數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)鍵能力的培養(yǎng)策略

王琛　林紅霞

摘要：運(yùn)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的核心能力之一，也是學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，它與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)有著密切的聯(lián)系。在第一學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可通過著力算理推理與數(shù)學(xué)思考，著力算法優(yōu)化與數(shù)學(xué)表達(dá)，著力創(chuàng)新實(shí)踐與數(shù)學(xué)建模，來培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力，突顯數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算;關(guān)鍵能力;小學(xué)第一學(xué)段

中圖分類號：G623.52 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）10A-0052-04

運(yùn)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)課程十大核心概念之一，也是學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，它與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)有著密切的聯(lián)系?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。”可解讀為：“運(yùn)算能力指不僅會根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且理解運(yùn)算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑?！盵1]從當(dāng)前的教學(xué)目標(biāo)來看，運(yùn)算能力的培養(yǎng)要求包括：體會四則運(yùn)算的意義，掌握必要的運(yùn)算技能，能準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算。從小學(xué)數(shù)學(xué)課程教育的整體視角審視，培養(yǎng)兒童正確進(jìn)行運(yùn)算的能力，就是培養(yǎng)兒童在理解運(yùn)算意義和算理的過程中掌握算法，尋求合理、簡潔的運(yùn)算方法的能力?？梢姡瑪?shù)學(xué)計算是數(shù)學(xué)運(yùn)算的一個步驟與組成部分，而數(shù)學(xué)運(yùn)算則是數(shù)學(xué)計算的綜合與應(yīng)用。重要的是應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生初步學(xué)會理解運(yùn)算的法則，以求接納和理解算理。

第一學(xué)段是兒童學(xué)習(xí)運(yùn)算的起始階段，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟蒙階段，如何在這個起始階段開好頭，奠定良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，是一個值得認(rèn)真研究的課題。對于如何在第一學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，培養(yǎng)運(yùn)算能力的同時，突顯出數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，以及運(yùn)算能力的培養(yǎng)需要經(jīng)歷怎樣的過程，筆者做了以下三點(diǎn)思考：

一、著力算理推理與數(shù)學(xué)思考

1.走出計算一味圖快的教學(xué)誤區(qū)

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，很多學(xué)生在課前提前學(xué)習(xí)了本學(xué)期的內(nèi)容，他們在做計算題時，知道要“又對又快”。雖然“對”的要求在先，但是在實(shí)際計算時，他們往往還是一味地追求速度。

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的許多計算錯誤并不是因?yàn)橛嬎惚旧沓霈F(xiàn)了錯誤，而是兒童在一味追求“快”的過程中，忽略了推理性思考而發(fā)生的“選擇性錯誤”。數(shù)學(xué)的一個顯著特征是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要目的是提高兒童的邏輯思維水平，而提高邏輯思維水平依賴不斷地經(jīng)歷“推理”的過程。筆者認(rèn)為，計算教學(xué)初期過分強(qiáng)調(diào)“快”是不合理的。過分追求速度的訓(xùn)練，也是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)加重的主要因素之一?；A(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測應(yīng)該嘗試減少題量，或者是延長測試時間，允許延遲評價，從而給兒童思考和理解算理留下足夠的時間。這是因?yàn)椋仞B(yǎng)的培養(yǎng)是要“慢”的。注重推理思考，就應(yīng)關(guān)注思考程序、思考的走向、思考的邏輯連貫，而不能以技巧訓(xùn)練為主。學(xué)校的教學(xué)管理，更不能動輒以學(xué)生的考試成績來衡量教師的業(yè)務(wù)水平，要切實(shí)糾正超量練習(xí)、反復(fù)做題、訓(xùn)練速度、培養(yǎng)應(yīng)試技巧等錯誤的教學(xué)傾向。理解算理是一個長期過程，需要給予學(xué)生情境、學(xué)具和時間反復(fù)理解、抽象，需要讓關(guān)鍵能力在課堂上落地生根。對于第一學(xué)段的計算教學(xué)，教師要引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生“慢下來”，學(xué)會推理思考，學(xué)會結(jié)構(gòu)化思考，學(xué)會自主學(xué)習(xí)、解決計算實(shí)際問題。

