高等數(shù)學(xué)中洛必達(dá)法則的教學(xué)研究

梁金華

【摘要】洛必達(dá)法則是求極限的一種重要而有效的方法.在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的教學(xué)安排教學(xué)效果并不好.本文分析了其中的原因，并針對(duì)工科學(xué)生的特點(diǎn)對(duì)洛必達(dá)法則的教學(xué)進(jìn)行了深入研究，采用“先使用，后證明”的教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)，并對(duì)洛必達(dá)法則使用中容易出錯(cuò)的地方進(jìn)行了分析和改進(jìn).

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；洛必達(dá)法則；教學(xué)研究

高等數(shù)學(xué)的通用教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》，該書目前已是第七版.這本教材條理清晰，數(shù)學(xué)邏輯強(qiáng)，但有時(shí)完全按課本的安排教學(xué)效果并不是最好的.比如在講“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”這一節(jié)的內(nèi)容時(shí)，洛必達(dá)法則的教學(xué)通常是定理介紹→定理證明→定理的應(yīng)用，這樣的順序是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的要求，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是合理而且科學(xué)的.奇怪的是，照這樣的順序來(lái)教學(xué)，教學(xué)效果并不好.

不妨來(lái)分析一下原因.按照課本的安排，我們至少需要一個(gè)課時(shí)的時(shí)間來(lái)給出定理的內(nèi)容，并對(duì)定理進(jìn)行證明.而洛必達(dá)法則的證明要用到柯西中值定理，對(duì)學(xué)生而言，并不是很容易理解.當(dāng)學(xué)生集中注意力來(lái)聽完一個(gè)證明，大家的思想普遍會(huì)有一個(gè)放松，待第二課時(shí)來(lái)介紹定理的應(yīng)用，學(xué)生的注意力明顯沒(méi)有第一課時(shí)那么集中，很容易只顧表面，而忽視洛必達(dá)法則的使用條件.一個(gè)課時(shí)要介紹洛必達(dá)法則在各類未定式求極限中的使用，時(shí)間緊，內(nèi)容多，學(xué)生不容易完全接受，這是造成教學(xué)效果不好的主要原因.

對(duì)理工科的學(xué)生而言，應(yīng)側(cè)重于例題的講解和練習(xí).

在洛必達(dá)法則的引入上，為了能激發(fā)學(xué)生的興趣，可以借用文學(xué)里常用的“倒敘”手法，先使用，后證明.

先給出一個(gè)“00”例題，讓學(xué)生去求極限.

例1求limx→asinx-sinax-a.

在大家費(fèi)了九牛二虎之力求出答案后，教師直接把分式極限轉(zhuǎn)化為對(duì)分子分母各自求導(dǎo)后再求極限.求解如下：

limx→asinx-sinax-a=limx→acosx1=cosa.

這時(shí)大部分學(xué)生都會(huì)很吃驚，進(jìn)而就會(huì)產(chǎn)生興趣，想弄明白為什么可以這么求.

先不作證明，接下來(lái)再給一個(gè)“∞∞”的例子，要求學(xué)生去求極限.

例2求limx→+∞lnxxn.

這個(gè)題用以前學(xué)過(guò)的方法比較困難.這時(shí)部分學(xué)生會(huì)使用以前的方法求，部分學(xué)生會(huì)依葫蘆畫瓢，把題目轉(zhuǎn)化為分子分母各自求導(dǎo)后再求極限.最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法求出來(lái)結(jié)果是一樣的.學(xué)生會(huì)更吃驚，學(xué)習(xí)的興趣也就更濃.

這時(shí)再引出定理1和定理2，并對(duì)定理進(jìn)行分析和證明.重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)定理的條件：

（1）limx→af（x）=0（或∞），limx→ag（x）=0（或∞）；（2）f（x）和g（x）在x=a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)；（3）limx→af′（x）g′（x）=A（或∞）.則limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），x→∞時(shí)定理同樣成立.

并注意定理的延伸，可以提問(wèn)：“若一次求導(dǎo)后不能求出極限而又滿足洛必達(dá)法則的條件又該怎么做？”引導(dǎo)學(xué)生得出limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=limx→af″（x）g″（x）=….

注意強(qiáng)調(diào)反復(fù)使用洛必達(dá)法則的條件.此時(shí)學(xué)生對(duì)洛必達(dá)法則的使用已經(jīng)有了清晰的認(rèn)識(shí)，可以回到剛才給出的例題，結(jié)合例題，分析鞏固使用洛必達(dá)法則求00和∞∞兩類最基本類型的極限.

第二個(gè)課時(shí)，則是洛必達(dá)法則使用的拓展.00和∞∞是最基本的類型，除了這兩種，還有0·∞，∞-∞，00，∞0，1∞等類型的未定式.對(duì)這些未定式可以采取經(jīng)過(guò)恒等變形，化成00和∞∞后再使用洛必達(dá)法則.通常分為三類來(lái)處理.

（1）0·∞型.根據(jù)“無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大”化成00或∞∞型，再使用洛必達(dá)法則.轉(zhuǎn)化遵循“復(fù)雜置上”的原則，即形式復(fù)雜、求導(dǎo)復(fù)雜的函數(shù)放在分子上，形式簡(jiǎn)單，求導(dǎo)容易的函數(shù)放在分母上，盡可能保證分母部分求導(dǎo)簡(jiǎn)單.這樣可以減少計(jì)算錯(cuò)誤.

（2）∞-∞型.這通常會(huì)出現(xiàn)分式運(yùn)算，如果沒(méi)有分式要盡可能轉(zhuǎn)化為分式，通分后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為00型，再使用洛必達(dá)法則.

（3）00，∞0，1∞也稱冪指類型，是使用洛必達(dá)法則中較為復(fù)雜的類型.課本上的方法是“先取對(duì)，求極限，再代值”，但使用這個(gè)方法時(shí)，經(jīng)過(guò)繁雜的運(yùn)算，很多學(xué)生會(huì)忘記“代值”這一步，求出對(duì)數(shù)的極限后就以為得到了答案，因此常常出錯(cuò).事實(shí)上，為了避免代值，這種類型的題我們可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系做恒等變形，再利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一步到位，解法更為簡(jiǎn)捷.

洛必達(dá)法則在求極限的問(wèn)題中占有很重要的作用，方法雖好，但不能濫用，在洛必達(dá)法則的教學(xué)中，有兩點(diǎn)要注意強(qiáng)調(diào).

（1）使用前判斷是否滿足定理的條件.如課本134頁(yè)例2，每次使用洛必達(dá)法則前都要判斷是否是00或∞∞型，否則不能用；（2）有的式子極限存在，但不能用洛必達(dá)法則，我們稱之為“洛必達(dá)法則失效”.

例如limx→∞x+sinxx，它的極限存在，而使用洛必達(dá)法則，極限不存在.這是因?yàn)槭褂脮r(shí)違背了定理的第三個(gè)條件limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），因此洛必達(dá)法則失效了.由于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的特殊性，sin′x=cosx，cos′x=-sinx，一般而言，當(dāng)x→∞，出現(xiàn)sinx，cosx，或當(dāng)x→0，出現(xiàn)sin1x，cos1x，都不能使用洛必達(dá)法則.