速度：limt→1H（t）-H（1）t-1=limt→112gt2-12gt-1=limt→112gt2-1t-1=limt→112g（t+1）=g.在2s的時(shí)候，算法是一樣的：limt→212g（t+2）=2g.我們化成一般情況，則在時(shí)刻t0的速度為gt0.這和我們物理上學(xué)過(guò)的是不是一樣的？就是說(shuō)自由落體是勻加速運(yùn)動(dòng).這是我們數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出來(lái)的，但是和物理上的結(jié)果一樣，這個(gè)就叫瞬時(shí)變化率.如果我們討論一般的數(shù)學(xué)函數(shù)，瞬時(shí)變化率是什么？

PPT：假設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在區(qū)間[a，b]內(nèi)，x0是區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，y=f（x）在x0處的瞬時(shí)變化率為limx→x0f（x）-f（x0）x-x0.

師：書(shū)上用簡(jiǎn)略符號(hào)代替，Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0），當(dāng)x→x0時(shí)，它的差Δx就趨向于0.這個(gè)極限就是f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是所謂的瞬時(shí)變化率.它由平均變化率取極限得來(lái).

曹教授借助問(wèn)題3，看似創(chuàng)設(shè)了一個(gè)與生活相關(guān)的問(wèn)題情境，但實(shí)際上與簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)式子，解釋了一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)道理.使得日常生活、數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)這三者融為一體.同時(shí)讓學(xué)生模擬畫(huà)出這種“變化”的函數(shù)圖像，揭示了一個(gè)思想，即“函數(shù)與我們的生活同在”，設(shè)計(jì)的非常巧妙.

問(wèn)題4和問(wèn)題5都圍繞著物理情境展開(kāi)，其中問(wèn)題4可以說(shuō)是問(wèn)題5的一個(gè)鋪墊.問(wèn)題4創(chuàng)設(shè)了一個(gè)物理背景，先簡(jiǎn)單解釋物理學(xué)中的一個(gè)基本內(nèi)容，并對(duì)物理知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的回顧和聯(lián)想.最后使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以利用數(shù)學(xué)運(yùn)算，推導(dǎo)出物理公式，驗(yàn)證了學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的物理知識(shí)，揭示學(xué)科之間的相互貫通的思想.最終回歸到這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)上，明確指出瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)的概念，同時(shí)揭示平均變化率、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)這三者之間的關(guān)系.

相關(guān)學(xué)科的問(wèn)題情境不僅利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)模式抽象，而且對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用提供了具體的背景.[13]恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)這三個(gè)問(wèn)題情境，利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的其他學(xué)科知識(shí)，也可以帶動(dòng)學(xué)生的思考和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).以其他相關(guān)學(xué)科問(wèn)題為背景，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，開(kāi)拓學(xué)生的視野，提高學(xué)生思考的深度與廣度.從本節(jié)課的數(shù)學(xué)教學(xué)中，插入了物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)可以利用數(shù)學(xué)去推導(dǎo)這兩門學(xué)科的學(xué)科知識(shí).經(jīng)過(guò)歸納、類比，除了這兩門學(xué)科，數(shù)學(xué)與其他相關(guān)學(xué)科也具有一定的聯(lián)系.然而，在創(chuàng)設(shè)這種問(wèn)題情境之前，要充分分析學(xué)情，不僅分析學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，還要了解他們對(duì)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)程度，從而與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容建立聯(lián)系.3數(shù)學(xué)問(wèn)題情境