2.提倡計算教學(xué)中的數(shù)學(xué)思考

鄭毓信教授強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)求“全”，而應(yīng)求“聯(lián)”。小學(xué)一、二年級計算中邏輯思維體現(xiàn)較為顯著的部分，是20以內(nèi)的進(jìn)位加和退位減。它牽涉到10以內(nèi)數(shù)的組成與分解，即“分與合”，涉及湊十法的策略選擇，位值原則和進(jìn)退位處理，連加和加減混合。要想真正理解20以內(nèi)的進(jìn)位加和退位減的算理，就需要在一年級的學(xué)習(xí)時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考的意識。此外，最常見的豎式計算，能夠使計算過程程序化，便于操作。當(dāng)學(xué)生記住了這樣的操作程序，經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練，確實(shí)可以達(dá)到培養(yǎng)基本技能的目的。但過度的形式化、程序化訓(xùn)練，就易忽略計算中邏輯思維的成分，使課堂變成了教師的課堂。加減豎式教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)位對齊的理解，即相同的計數(shù)單位相加減，就是相同計數(shù)單位數(shù)的加減。而豎式乘法教學(xué)，要讓學(xué)生明確乘法分配律的處理過程。乘法是將豎式中下一行的數(shù)，依次用其個位數(shù)、十位數(shù)與豎式中第一行的乘數(shù)相乘，然后把兩個部分的積相加。豎式的除法是包含邏輯數(shù)理最為復(fù)雜的部分，其中蘊(yùn)含了十分豐富的數(shù)學(xué)思想方法和探究策略：①將除數(shù)與被除數(shù)，從高位到低位多次逐位推演比較的思想方法;②比較協(xié)商中先提出初商試除，再作乘法驗(yàn)證的思考;③分段相除中，余數(shù)與其下合并繼續(xù)再除的思想;④除法試商中先大略、再精確的思想;⑤每次試除，不夠商1就商0、余數(shù)要比除數(shù)小的原則等。這些思想方法和其間體現(xiàn)的邏輯原則，都使除法豎式教學(xué)成為一個數(shù)學(xué)思考的寶庫。

此外，計算的思考過程，應(yīng)當(dāng)著重邏輯推理的過程，要把計算教學(xué)的重點(diǎn)定位于計算與思考的統(tǒng)一，讓學(xué)生經(jīng)歷邏輯推理的訓(xùn)練，逐步提高兒童的思維水平。在筆算教學(xué)時，特別應(yīng)該重視每一步算式意義的理解教學(xué)，要讓學(xué)生在計算中多講思考過程和算理，從而讓計算練習(xí)更有意義。

二、著力算法優(yōu)化與數(shù)學(xué)表達(dá)

1.強(qiáng)化對比和優(yōu)選算法

小學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式遵循由簡到繁、由易到難的原則。因此一般在小學(xué)一、二年級階段，數(shù)學(xué)知識邏輯較簡單易懂，學(xué)生的運(yùn)算能力比較穩(wěn)定，學(xué)習(xí)理解能力也會較強(qiáng)。通常到了三年級后，學(xué)生會感到數(shù)學(xué)中計算方式越來越多，學(xué)習(xí)中對邏輯思維和運(yùn)算能力的關(guān)注也會有所降低。如果說優(yōu)化算法體現(xiàn)了運(yùn)算技能從特殊到一般的過程，那么靈活選擇算法，則是從一般到特殊的回歸，是運(yùn)算技能的又一次“生長”，是學(xué)生個體知識與經(jīng)驗(yàn)的重組與構(gòu)建。第一學(xué)段數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)，需要發(fā)展學(xué)生主體的思維回環(huán)，強(qiáng)化對比思考，優(yōu)選算法。華中師大郭元祥教授提出，在重視發(fā)展的知識教學(xué)中，知識的理解與學(xué)習(xí)需要經(jīng)過“還原與下沉、經(jīng)驗(yàn)與探究、反思與上浮”的“U”型過程[2]。運(yùn)算教學(xué)強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)，必須逐步上升到新的運(yùn)算高度，有效實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的形成與提升。這就需要教師在教學(xué)的過程中，給學(xué)生留時間，讓他們充分參與，主動交流，積極表達(dá)各自的理解觀點(diǎn)，對比、優(yōu)化算法。

2.注重交流和表達(dá)

交流和表達(dá)是分享觀點(diǎn)和厘清理解的有效途徑，更是必要途徑。在前置性學(xué)習(xí)流行的當(dāng)下，不同層次的學(xué)生或多或少對計算有一定的“預(yù)先學(xué)習(xí)”，筆者往往采用先組內(nèi)討論，再班級分享，最后優(yōu)化算法的教學(xué)流程開展計算教學(xué)。無論是組內(nèi)討論、班級分享、優(yōu)化算法中的哪一個過程，都需要交流，包括生生交流與師生交流，都需要表達(dá)，包括方法的表達(dá)、評價的表達(dá)、小結(jié)的表達(dá)。學(xué)生在數(shù)學(xué)思維和推理中，用口頭或書面方式來表達(dá)，在與他人交流思考過程之時，也使得思維和推理更清晰。而傾聽別人，能讓學(xué)生加深理解。從多角度探討數(shù)學(xué)思想，有助于他們改進(jìn)思路并做出有機(jī)聯(lián)系。參與解答過程與辯論，特別是在思路和答案不一的情況下，學(xué)生說服持不同觀點(diǎn)同伴的同時，也能夠形成對數(shù)學(xué)的真實(shí)學(xué)習(xí)和真實(shí)理解。

3.促進(jìn)探索與建構(gòu)

計算法則是前人在計算實(shí)踐中，長期思考總結(jié)出來的有價值的方法結(jié)論。兒童的計算學(xué)習(xí)，固然需要傳承這些思考成果，但是計算教學(xué)如果僅僅滿足于一味接受現(xiàn)成的法則結(jié)論，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往就會陷入“灌輸”“被學(xué)習(xí)”，甚至是“偽學(xué)習(xí)”的泥潭。相反，在計算法則的教學(xué)中，教師可安排學(xué)生未教先探，展開教學(xué)交流和討論，讓學(xué)生成為方法、法則探索的主體，讓學(xué)生自我建構(gòu)計算方法，也就能促進(jìn)計算學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生。比如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第5冊教材第1頁例1：

李叔叔培育出一批新品種菜椒，送給敬老院10盒，每盒12個。一共送給敬老院多少個？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生憑借已有的一位數(shù)乘兩位數(shù)的知識基礎(chǔ)，積極想辦法嘗試自己解決計算“12×10”的新問題。有的學(xué)生說：“我先算9盒菜椒，9個12個，再加上一個12個?！庇械膶W(xué)生說：“我把10盒看作是兩個5盒：12×5得到得數(shù)后，再乘2?！边€有的孩子這樣試探，每盒中的12個當(dāng)成兩個部分，一部分是10，一部分是2。12盒就是10個10與10個2，這兩部分加起來一共是多少。有個孩子干脆上前在黑板上寫出：12×1=12，再在（得數(shù)）后面添寫“0”。問他為什么又要添“0”，他說：“要乘的是10呀，我先當(dāng)成1來乘，10不就是1后面添加一個‘0嗎？”雖然他的說法和寫法不夠清楚規(guī)范，但其思考其實(shí)是表示：12×1=12，12×10=120。這是在與“12×1=12”的比較中，實(shí)現(xiàn)了對于“12×10”的直覺思考。

這樣經(jīng)過優(yōu)選比較的討論，也就奠定了兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)筆算法則的基礎(chǔ)。這不僅有助于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維和語言表達(dá)能力，而且能夠讓學(xué)生體驗(yàn)到使用數(shù)學(xué)語言的重要性。計算教學(xué)的課堂上要為學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會，引導(dǎo)并支持學(xué)生在課堂上圍繞數(shù)學(xué)計算的嘗試和思考，充分進(jìn)行聽、說、讀、寫的數(shù)學(xué)交流活動，用互動交流學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)計算，也在計算學(xué)習(xí)中學(xué)會開展數(shù)學(xué)交流。

三、著力創(chuàng)新實(shí)踐與數(shù)學(xué)建模

加法、減法、除法都有各自的現(xiàn)實(shí)原型，它們都是能夠從相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型中抽象出來的。首次感知運(yùn)算的意義時，必須從兒童的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓他們親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程。

在第一學(xué)段最先出現(xiàn)的是總量模型，它表達(dá)總量與部分量之間的關(guān)系。其中部分量之間是平等、并列的關(guān)系。因此，在這種模型中，部分量之間運(yùn)算要用加法。從數(shù)學(xué)計算角度考慮，部分量之間的關(guān)系，可以稱為加法模型。加法模型具體表示為：部分量+部分量=總量。比如，圖1為一年級加法教學(xué)的起始課插圖及其加法算式的建模引導(dǎo)。上下排列中的第一行是實(shí)物形象模式，盤子里5只蘋果，盤子外3只蘋果，或者可以表達(dá)為：左邊5只，右邊3只;先有5只，后又拿來3只等。經(jīng)過推理可以知道，兩部分一共有多少只蘋果，這就在思維中進(jìn)行著合并的運(yùn)算。這里，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用手勢來操作，實(shí)現(xiàn)思維模式的外化：讓學(xué)生伸出雙手食指，左手食指橫向伸出，右手食指縱向伸出并搭上去，形成一個“十”字形加號手勢模型。兩手的兩根食指，代表著兩個部分物的數(shù)量，加法就是靠攏到一起的動作模式。這就引導(dǎo)出教材下幾行語言和算式的模型表征，從而引入加號，出現(xiàn)框圖算式表征的加法模型：□+□=□。

顯然，模型中的部分?jǐn)?shù)量的附著物不只是蘋果，數(shù)量也不只是5和3特定的具體數(shù)據(jù)，模型中部分?jǐn)?shù)的個數(shù)也不局限于兩個。數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新變式應(yīng)用，需要把握以下幾點(diǎn)：

1.充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)素材的豐富變換

在教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生逐步形成一種感悟，引發(fā)建模的內(nèi)在需要。數(shù)學(xué)模型都是對于同類數(shù)學(xué)現(xiàn)象的高度概括，形成概括需要學(xué)習(xí)者產(chǎn)生內(nèi)心的動力，是一個自然發(fā)生的過程。因此，安排充分的同類經(jīng)歷，反復(fù)刺激學(xué)生就成為數(shù)學(xué)模型的先決條件。

2.把握在建模中提升的關(guān)鍵時機(jī)

教學(xué)中，教師應(yīng)適時擴(kuò)展模型應(yīng)用和變化建模后的素材，通過變式引導(dǎo)加法模型中由兩部分?jǐn)?shù)變?yōu)槿糠謹(jǐn)?shù)、多部分?jǐn)?shù)等的連加變式的提升。應(yīng)注意的是，教師應(yīng)把握建模變式提升理解的合適時機(jī)，既不能操之過急，增加學(xué)生接納的困難，也不能過于滯后，錯失兒童思維水平提升的機(jī)會。

3.凸顯數(shù)學(xué)模型的關(guān)系實(shí)質(zhì)

數(shù)學(xué)模型表達(dá)的就是數(shù)量間一定性質(zhì)的關(guān)系，加法模型中就是兩部分?jǐn)?shù)合并的關(guān)系。加法符號就是這種關(guān)系的靜態(tài)標(biāo)識，而教師讓學(xué)生做手勢，就是一種活動化表征。它與語言表征諸如“盤里……盤外……一共”的表達(dá)是一致的，都是為了凸顯二者合并的關(guān)系實(shí)質(zhì)。因此，教學(xué)中應(yīng)盡可能外顯數(shù)量間關(guān)系，積極運(yùn)用生活化、言語化、操作化和數(shù)學(xué)化等多元表征的互換，使學(xué)生能夠深度理解。

4.及時進(jìn)行模型的多樣化演繹和應(yīng)用

教師引導(dǎo)學(xué)生將模型創(chuàng)造性地用于解決生活中的各種具體問題，以求理解掌握。這不僅是為了實(shí)現(xiàn)新知識的鞏固，也是為了數(shù)學(xué)認(rèn)知的可持續(xù)發(fā)展。比如用加法模型可以來解決生活中一些涉及總量的問題，以“9的分與合”為例，在教學(xué)該課時，我們可以創(chuàng)設(shè)一些情境，引導(dǎo)學(xué)生靈活地使用加法模型。教師可以在部分量和總量的關(guān)系中，嵌入一些生活情境，安排一些故事，把加法運(yùn)算模型演變?yōu)闇p法運(yùn)算模型：總量-部分量=部分量。這樣新的模型建立有利于學(xué)生理解算理，建立減法與加法的互逆關(guān)系，擴(kuò)展數(shù)學(xué)認(rèn)知，從而提升計算技能，深化運(yùn)算理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家組工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社， 2012：2.

[2]郭元祥.豐富課堂的教育涵養(yǎng)——談?wù)n程改革的深化[J].新教師， 2016（1）：21-23.

[3]孫麗谷，王林.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（一年級上冊）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社， 2013：60.

責(zé)任編輯：趙赟

Strategy for Cultivating Students Key Competence in Mathematical Operation

WANG Chen & LIN Hongxia

（Nanjing Gulou No. 1 Central Primary School， Nanjing 210008， China;

Nanjing Gulou Center for Teacher Development， Nanjing 210013， China）

Abstract： Operational competence is one of the core competences in primary school mathematics and also one of students basic mathematics accomplishments， which is closely related to the cultivating of mathematics key competence. In the process of the first stage of learning， teachers may focus on arithmetic reasoning and mathematical thinking， arithmetic optimization and mathematical expression， and creative practice and mathematical modeling to cultivate students operational competence and highlight their key competence in mathematics.

Key words： the first stage of learning in primary school; mathematical operation; key competence